Étude d'une machine à absorption

Contexte : Le cycle frigorifique à absorptionProcédé thermodynamique qui produit du froid en utilisant une source de chaleur comme énergie motrice, au lieu d'un compresseur mécanique..

Contrairement aux machines à compression classiques qui consomment de l'électricité (travail mécanique), les machines à absorption utilisent une source de chaleur (vapeur, eau chaude, gaz brûlés...) pour produire du froid. Elles sont couramment utilisées dans l'industrie ou le tertiaire lorsque de la chaleur "fatale" (perdue) est disponible. Nous étudions ici un cycle commun de type Eau-Bromure de Lithium (H₂O-LiBr), où l'eau est le fluide frigorigèneSubstance qui subit un changement de phase (liquide/vapeur) pour absorber la chaleur et créer l'effet de refroidissement. et le LiBr est l'absorbant.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le Premier Principe de la Thermodynamique (bilans d'énergie) sur les quatre composants majeurs du cycle (bouilleur, condenseur, évaporateur, absorbeur) pour déterminer l'efficacité de la machine.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le Coefficient de PerformanceRatio de l'effet frigorifique utile sur l'énergie dépensée (ici, la chaleur fournie au bouilleur). (COP) maximal théorique (Carnot).
Identifier les composants clés du cycle et leur fonction.
Appliquer le Premier Principe (bilan énergétique) à un système ouvert.
Calculer la puissance frigorifique produite.
Calculer le COP réel de l'installation.

Données de l'étude

On étudie une machine frigorifique à absorption H₂O-LiBr fonctionnant selon les conditions nominales décrites ci-dessous. Le cycle est supposé être à un seul étage.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de machine	Absorption, simple effet
Fluide frigorigène	Eau (H₂O)
Absorbant	Bromure de Lithium (LiBr)

Schéma de principe du cycle à absorption

[Nom du Paramètre]	[Symbole]	[Valeur]	[Unité]
Puissance thermique fournie (Bouilleur)	\(Q_G\)	100	kW
Température du Bouilleur	\(T_G\)	90	°C
Température de l'Évaporateur	\(T_E\)	5	°C
Température du Condenseur	\(T_C\)	35	°C
Température de l'Absorbeur	\(T_A\)	30	°C
Enthalpie (Sortie Bouilleur, vapeur)	\(h_{G,s}\)	2676	kJ/kg
Enthalpie (Entrée Bouilleur, liquide)	\(h_{G,e}\)	377	kJ/kg
Enthalpie (Sortie Évaporateur, vapeur)	\(h_{E,s}\)	2510	kJ/kg
Enthalpie (Entrée Évaporateur, liq+vap)	\(h_{E,e}\)	146.6	kJ/kg

Questions à traiter

Calculer le Coefficient de Performance (COP) maximal théorique (COP de Carnot) de ce cycle.
Déterminer la pression de fonctionnement de l'évaporateur \(P_E\). (On donne \(P_{\text{sat, eau}}(5^\circ\text{C}) = 872\) Pa).
Calculer le débit massique de frigorigène (\(\dot{m}_r\)) produit au bouilleur.
Calculer la puissance frigorifique (\(Q_E\)) produite à l'évaporateur.
Calculer le Coefficient de Performance (COP) réel de la machine.

Les bases de la Thermodynamique Appliquée

Pour résoudre cet exercice, nous aurons besoin de deux concepts fondamentaux : le Coefficient de Performance et le Premier Principe de la Thermodynamique.

1. Le Coefficient de Performance (COP)
Le COP (parfois noté \(\epsilon\)) est une mesure de l'efficacité d'une machine frigorifique. Il est défini comme le rapport entre l'effet utile (ce que l'on cherche à obtenir) et la dépense énergétique (ce que l'on doit fournir).

COP = \frac{\text{Effet utile}}{\text{Dépense énergétique}} = \frac{\text{Puissance frigorifique}}{\text{Puissance consommée}}

Pour une machine à absorption, la dépense est la chaleur fournie au bouilleur (\(Q_G\)).

