Calcul de la Fugacité d'un Gaz Réel

Contexte : La FugacitéUne "pression corrigée" qui représente le potentiel chimique d'un gaz réel. Elle est utilisée pour appliquer les lois des gaz parfaits aux gaz réels. en Thermodynamique.

En thermodynamique classique, la pression est une mesure directe du potentiel chimique pour un gaz parfait. Cependant, pour les gaz réels, les interactions intermoléculaires rendent cette relation inexacte. La fugacité (\(f\))Une "pression effective" (ou corrigée) qui remplace la pression réelle dans les équations thermodynamiques pour décrire un gaz réel. est introduite comme une "pression effective" ou "corrigée" qui remplace la pression dans les équations thermodynamiques pour les gaz réels. Cet exercice vous guidera dans le calcul de la fugacité du méthane (CH₄) à une pression et une température données, en utilisant l'équation du viriel.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour comprendre l'écart entre un gaz réel et un gaz parfait. Le calcul de la fugacité est une étape cruciale dans l'ingénierie des procédés, notamment pour la conception de réacteurs et de séparateurs à haute pression.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la définition de la fugacité et du coefficient de fugacité (\(\phi\))Le rapport f/P, qui mesure l'écart entre la fugacité du gaz réel et sa pression. Pour un gaz parfait, φ = 1..
Appliquer l'équation du virielUne équation d'état pour les gaz réels, exprimée comme une série de puissances de la pression ou de la densité molaire. tronquée pour décrire un gaz réel.
Calculer le facteur de compressibilité (\(Z\))Le rapport Z = PVm/RT. Il mesure l'écart du volume molaire d'un gaz réel par rapport à celui d'un gaz parfait. Pour un gaz parfait, Z = 1..
Déterminer la fugacité (\(f\)) à partir de la pression et du coefficient de fugacité.

Données de l'étude

Nous cherchons à déterminer la fugacité du méthane (CH₄) à une température de 200 K et une pression de 50 bar. Nous modéliserons le comportement du gaz réel à l'aide de l'équation du viriel tronquée au second coefficient.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Gaz Étudié	Méthane (CH₄)
État	Gaz Réel
Modèle Théorique	Équation du Viriel (tronquée au 2ème coefficient)

Écart au Comportement Idéal

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression de l'étude	\(P\)	50	bar
Température de l'étude	\(T\)	200	K
Second Coeff. Viriel (volumique)	\(B(T)\)	-0.051	L·mol⁻¹
Constante des gaz parfaits	\(R\)	0.08314	L·bar·mol⁻¹·K⁻¹

Questions à traiter

Calculer \(B'\), le second coefficient du viriel en termes de pression.
Calculer le facteur de compressibilité \(Z\) du méthane dans ces conditions.
Calculer le coefficient de fugacité \(\phi\) du méthane.
Déterminer la fugacité \(f\) (en bar) du méthane.
Analyser le résultat : le gaz est-il plus ou moins "compressible" qu'un gaz parfait et pourquoi ?

Bases sur la Fugacité et le Viriel

Pour un gaz réel, les grandeurs thermodynamiques sont corrigées pour tenir compte des interactions moléculaires (attractions et répulsions) qui sont négligées dans le modèle du gaz parfait.

1. Fugacité et Coefficient de Fugacité (\(\phi\))
La fugacité \(f\) est définie de manière à ce que le potentiel chimique \(\mu\) d'un gaz réel s'écrive \(\mu = \mu^0 + RT \ln(f/P^0)\), de la même manière que pour un gaz parfait. Le coefficient de fugacité \(\phi\) est le rapport qui lie la fugacité à la pression : \[ \phi = \frac{f}{P} \] Pour un gaz parfait, \(\phi = 1\) et donc \(f = P\). Pour un gaz réel, \(\phi\) s'écarte de 1.

2. Équation du Viriel et Compressibilité (\(Z\))
Le facteur de compressibilité \(Z = PV_m/RT\) (où \(V_m\) est le volume molaire) mesure l'écart à l'idéalité (où \(Z=1\)). L'équation du viriel exprime \(Z\) comme une série de puissances de la pression \(P\) (ou de la densité molaire \(1/V_m\)) : \[ Z = 1 + B'P + C'P^2 + D'P^3 + \dots \] À basses ou moyennes pressions, on peut tronquer cette série : \(Z \approx 1 + B'P\).