COP_{\text{absorption}} = \frac{Q_E}{Q_G}

2. Le Premier Principe (Systèmes Ouverts)
Pour un composant (évaporateur, bouilleur...) fonctionnant en régime permanent (stable), le bilan d'énergie (Premier Principe) s'écrit : l'énergie qui entre est égale à l'énergie qui sort. En négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle, et en l'absence de travail mécanique, la puissance thermique échangée (\(\dot{Q}\)) est égale à la variation du flux d'enthalpie.

\dot{Q} = \dot{m} \times (h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}})

Où \(\dot{m}\) est le débit massique (en kg/s) et \(h\) est l'enthalpie massique (en J/kg ou kJ/kg).

Correction : Étude d'une Machine à Absorption

Question 1 : Calculer le COP maximal théorique (COP de Carnot) de ce cycle.

Principe

Le COP maximal théorique (ou COP de Carnot) d'une machine à absorption est le produit de l'efficacité d'un moteur thermique idéal (cycle de Carnot moteur entre \(T_G\) et \(T_C\)) et de l'efficacité d'une machine frigorifique idéale (cycle de Carnot frigo entre \(T_E\) et \(T_C\)).

Mini-Cours

La machine à absorption peut être vue comme un "moteur" (le bouilleur et le condenseur) qui actionne un "réfrigérateur" (l'évaporateur et l'absorbeur/condenseur). La température ambiante (de rejet) est \(T_C\). L'efficacité du moteur de Carnot est \(\eta_{\text{moteur}} = (T_G - T_C) / T_G\). L'efficacité du frigo de Carnot est \(COP_{\text{frigo}} = T_E / (T_C - T_E)\).

Remarque Pédagogique

Cette approche est une idéalisation. Elle nous donne la limite supérieure absolue de performance dictée par le Second Principe de la Thermodynamique. Aucune machine réelle ne peut dépasser cette valeur.

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme de construction, mais d'une loi fondamentale de la physique : le Second Principe de la Thermodynamique, tel que formulé par Sadi Carnot.

Formule(s)

La formule du COP maximal théorique d'une machine à absorption est :

COP_{\text{max}} = \eta_{\text{moteur}} \times COP_{\text{frigo}} = \left( \frac{T_G - T_C}{T_G} \right) \times \left( \frac{T_E}{T_C - T_E} \right)

Hypothèses

Nous supposons que le cycle est parfaitement réversible et que les transferts de chaleur se font aux températures des sources indiquées. Toutes les températures doivent être exprimées en Kelvin (K) pour les calculs de Carnot.

Donnée(s)

Nous extrayons les températures de l'énoncé et les convertissons en Kelvin (K = °C + 273.15).

Paramètre	Symbole	Valeur (°C)	Valeur (K)
Température Bouilleur	\(T_G\)	90 °C	363.15 K
Température Condenseur	\(T_C\)	35 °C	308.15 K
Température Évaporateur	\(T_E\)	5 °C	278.15 K

Astuces

Pour mémoriser la formule, pensez "ce qui m'aide" / "ce qui me coûte". Pour le moteur : (T_chaude - T_froide) / T_chaude. Pour le frigo : T_froide / (T_chaude - T_froide).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des 3 niveaux de température (sources de chaleur).

Diagramme des 3 sources de chaleur (Carnot)

Calcul(s)

Nous allons substituer les valeurs de température (en Kelvin) listées dans le tableau "Donnée(s)" ci-dessus dans la formule du \(COP_{\text{max}}\).

Étape 1 : Efficacité du moteur (partie "chaude")

On remplace \(T_G = 363.15\) K et \(T_C = 308.15\) K.

\begin{aligned} \eta_{\text{moteur}} &= \frac{T_G - T_C}{T_G} \\ &= \frac{363.15 \text{ K} - 308.15 \text{ K}}{363.15 \text{ K}} \\ &= \frac{55}{363.15} \\ &= 0.1514 \end{aligned}

Étape 2 : Efficacité du réfrigérateur (partie "froide")

On remplace \(T_E = 278.15\) K et \(T_C = 308.15\) K.

\begin{aligned} COP_{\text{frigo}} &= \frac{T_E}{T_C - T_E} \\ &= \frac{278.15 \text{ K}}{308.15 \text{ K} - 278.15 \text{ K}} \\ &= \frac{278.15}{30} \\ &= 9.2717 \end{aligned}

Étape 3 : Calcul du COP maximal global

On multiplie les deux résultats intermédiaires.

\begin{aligned} COP_{\text{max}} &= \eta_{\text{moteur}} \times COP_{\text{frigo}} \\ &= 0.1514 \times 9.2717 \\ \Rightarrow COP_{\text{max}} &\approx 1.403 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma pertinent après ce calcul, car il s'agit d'une valeur théorique unique.