3. Relation Fondamentale entre \(Z\) et \(\phi\)
Le coefficient de fugacité est directement lié au facteur de compressibilité par la relation thermodynamique fondamentale suivante : \[ \ln(\phi) = \int_0^P \frac{Z-1}{P} dP \] Cette équation est la clé pour calculer \(\phi\) (et donc \(f\)) si l'on connaît l'équation d'état \(Z(P, T)\) du gaz.

Correction : Calcul de la Fugacité d’un Gaz Réel (Méthane)

Question 1 : Calcul de \(B'\) (Coefficient du Viriel en Pression)

Principe

L'équation du viriel peut être exprimée en fonction du volume molaire \(V_m\) (avec le coefficient \(B\)) ou de la pression \(P\) (avec le coefficient \(B'\)). Les deux coefficients sont liés par la relation \(B' = B / RT\). Notre première étape est de calculer ce coefficient \(B'\) en utilisant les données de l'énoncé, car il est la base de notre modèle \(Z = 1 + B'P\).

Mini-Cours

Les coefficients du viriel \(B\), \(B'\), \(C\), \(C'\), etc., sont des fonctions de la température qui décrivent les interactions entre les paires (\(B\)), les triplets (\(C\)), etc., de molécules. \(B(T)\) décrit les interactions à deux corps.

Remarque Pédagogique

La conversion entre \(B\) (basé sur le volume molaire \(1/V_m\)) et \(B'\) (basé sur la pression \(P\)) est une étape préliminaire fréquente. L'équation \(Z = 1 + B'P\) est plus facile à intégrer par rapport à \(P\) que ne l'est \(Z = 1 + B/V_m\).

Normes

Ce ne sont pas des "normes" au sens strict, mais des "Principes Fondamentaux" de la thermodynamique. L'équation du viriel est un développement théorique rigoureux issu de la mécanique statistique.

Formule(s)

Relation entre les coefficients du viriel

B'(T) = \frac{B(T)}{RT}

Cette formule est une relation thermodynamique standard qui permet de passer d'une équation du viriel en \(1/V_m\) (utilisant \(B\)) à une équation en \(P\) (utilisant \(B'\)).

Hypothèses

Nous supposons que l'équation du viriel tronquée au second terme (\(Z = 1 + B'P\)) est suffisante pour décrire le gaz dans ces conditions. C'est généralement vrai à des pressions faibles à modérées.

Pression modérée (50 bar).
Le gaz est pur (méthane).

Donnée(s)

Nous extrayons les données nécessaires *directement de la table des données numériques de l'énoncé*.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Second Coeff. Viriel (vol.)	\(B(T)\)	-0.051	L·mol⁻¹
Constante des gaz parfaits	\(R\)	0.08314	L·bar·mol⁻¹·K⁻¹
Température	\(T\)	200	K

Astuces

L'étape la plus critique ici est l'analyse dimensionnelle. Vérifiez que les unités s'annulent correctement. \(B\) (en L/mol) divisé par \(RT\) (en L·bar/mol) doit donner un résultat en \(1/\text{bar}\) (bar⁻¹), ce qui est cohérent pour \(B'\) qui multiplie une pression.

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul est une application directe de la formule. On peut le voir comme un "système" où les données d'entrée sont transformées par la formule pour donner la sortie.

Processus de calcul de \(B'\)

Calcul(s)

Nous allons décomposer le calcul étape par étape, en montrant la substitution des valeurs et la gestion des unités.

Étape 1 : Calcul du terme \(RT\)

\begin{aligned} RT &= (0.08314 \text{ L·bar·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}) \times (200 \text{ K}) \\ RT &= 16.628 \text{ L·bar·mol}^{-1} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(B'\)

\begin{aligned} B' &= \frac{B(T)}{RT} \\ B' &= \frac{-0.051 \text{ L·mol}^{-1}}{16.628 \text{ L·bar·mol}^{-1}} \\ B' &\approx -0.003067 \text{ bar}^{-1} \end{aligned}

Analyse des unités : \( \frac{\text{L/mol}}{\text{L·bar/mol}} = \frac{\text{L}}{\text{mol}} \times \frac{\text{mol}}{\text{L·bar}} = \frac{1}{\text{bar}} = \text{bar}^{-1} \)

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur négative. Cela indique que les forces d'attraction dominent sur les forces de répulsion à 200 K.

Visualisation de la valeur de \(B'\)

Réflexions

La valeur de \(B'\) est négative (\(-0.00307 \text{ bar}^{-1}\)). Puisque \(Z = 1 + B'P\), un \(B'\) négatif implique que \(Z\) sera inférieur à 1 (tant que \(P > 0\)). Cela nous indique déjà que les forces d'attraction seront dominantes.

Points de vigilance

Ne confondez pas \(B\) et \(B'\). \(B\) est utilisé dans \(Z = 1 + B/V_m + \dots\) tandis que \(B'\) est utilisé dans \(Z = 1 + B'P + \dots\). Ils n'ont pas les mêmes unités et ne sont pas interchangeables.

Points à retenir

La relation \(B' = B / RT\) est fondamentale.
Le signe de \(B'\) (ou \(B\)) dicte l'écart initial à l'idéalité : \(B < 0 \Rightarrow\) attractions dominent, \(B > 0 \Rightarrow\) répulsions dominent.

Le saviez-vous ?

Le second coefficient du viriel \(B(T)\) peut être calculé directement à partir du potentiel d'interaction entre deux molécules (par exemple, le potentiel de Lennard-Jones) en utilisant la mécanique statistique.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La valeur du second coefficient du viriel en pression est \(B' \approx -0.00307 \text{ bar}^{-1}\).

A vous de jouer

À une température plus élevée, disons 300 K, le coefficient \(B\) du méthane vaut environ \(-0.018 \text{ L/mol}\). Que vaudrait \(B'\) à 300 K ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Conversion entre les coefficients du viriel \(B\) et \(B'\).
Formule Essentielle : \(B' = B / RT\).
Point de Vigilance Majeur : Unités (L/mol pour \(B\), bar⁻¹ pour \(B'\)).

Question 2 : Calcul du Facteur de Compressibilité (\(Z\))

Principe

Le facteur de compressibilité \(Z\) quantifie l'écart du volume molaire du gaz réel par rapport au volume molaire d'un gaz parfait dans les mêmes conditions de pression et température. Nous l'obtenons en utilisant l'équation du viriel tronquée \(Z \approx 1 + B'P\), *qui est notre modèle de travail défini dans l'introduction et la section 'Bases'*. Nous allons y injecter la valeur de \(B'\) calculée à la Q1.

Mini-Cours

Le facteur de compressibilité \(Z\) est le pont entre les gaz réels et parfaits. \(Z = 1\) est la ligne de base (gaz parfait). \(Z < 1\) signifie que le volume réel est plus petit que le volume parfait, et \(Z > 1\) signifie qu'il est plus grand.

Remarque Pédagogique

C'est la première quantification concrète de "l'écart à l'idéalité". Un \(Z\) de 0.85 signifie que l'erreur commise en supposant un gaz parfait serait de plus de 15% sur le calcul du volume.

Normes

Le calcul de \(Z\) est une étape standard dans toutes les normes de calcul de propriétés de fluides (par ex. API, ISO).

Formule(s)

Équation du viriel tronquée

\[ Z = 1 + B'P \]

C'est notre équation d'état (le modèle) pour ce gaz réel, comme indiqué dans la section "Bases sur la Fugacité et le Viriel".

Hypothèses

L'hypothèse principale reste que l'équation \(Z = 1 + B'P\) est valide. Nous négligeons les termes d'ordre supérieur (\(C'P^2\), etc.).

Donnée(s)

Nous utilisons la valeur de \(B'\) *que nous venons de calculer à la Question 1* et la pression \(P\) *donnée dans l'énoncé*.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coeff. Viriel Pression	\(B'\)	-0.003067	bar⁻¹
Pression	\(P\)	50	bar

Astuces

Le calcul est \(1 + (\text{valeur négative})\), donc le résultat doit être inférieur à 1. Si vous obtenez \(Z > 1\) avec un \(B'\) négatif, vérifiez vos signes !