Réflexions

Le COP maximal théorique est de 1.403. Cela signifie que pour 1 kW de chaleur fournie au bouilleur, on pourrait théoriquement extraire 1.403 kW de froid à l'évaporateur. Le COP réel de la machine sera (par définition) inférieur à cette valeur en raison des irréversibilités (frottements, mélanges, transferts de chaleur non-idéaux...).

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir les températures en Kelvin ! Les calculs de rapports de température (Carnot, entropie...) doivent impérativement utiliser une échelle absolue (Kelvin ou Rankine).

Points à retenir

La formule du \(COP_{\text{max}}\) d'une machine à absorption est \( \left( \frac{T_G - T_C}{T_G} \right) \times \left( \frac{T_E}{T_C - T_E} \right) \).
Toutes les températures DOIVENT être en Kelvin (K).

Le saviez-vous ?

Cette formule montre que le COPmax augmente si \(T_G\) augmente (la source chaude est plus "efficace") ou si \(T_E\) augmente (on fait du froid "moins froid", ce qui est plus facile).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le Coefficient de Performance (COP) maximal théorique est d'environ 1.40.

A vous de jouer

Que deviendrait le \(COP_{\text{max}}\) si la température du bouilleur (\(T_G\)) était augmentée à 100°C (373.15 K) ? (Les autres températures restent inchangées).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Efficacité de Carnot pour un cycle à absorption.
Formule Essentielle : \(COP_{\text{max}} = \frac{T_G - T_C}{T_G} \times \frac{T_E}{T_C - T_E}\).
Point de Vigilance Majeur : Utiliser les températures en Kelvin (K).

Question 2 : Déterminer la pression de fonctionnement de l'évaporateur \(P_E\).

Principe

Dans un cycle frigorifique, l'évaporateur et le condenseur fonctionnent à deux niveaux de pression distincts. La pression dans l'évaporateur est déterminée par la température à laquelle le frigorigène (ici, l'eau) doit s'évaporer pour produire du froid. Cette pression est la pression de saturationÀ une température donnée, c'est la pression à laquelle un fluide peut coexister en phases liquide et vapeur à l'équilibre. correspondante.

Mini-Cours

Pour que le frigorigène (eau) puisse bouillir et absorber de la chaleur à une température de 5°C (c'est ce qui crée le "froid"), il doit être maintenu à sa pression de saturation correspondante. Si la pression était plus élevée, il ne pourrait pas s'évaporer à 5°C. Les tables thermodynamiques (ou "tables vapeur" pour l'eau) donnent cette correspondance unique entre \(T_{\text{sat}}\) et \(P_{\text{sat}}\).

Remarque Pédagogique

C'est la même logique pour le condenseur. La vapeur d'eau venant du bouilleur doit se condenser à la température ambiante (ex: 35°C), donc la pression dans le condenseur sera \(P_C = P_{\text{sat}}(35^\circ\text{C})\).

Normes

Les valeurs de pression de saturation sont des propriétés physiques de l'eau, définies par des standards internationaux (comme ceux de l'IAPWS - International Association for the Properties of Water and Steam).

Formule(s)

Il s'agit d'une lecture dans les tables, pas d'une formule de calcul :

P_E = P_{\text{sat, eau}} \text{ à } T_E = 5^\circ\text{C}

Hypothèses

On suppose que le fluide est bien de l'eau pure à l'évaporateur et qu'on néglige les pertes de charge (pertes de pression dans les tuyaux).

Donnée(s)

On nous fournit la valeur clé extraite des tables vapeur :

\(T_E = 5^\circ\text{C}\)
\(P_{\text{sat, eau}}(5^\circ\text{C}) = 872\) Pa (soit 0.00872 bar)

Astuces

Une pression de 1 bar correspond à 100 000 Pa. 872 Pa est donc environ 100 fois plus faible que la pression atmosphérique. C'est un vide très poussé.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des deux niveaux de pression du cycle.