Schéma (Avant les calculs)

Le modèle \(Z = 1 + B'P\) est une équation linéaire. Comme \(B'\) est négatif, nous nous attendons à ce que \(Z\) diminue linéairement lorsque \(P\) augmente (en partant de \(Z=1\) à \(P=0\)).

Modèle de \(Z\) en fonction de \(P\)

Calcul(s)

Application de la formule \(Z = 1 + B'P\)

\begin{aligned} Z &= 1 + B'P \\ Z &= 1 + (-0.003067 \text{ bar}^{-1}) \times (50 \text{ bar}) \\ Z &= 1 - 0.15335 \\ Z &\approx 0.84665 \end{aligned}

Le produit \(B'P\) est adimensionnel (\(\text{bar}^{-1} \times \text{bar}\)), ce qui est correct car \(Z\) est adimensionnel.

Schéma (Après les calculs)

Nous plaçons notre point calculé sur le graphique du modèle. Il se situe bien en dessous de la ligne \(Z=1\).

Position de notre point d'étude

Réflexions

Le résultat \(Z \approx 0.847\) est inférieur à 1. Cela signifie que, dans ces conditions, le volume molaire du méthane réel est environ 15.3% plus *petit* que celui d'un gaz parfait. Physiquement, cela indique que les forces d'attraction intermoléculaires sont dominantes par rapport aux forces de répulsion, "compressant" le gaz plus facilement.

Points de vigilance

Le produit \(B'P\) doit être adimensionnel. Vérifiez : \(B' \text{ (bar}^{-1}\)) \times \(P \text{ (bar)}\) donne bien un nombre sans unité. C'est correct.

Points à retenir

\(Z < 1\) : Le gaz est plus compressible qu'un gaz parfait (forces d'attraction dominantes).
\(Z > 1\) : Le gaz est moins compressible qu'un gaz parfait (forces de répulsion dominantes).

Le saviez-vous ?

Pour de nombreux gaz, il existe une température, appelée "Température de Boyle", à laquelle \(B(T) = 0\). À cette température, le gaz se comporte de manière idéale sur une large plage de pressions (car le terme \(B'P\) s'annule).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le facteur de compressibilité est \(Z \approx 0.847\).

A vous de jouer

En gardant \(T = 200 \text{ K}\) (donc \(B' = -0.003067 \text{ bar}^{-1}\)), quel serait \(Z\) à une pression plus faible de 20 bar ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Facteur de compressibilité \(Z\).
Formule Essentielle : \(Z = 1 + B'P\).
Interprétation : \(Z < 1\) signifie que les attractions dominent.

Question 3 : Calcul du Coefficient de Fugacité (\(\phi\))

Principe

Nous devons maintenant calculer le coefficient de fugacité \(\phi\). Pour ce faire, nous intégrons la relation fondamentale \(\ln(\phi) = \int_0^P (Z-1)/P dP\) *introduite dans la section 'Bases sur la Fugacité'*. Nous allons remplacer \(Z\) dans cette intégrale par notre modèle \(Z = 1 + B'P\) *de la Question 2* pour trouver une formule simple pour \(\ln(\phi)\).

Mini-Cours

La relation \(\ln(\phi) = \int_0^P (Z-1)/P dP\) est l'une des relations fondamentales de la thermodynamique des fluides. Elle dérive de l'identité thermodynamique \(V_m = (\partial \mu / \partial P)_T\) et de la définition de la fugacité. L'intégration de \(Z-1\) (l'écart à l'idéalité) sur la pression donne le potentiel chimique "corrigé".

Remarque Pédagogique

Notez comment l'intégration fonctionne : nous "accumulons" l'écart à l'idéalité (\(Z-1\)) depuis une pression nulle (où le gaz est parfait, \(Z=1\)) jusqu'à notre pression cible \(P\). C'est pour cela que c'est une intégrale de 0 à \(P\).

Normes

C'est une relation thermodynamique fondamentale, pas une norme industrielle.

Formule(s)

Dérivation de la formule de \(\phi\)

\ln(\phi) = \int_0^P \frac{Z-1}{P} dP = \int_0^P \frac{(1 + B'P) - 1}{P} dP

*Étape 1 : Remplacer Z par le modèle \(1 + B'P\).*

Simplification

\ln(\phi) = \int_0^P \frac{B'P}{P} dP = \int_0^P B' dP

*Étape 2 : Simplifier l'intérieur de l'intégrale. Le \(1 - 1\) s'annule et les \(P\) se simplifient.*

Formule finale pour ce modèle

\ln(\phi) = B'P

*Étape 3 : Résoudre l'intégrale d'une constante (\(B'\)) de 0 à P, ce qui donne \(B'(P - 0) = B'P\).*

Hypothèses

L'hypothèse est toujours que le modèle \(Z = 1 + B'P\) est valide sur toute la plage d'intégration (de 0 à 50 bar). Puisque \(B'\) est supposé constant (il ne dépend que de T), l'intégration est triviale.

Donnée(s)

Nous utilisons le produit \(B'P\), *qui a été calculé comme étape intermédiaire dans la Question 2*.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Terme B'P	\(B'P\)	-0.15335	(sans unité)

Astuces

Pour ce modèle spécifique (viriel tronqué à \(B'\)), notez que nous avons trouvé \(Z = 1 + B'P\) et \(\ln(\phi) = B'P\). Par conséquent, pour ce modèle *uniquement*, nous avons la relation simple \(\ln(\phi) = Z - 1\). C'est un raccourci utile.

Schéma (Avant les calculs)

Nous devons intégrer \((Z-1)/P\) de 0 à \(P\). Puisque \(Z = 1 + B'P\), alors \((Z-1)/P = (B'P)/P = B'\). Nous intégrons donc une constante (\(B'\)) par rapport à \(P\), ce qui correspond à l'aire d'un rectangle.

Visualisation de l'intégrale \(\ln(\phi)\)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(\ln(\phi)\)

\begin{aligned} \ln(\phi) &= B'P \\ \ln(\phi) &= (-0.003067 \text{ bar}^{-1}) \times (50 \text{ bar}) \\ \ln(\phi) &= -0.15335 \end{aligned}

Comme discuté dans les astuces, pour ce modèle, \(\ln(\phi) = Z - 1\). Nous avions \(Z = 0.84665\), et \(Z - 1 = -0.15335\). Le résultat est cohérent.

Étape 2 : Calcul de \(\phi\)

\begin{aligned} \phi &= e^{\ln(\phi)} \\ \phi &= e^{-0.15335} \\ \phi &\approx 0.8578 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat \(\phi \approx 0.858\) est un nombre inférieur à 1, ce qui confirme l'écart à l'idéalité.

Visualisation de la valeur de \(\phi\)

Réflexions

Le coefficient de fugacité \(\phi \approx 0.858\) est, comme \(Z\), inférieur à 1. C'est cohérent. Un \(\phi < 1\) signifie que la "pression effective" (fugacité) du gaz est inférieure à sa pression mécanique réelle, toujours à cause des forces d'attraction qui réduisent le "potentiel d'échappement" des molécules.

Points de vigilance

N'oubliez pas l'exponentielle ! Une erreur commune est de dire que \(\phi = \ln(\phi)\). \(\ln(\phi)\) est \(-0.153\), mais \(\phi\) est \(e^{-0.153}\), ce qui donne \(0.858\). Ce sont deux nombres très différents.

Points à retenir

La formule de base \(\ln(\phi) = \int_0^P (Z-1)/P dP\) doit être connue.
L'intégration de \(Z = 1 + B'P\) donne le résultat simple \(\ln(\phi) = B'P\).

Le saviez-vous ?

Pour des équations plus complexes comme Peng-Robinson, l'intégrale \(\int (Z-1)/P dP\) devient très compliquée et implique des termes en logarithme népérien, car \(Z\) est une fonction plus complexe de \(P\).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le coefficient de fugacité est \(\phi \approx 0.858\).

A vous de jouer

En utilisant le résultat de "A vous de jouer" de la Q2 (\(Z \approx 0.9387\) à 20 bar), quel serait le coefficient \(\phi\) à 20 bar ? (Utilisez le raccourci \(\ln(\phi) = Z - 1\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Lien entre \(Z\) et \(\phi\).
Formule Essentielle : \(\ln(\phi) = \int_0^P (Z-1)/P dP\).
Raccourci (ce modèle) : \(\ln(\phi) = B'P = Z - 1\).