Niveaux de Pression (Diagramme P-h)

Calcul(s)

Il n'y a pas de calcul à proprement parler. La pression à l'évaporateur (\(P_E\)) DOIT être égale à la pression de saturation (\(P_{\text{sat}}\)) de l'eau à la température de l'évaporateur (\(T_E = 5^\circ\text{C}\)). L'énoncé nous donne cette valeur.

\begin{aligned} P_E &= P_{\text{sat, eau}}(5^\circ\text{C}) \\ &= 872 \text{ Pa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma additionnel nécessaire.

Réflexions

Cette pression est extrêmement basse, c'est un vide très poussé (la pression atmosphérique est d'environ 101 325 Pa). C'est la raison principale pour laquelle les machines à absorption H₂O-LiBr sont très sensibles aux fuites d'air (entrées d'air) qui peuvent stopper le cycle. L'absorbeur doit maintenir ce vide en "pompant" la vapeur d'eau produite par l'évaporateur.

Points de vigilance

Ne pas confondre la pression (en Pa ou bar) avec la température (en °C ou K). L'énoncé donne \(T_E = 5^\circ\text{C}\) et on en déduit \(P_E = 872\) Pa.

Points à retenir

La pression dans l'évaporateur (\(P_E\)) est la pression de saturation du frigorigène (eau) à la température de l'évaporateur (\(T_E\)).

Le saviez-vous ?

C'est grâce à cette très basse pression que l'on peut faire "bouillir" de l'eau à 5°C. Si vous essayez de faire bouillir de l'eau en haut de l'Everest, elle bout à environ 70°C car la pression atmosphérique est plus faible. L'évaporateur d'une machine à absorption est comme un "Everest" encore bien plus haut !

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La pression de fonctionnement de l'évaporateur est la pression de saturation de l'eau à 5°C, soit \(P_E = 872\) Pa.

A vous de jouer

En utilisant le même principe, quelle serait la pression dans le condenseur (\(P_C\)) sachant que \(T_C = 35^\circ\text{C}\) ? (Indice : \(P_{\text{sat, eau}}(35^\circ\text{C}) \approx 5628\) Pa).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : L'évaporateur et le condenseur fonctionnent à des pressions de saturation.
Règle : \(P_E = P_{\text{sat}}(T_E)\) et \(P_C = P_{\text{sat}}(T_C)\).
Point de Vigilance Majeur : Les machines H₂O-LiBr fonctionnent sous vide.

Question 3 : Calculer le débit massique de frigorigène (\(\dot{m}_r\)) produit au bouilleur.

Principe

La chaleur \(Q_G\) fournie au bouilleur (ou générateur) sert à séparer le frigorigène (eau) de l'absorbant (LiBr) en le faisant bouillir. En appliquant le Premier Principe au bouilleur, on peut relier la puissance thermique fournie (\(\dot{Q}_G\)) au débit massique de frigorigène (\(\dot{m}_r\)) et à la variation d'enthalpieGrandeur thermodynamique représentant l'énergie totale d'un système, incluant son énergie interne et le travail nécessaire pour occuper son volume. du frigorigène entre l'entrée et la sortie.

Mini-Cours

Le Premier Principe de la Thermodynamique pour un système ouvert en régime permanent (comme un bouilleur) s'écrit : \(\dot{Q} + \dot{W} = \sum \dot{m}_s h_s - \sum \dot{m}_e h_e\). Ici, il n'y a pas de travail (\(\dot{W} = 0\)). L'énergie entrante est \(\dot{Q}_G + \dot{m}_r h_{G,e}\) et l'énergie sortante est \(\dot{m}_r h_{G,s}\) (en ne considérant que le frigorigène). On a donc \(\dot{Q}_G = \dot{m}_r (h_{G,s} - h_{G,e})\).

Remarque Pédagogique

Notez que \(h_{G,e}\) (377 kJ/kg) est l'enthalpie du liquide (venant de la pompe) et \(h_{G,s}\) (2676 kJ/kg) est celle de la vapeur surchauffée. La différence, (2299 kJ/kg), représente l'énergie nécessaire pour chauffer le liquide puis le vaporiser.

Normes

C'est une application directe du Premier Principe de la Thermodynamique (conservation de l'énergie).