Question 4 : Détermination de la Fugacité (\(f\))

Principe

La fugacité \(f\) est la grandeur finale que nous cherchons. Elle se calcule simplement à partir de sa définition, \(f = \phi \times P\), *en utilisant le coefficient \(\phi\) que nous venons de calculer à la Question 3* et la pression \(P\) *de l'énoncé*. C'est l'application directe de la définition du coefficient de fugacité.

Mini-Cours

La fugacité \(f\) est l'objectif final. C'est la grandeur qui a un sens physique direct dans les calculs d'équilibre. \(\phi\) et \(Z\) sont des intermédiaires de calcul. La fugacité a les mêmes unités que la pression (bar, Pa, atm...).

Remarque Pédagogique

Ce calcul final montre l'ampleur de la correction. Nous appliquons un "facteur de correction" (\(\phi = 0.858\)) à notre pression mesurée (\(P = 50 \text{ bar}\)) pour trouver la pression "effective" que le système "ressent" thermodynamiquement.

Normes

Calcul final standard.

Formule(s)

Définition du coefficient de fugacité

f = \phi \times P

Ceci est la définition de \(\phi\) ( \(\phi = f/P\) ) réarrangée pour trouver \(f\). Elle a été introduite dans la section "Bases sur la Fugacité".

Hypothèses

Aucune nouvelle hypothèse. Nous utilisons les résultats des étapes précédentes.

Donnée(s)

Nous utilisons le coefficient \(\phi\) *calculé à la Question 3* et le \(P\) *de l'énoncé*.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coefficient de fugacité	\(\phi\)	0.8578	(sans unité)
Pression	\(P\)	50	bar

Astuces

Puisque \(\phi < 1\), le résultat \(f\) doit être inférieur à \(P\). Si vous trouvez \(f > 50 \text{ bar}\), vous avez fait une erreur (probablement dans le calcul de \(\phi\) ou de \(B'\)).

Schéma (Avant les calculs)

Ce calcul "corrige" la pression \(P\) en la multipliant par le facteur \(\phi\) que nous venons de trouver.

Processus de calcul de \(f\)

Calcul(s)

Application de la formule \(f = \phi \times P\)

\begin{aligned} f &= \phi \times P \\ f &= (0.8578) \times (50 \text{ bar}) \\ f &\approx 42.89 \text{ bar} \end{aligned}

La fugacité (\(f\)) a les mêmes unités que la pression (\(P\)), car le coefficient de fugacité (\(\phi\)) est adimensionnel.

Schéma (Après les calculs)

On peut visualiser l'écart final entre la pression réelle (mesurée) et la fugacité (effective).

Comparaison Pression vs Fugacité

Réflexions

La fugacité du méthane est de 42.9 bar. Cela signifie que, sur le plan thermodynamique, le méthane à 50 bar et 200 K se comporte comme s'il était un gaz parfait à une pression de 42.9 bar. C'est cette valeur (la fugacité) qu'il faut utiliser dans les calculs d'équilibre chimique ou de potentiel chimique, et non la pression réelle de 50 bar.

Points de vigilance

Attention aux unités. Si \(P\) est en bar, \(f\) sera en bar. Si \(P\) était en Pascals, \(f\) serait en Pascals.

Points à retenir

La fugacité est la grandeur thermodynamique clé, pas la pression.
\(f = \phi \times P\).

Le saviez-vous ?

Dans un mélange de gaz réels, le concept devient encore plus complexe. Chaque composant a sa propre fugacité dans le mélange (\(\hat{f_i}\)), qui dépend non seulement de \(T\) et \(P\), mais aussi de la composition (la fraction molaire) du mélange.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La fugacité du méthane à 200 K et 50 bar est \(f \approx 42.9 \text{ bar}\).

A vous de jouer

En utilisant le résultat \(\phi \approx 0.9404\) à 20 bar (de la Q3), quelle serait la fugacité \(f\) à 20 bar ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Fugacité \(f\).
Formule Essentielle : \(f = \phi \times P\).
Signification : \(f\) est la "pression thermodynamique effective".

Question 5 : Analyse de l'Écart à l'Idéalité

Principe

Cette question est une synthèse. Nous devons interpréter nos résultats (\(Z < 1\) et \(\phi < 1\)) en termes physiques, c'est-à-dire en termes d'interactions intermoléculaires.