Formule(s)

D'après le Premier Principe pour un système ouvert en régime permanent :

\dot{Q}_G = \dot{m}_r \times (h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}})

Ce qui nous donne, en réarrangeant pour trouver \(\dot{m}_r\) :

\dot{m}_r = \frac{\dot{Q}_G}{h_{G,s} - h_{G,e}}

Hypothèses

On suppose que le bouilleur fonctionne en régime permanent (stable) et que les pertes de chaleur vers l'extérieur sont négligeables (toute la chaleur \(\dot{Q}_G\) sert à chauffer le fluide).

Donnée(s)

Nous utilisons les données fournies dans l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Puissance thermique fournie	\(\dot{Q}_G\)	100	kW
Enthalpie (Sortie Bouilleur, vapeur)	\(h_{G,s}\)	2676	kJ/kg
Enthalpie (Entrée Bouilleur, liquide)	\(h_{G,e}\)	377	kJ/kg

Astuces

Vérifiez toujours la cohérence des unités. Si \(\dot{Q}\) est en kW (kJ/s) et \(\Delta h\) est en kJ/kg, le résultat \(\dot{Q} / \Delta h\) sera bien en (kJ/s) / (kJ/kg) = kg/s.

Schéma (Avant les calculs)

Focus sur le bouilleur (Générateur) en tant que système ouvert.

Bilan d'énergie sur le Bouilleur

Calcul(s)

Nous appliquons la formule \(\dot{m}_r = \dot{Q}_G / (h_{G,s} - h_{G,e})\) en utilisant les valeurs des données.

Étape 1 : Calcul de la variation d'enthalpie au bouilleur (\(\Delta h_G\))

On utilise \(h_{G,s} = 2676\) kJ/kg (sortie vapeur) et \(h_{G,e} = 377\) kJ/kg (entrée liquide) des données de l'énoncé.

\begin{aligned} \Delta h_G &= h_{G,s} - h_{G,e} \\ &= 2676 \text{ kJ/kg} - 377 \text{ kJ/kg} \\ &= 2299 \text{ kJ/kg} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du débit massique (\(\dot{m}_r\))

On utilise \(\dot{Q}_G = 100\) kW (donnée de l'énoncé, équivalent à 100 kJ/s) et le \(\Delta h_G\) calculé à l'étape 1.

\begin{aligned} \dot{m}_r &= \frac{\dot{Q}_G}{\Delta h_G} \\ &= \frac{100 \text{ kJ/s}}{2299 \text{ kJ/kg}} \\ \Rightarrow \dot{m}_r &\approx 0.0435 \text{ kg/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma additionnel nécessaire.

Réflexions

Ce débit de 0.0435 kg/s (soit environ 43.5 grammes d'eau par seconde) est la quantité de frigorigène "en circulation" dans le cycle. C'est ce débit qui, après s'être condensé, va s'évaporer dans l'évaporateur pour produire du froid.

Points de vigilance

Attention aux unités ! La puissance \(\dot{Q}_G\) est en kW (kiloJoules par seconde, kJ/s). Les enthalpies \(h\) sont en kJ/kg. Le calcul \(\text{(kJ/s)} / \text{(kJ/kg)}\) donnera bien un résultat en kg/s, ce qui est cohérent pour un débit massique.

Points à retenir

Le 1er Principe (\(\dot{Q} = \dot{m} \Delta h\)) est l'outil principal pour calculer les débits ou les puissances dans les échangeurs de chaleur.

Le saviez-vous ?

Dans un cycle réel, le débit de solution (eau+LiBr) qui circule entre l'absorbeur et le bouilleur est bien plus grand que ce débit de frigorigène \(\dot{m}_r\). On définit un "taux de circulation" qui peut être 10 à 20 fois supérieur.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le débit massique de frigorigène produit au bouilleur est \(\dot{m}_r = 0.0435\) kg/s.

A vous de jouer

Si l'on souhaitait produire un débit \(\dot{m}_r = 0.05\) kg/s avec les mêmes enthalpies, quelle puissance \(\dot{Q}_G\) faudrait-il fournir au bouilleur ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : 1er Principe (Bilan d'énergie) sur le bouilleur.
Formule Essentielle : \(\dot{Q}_G = \dot{m}_r \times (h_s - h_e)\).
Point de Vigilance Majeur : Unités (kW = kJ/s).