Schéma (Après les calculs)

Visualisons la relation entre les interactions moléculaires et \(Z\).

Influence des Interactions sur \(Z\)

Réflexions

Nous avons calculé \(Z \approx 0.847\) et \(\phi \approx 0.858\). Les deux sont inférieurs à 1.

Signification de \(Z < 1\) : Le volume molaire réel \(V_m\) est plus petit que le volume molaire idéal \(V_{m, \text{idéal}}\) (\(Z = V_m / V_{m, \text{idéal}}\)). Cela signifie que le gaz occupe moins de place que prévu. Ce phénomène est dû à la dominance des forces d'attraction intermoléculaires (forces de van der Waals, liaisons hydrogène, etc.) qui "tirent" les molécules les unes vers les autres, réduisant le volume total.

Signification de \(\phi < 1\) : La fugacité \(f\) (potentiel d'échappement) est inférieure à la pression \(P\). Les molécules sont "retenues" par leurs voisines à cause des mêmes forces d'attraction, ce qui réduit leur tendance à s'échapper de la phase (leur potentiel chimique).

Conclusion : À 200 K et 50 bar, le méthane est dans un état où les forces d'attraction dominent les forces de répulsion. Le gaz est donc plus compressible qu'un gaz parfait.

Points de vigilance

Ce n'est pas parce que \(Z < 1\) que les répulsions n'existent pas. Elles existent toujours (les molécules ont un volume propre), mais leur effet est *moins* important que celui des attractions dans ces conditions (pression modérée, température relativement basse).

Le saviez-vous ?

Le fait que \(Z < 1\) (attractions dominantes) est la base de la liquéfaction des gaz. C'est aussi lié à l'effet Joule-Thomson : un gaz qui se détend dans ces conditions (comme le méthane) va se refroidir, car il doit "dépenser" de l'énergie interne pour vaincre ces forces d'attraction en s'éloignant.

Résultat Final

L'écart à l'idéalité est significatif (\(f\) est 14.2% plus faible que \(P\)). Cet écart est dû à la prédominance des forces d'attraction intermoléculaires à cette température et pression, rendant le gaz plus compressible qu'un gaz parfait.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Analyse : \(Z < 1\) et \(\phi < 1\).
Cause Physique : Les forces d'attraction sont dominantes.
Conséquence : Le gaz est plus compressible que parfait et \(f < P\).

Outil Interactif : Simulateur de Fugacité

Utilisez le simulateur pour explorer comment la Pression et la Température influencent le facteur \(Z\) et la fugacité \(f\) du méthane. Le modèle \(B(T)\) est une approximation, mais il montre les tendances correctes.

Paramètres d'Entrée

Pression (\(P\)) (bar) 50 bar

Température (\(T\)) (K) 200 K

Résultats Clés

Facteur de Compressibilité (\(Z\)) -

Fugacité (\(f\)) (bar) -

Glossaire

Fugacité (\(f\)): Une "pression corrigée" ou "pression effective" qui représente le potentiel chimique d'un gaz réel. Elle remplace la pression dans les équations d'équilibre et de potentiel chimique pour tenir compte de la non-idéalité.
Coefficient de Fugacité (\(\phi\)): Rapport adimensionnel \(\phi = f/P\). Il mesure l'écart entre la fugacité du gaz réel et sa pression. Pour un gaz parfait, \(\phi = 1\).
Facteur de Compressibilité (\(Z\)): Rapport adimensionnel \(Z = PV_m/RT\). Il mesure l'écart du volume molaire d'un gaz réel par rapport à celui d'un gaz parfait. Pour un gaz parfait, \(Z = 1\).
Équation du Viriel: Une équation d'état pour les gaz réels, exprimée comme une série de puissances de la pression (\(Z = 1 + B'P + \dots\)) ou de la densité molaire (\(Z = 1 + B/V_m + \dots\)). Les coefficients (\(B, C, \dots\)) dépendent de la température et des interactions moléculaires.
Gaz Parfait: Un modèle de gaz théorique où les molécules sont ponctuelles (volume nul) et n'interagissent pas entre elles. Il suit la loi \(PV = nRT\) (\(Z=1\)) dans toutes les conditions.