Question 4 : Calculer la puissance frigorifique (\(Q_E\)) produite à l'évaporateur.

Principe

La puissance frigorifique (\(\dot{Q}_E\)) est la quantité de chaleur absorbée par le frigorigène à l'évaporateur. Le même débit massique \(\dot{m}_r\) que nous avons calculé à la question 3 traverse l'évaporateur. En appliquant le Premier Principe à l'évaporateur, on peut calculer \(\dot{Q}_E\).

Mini-Cours

Le frigorigène arrive à l'évaporateur à l'état de mélange liquide-vapeur (après détente). En absorbant la chaleur \(\dot{Q}_E\) (c'est l'effet de refroidissement), il s'évapore complètement pour devenir de la vapeur saturée à sa sortie. L'énergie \(\dot{Q}_E\) est "stockée" sous forme de chaleur latente de vaporisation.

Remarque Pédagogique

La différence d'enthalpie \(\Delta h_E = h_{E,s} - h_{E,e}\) est l'effet frigorifique "massique" (en kJ/kg). Multipliée par le débit massique (en kg/s), elle donne la puissance frigorifique (en kJ/s, c'est-à-dire en kW).

Normes

C'est une application directe du Premier Principe de la Thermodynamique (conservation de l'énergie).

Formule(s)

D'après le Premier Principe appliqué à l'évaporateur :

\dot{Q}_E = \dot{m}_r \times (h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}})

\dot{Q}_E = \dot{m}_r \times (h_{E,s} - h_{E,e})

Hypothèses

On suppose que le débit massique de frigorigène \(\dot{m}_r\) est le même à travers le bouilleur, le condenseur, le détendeur et l'évaporateur (pas de fuites). On suppose aussi un régime permanent.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q3 et les données de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit massique frigorigène	\(\dot{m}_r\)	0.0435	kg/s
Enthalpie (Sortie Évap., vapeur)	\(h_{E,s}\)	2510	kJ/kg
Enthalpie (Entrée Évap., liq+vap)	\(h_{E,e}\)	146.6	kJ/kg

Astuces

La valeur \(h_{E,s}\) (2510 kJ/kg) correspond à l'enthalpie de la vapeur d'eau saturée à 5°C. La valeur \(h_{E,e}\) (146.6 kJ/kg) est l'enthalpie du liquide saturé à 35°C (venant du condenseur, après détente).

Schéma (Avant les calculs)

Focus sur l'évaporateur en tant que système ouvert.

Bilan d'énergie sur l'Évaporateur

Calcul(s)

Nous appliquons la formule \(\dot{Q}_E = \dot{m}_r \times (h_{E,s} - h_{E,e})\) en utilisant les valeurs des données et le résultat de la Q3.

Étape 1 : Calcul de la variation d'enthalpie à l'évaporateur (\(\Delta h_E\))

On utilise \(h_{E,s} = 2510\) kJ/kg (sortie vapeur) et \(h_{E,e} = 146.6\) kJ/kg (entrée liq+vap) des données de l'énoncé.

\begin{aligned} \Delta h_E &= h_{E,s} - h_{E,e} \\ &= 2510 \text{ kJ/kg} - 146.6 \text{ kJ/kg} \\ &= 2363.4 \text{ kJ/kg} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la puissance frigorifique (\(\dot{Q}_E\))

On utilise le débit \(\dot{m}_r = 0.0435\) kg/s (calculé à la Q3) et le \(\Delta h_E\) calculé à l'étape 1.

\begin{aligned} \dot{Q}_E &= \dot{m}_r \times \Delta h_E \\ &= 0.0435 \text{ kg/s} \times 2363.4 \text{ kJ/kg} \\ &= 102.8169 \text{ kJ/s} \\ \Rightarrow \dot{Q}_E &\approx 102.8 \text{ kW} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma additionnel nécessaire.

Réflexions

Nous avons fourni 100 kW de chaleur (énergie "noble", à haute température) au bouilleur, et nous avons obtenu 102.8 kW de froid (énergie "pompée" d'un milieu froid). Il n'y a pas de violation du 1er principe : l'énergie totale est conservée. Le système rejette au total \(Q_C + Q_A \approx Q_G + Q_E \approx 202.8\) kW (en négligeant la pompe).

Points de vigilance

Ne pas inverser \(h_{E,s}\) et \(h_{E,e}\). La chaleur est absorbée, donc \(\dot{Q}_E\) doit être positif, ce qui signifie que \(h_{\text{sortie}} > h_{\text{entrée}}\), ce qui est logique (le fluide gagne de l'énergie).

Points à retenir

Le 1er Principe (\(\dot{Q} = \dot{m} \Delta h\)) est l'outil principal pour calculer les débits ou les puissances dans les échangeurs de chaleur.

Le saviez-vous ?

La puissance frigorifique est parfois exprimée en "Tonnes de Réfrigération" (TR). 1 TR équivaut à environ 3.517 kW. Notre machine produit donc \(102.8 / 3.517 \approx 29.2\) TR.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La puissance frigorifique produite à l'évaporateur est \(\dot{Q}_E \approx 102.8\) kW.

A vous de jouer

Que deviendrait \(\dot{Q}_E\) si, à cause d'une mauvaise détente, l'enthalpie à l'entrée de l'évaporateur (\(h_{E,e}\)) était de 160 kJ/kg ? (Gardez \(\dot{m}_r = 0.0435\) kg/s).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : 1er Principe (Bilan d'énergie) sur l'évaporateur.
Formule Essentielle : \(\dot{Q}_E = \dot{m}_r \times (h_{E,s} - h_{E,e})\).
Règle : C'est le même débit \(\dot{m}_r\) qui traverse le bouilleur, le condenseur, le détendeur et l'évaporateur.

Question 5 : Calculer le Coefficient de Performance (COP) réel de la machine.

Principe

Le Coefficient de Performance (COP) réel (ou effectif) de la machine est le rapport entre ce que la machine nous a réellement fourni (l'effet frigorifique utile \(\dot{Q}_E\)) et ce que nous avons dû payer pour la faire fonctionner (la puissance thermique fournie \(\dot{Q}_G\)).

Mini-Cours

Le COP est la mesure d'efficacité la plus importante pour une machine frigorifique. Il nous dit "combien de kW de froid j'obtiens pour chaque kW de chaleur que je fournis ?". Plus le COP est élevé, plus la machine est efficace.

Remarque Pédagogique

Un COP de 1.028 signifie que pour 100 kW de chaleur "perdue" (par exemple, des fumées d'usine), nous "créons" 102.8 kW de froid (par exemple, pour la climatisation). C'est une excellente valorisation énergétique.

Normes

Les fabricants de machines à absorption (comme Trane, Carrier, York) testent et certifient leurs machines selon des normes (ex: AHRI 560) pour garantir le COP annoncé dans des conditions de test standardisées.

Formule(s)

La définition du COP pour une machine à absorption est :

COP_{\text{réel}} = \frac{\dot{Q}_E}{\dot{Q}_G}

Hypothèses

On néglige la puissance électrique consommée by la pompe de solution (très faible par rapport à \(\dot{Q}_G\)) dans le calcul du COP thermique.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la Question 4 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Puissance frigorifique (calculée Q4)	\(\dot{Q}_E\)	102.8	kW
Puissance thermique fournie (énoncé)	\(\dot{Q}_G\)	100	kW

Astuces

Le COP est un nombre sans dimension (kW / kW). S'il vous reste des unités, c'est qu'il y a une erreur quelque part !

Schéma (Avant les calculs)

Schéma "boîte noire" de la machine complète.

Bilan global de la Machine

Calcul(s)

Application directe de la formule : on divise la puissance frigorifique \(\dot{Q}_E\) (calculée à la Q4) par la puissance thermique fournie \(\dot{Q}_G\) (donnée dans l'énoncé).

\begin{aligned} COP_{\text{réel}} &= \frac{\dot{Q}_E}{\dot{Q}_G} \\ &= \frac{102.8 \text{ kW}}{100 \text{ kW}} \\ &= 1.028 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma additionnel nécessaire.

Réflexions

Le COP réel de la machine est de 1.028. Comparons-le au COP maximal théorique (Carnot) calculé à la Question 1, qui était de 1.403. On voit que \(COP_{\text{réel}} < COP_{\text{max}}\) (1.028 < 1.403), ce qui est physiquement cohérent. Les irréversibilités du cycle (mélange, transferts de chaleur avec \(\Delta T\) finis) ont réduit l'efficacité par rapport au cas idéal.

Points de vigilance

Ne pas inverser \(\dot{Q}_E\) et \(\dot{Q}_G\). Le COP d'une machine à absorption simple effet est presque toujours proche de 1. Un résultat de 0.97 (\(100 / 102.8\)) devrait vous alerter sur une possible inversion.

Points à retenir

Le COP d'une machine à absorption est typiquement de l'ordre de 0.8 à 1.2 pour un simple effet. Un COP supérieur à 1 est normal et ne viole aucun principe, car il s'agit d'un transfert de chaleur (pompage) et non d'une création d'énergie.

Le saviez-vous ?

Les machines à "double effet" ou "triple effet" utilisent la chaleur rejetée par un premier bouilleur pour en chauffer un second à plus basse température. Elles sont plus complexes, mais permettent d'atteindre des COP réels de 1.4 à 1.8 !

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le Coefficient de Performance (COP) réel de la machine est de 1.028.

A vous de jouer

Si, à cause de pertes thermiques, la puissance frigorifique n'était que de 90 kW (tout en consommant toujours 100 kW au bouilleur), quel serait le nouveau COP réel ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Efficacité réelle (COP) d'une machine.
Formule Essentielle : \(COP_{\text{réel}} = \dot{Q}_E / \dot{Q}_G\).
Point de Vigilance Majeur : Toujours vérifier que \(COP_{\text{réel}} \le COP_{\text{max}}\).

Outil Interactif : Influence des Températures sur le COP max

Utilisez les curseurs pour explorer comment la température du bouilleur (\(T_G\)) et la température de l'évaporateur (\(T_E\)) influencent le Coefficient de Performance maximal théorique. (On garde \(T_C = 35^\circ\text{C}\) fixe).

Paramètres d'Entrée

Temp. Bouilleur (\(T_G\)) (°C) 90 °C

Temp. Évaporateur (\(T_E\)) (°C) 5 °C

Résultats Clés

COP Maximal Théorique -

Efficacité Moteur (\(\eta_{\text{moteur}}\)) -

Glossaire

Absorbeur: Composant où la vapeur de frigorigène (eau) est absorbée par l'absorbant (LiBr), libérant de la chaleur (\(Q_A\)) et maintenant la basse pression.
Bouilleur (Générateur): Composant où la chaleur (\(Q_G\)) est fournie pour séparer (bouillir) le frigorigène de la solution absorbante.
Coefficient de Performance (COP): Ratio adimensionnel mesurant l'efficacité. Pour une machine à absorption : \(COP = Q_E / Q_G\).
Condenseur: Composant où la vapeur de frigorigène à haute pression (venant du bouilleur) est refroidie et se condense en liquide, libérant de la chaleur (\(Q_C\)).
Enthalpie (h): Grandeur thermodynamique (en kJ/kg) représentant l'énergie totale d'un fluide. La variation d'enthalpie (\(\Delta h\)) mesure l'énergie absorbée ou libérée.
Évaporateur: Composant où le frigorigène liquide à basse pression s'évapore en absorbant de la chaleur (\(Q_E\)), ce qui crée l'effet frigorifique.
Pression de Saturation: Pression à laquelle un fluide change de phase (liquide/vapeur) à une température donnée. C'est la pression qui règne dans l'évaporateur et le condenseur.

Étude d’une machine à absorption

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Schéma de principe du cycle à absorption

Questions à traiter

Les bases de la Thermodynamique Appliquée

Correction : Étude d'une Machine à Absorption

Question 1 : Calculer le COP maximal théorique (COP de Carnot) de ce cycle.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Diagramme des 3 sources de chaleur (Carnot)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Déterminer la pression de fonctionnement de l'évaporateur \(P_E\).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Niveaux de Pression (Diagramme P-h)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer le débit massique de frigorigène (\(\dot{m}_r\)) produit au bouilleur.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Bilan d'énergie sur le Bouilleur

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Calculer la puissance frigorifique (\(Q_E\)) produite à l'évaporateur.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces