Énergie Libre de Helmholtz et Travail Maximal

Contexte : La transformation isothermeUn processus thermodynamique qui se produit à température constante. d'un gaz parfaitUn modèle théorique de gaz où les particules n'ont pas de volume et n'interagissent pas entre elles, sauf par des collisions élastiques. Il suit la loi PV = nRT..

En thermodynamique, l'énergie libre de Helmholtz, notée A, est une fonction d'état cruciale pour comprendre le travail maximal qu'un système peut fournir lors d'une transformation à température constante (isotherme) et à volume constant (isochore). Plus généralement, pour une transformation isotherme réversible, la variation ΔA est égale au travail total W reçu par le système. Cet exercice explore cette relation fondamentale.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer les grandeurs thermodynamiques clés (Travail W, Variation d'Énergie Interne ΔU, Variation d'Entropie ΔS) pour un processus simple et à les relier à la variation d'énergie libre de Helmholtz (ΔA).

Objectifs Pédagogiques

Calculer le travail W pour une compression isotherme réversible.
Appliquer le premier principe de la thermodynamique (ΔU = W + Q).
Déterminer la variation d'énergie interne ΔU et d'entropie ΔS pour ce processus.
Calculer la variation d'énergie libre de Helmholtz ΔA.
Vérifier la relation fondamentale ΔA = W_rev pour une transformation isotherme.

Données de l'étude

On considère n = 2,0 moles d'un gaz parfait. Le système subit une compression isotherme réversible à la température constante T = 300 K. Le volume initial est V₁ = 20,0 L et le volume final est V₂ = 10,0 L.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de transformation	Isotherme (T = constante) et Réversible
Système	Gaz Parfait
Constante des gaz parfaits (R)	8,314 J/(mol·K)

Diagramme Pression-Volume (P-V) de la compression

Paramètre	Symbole	Description	Valeur	Unité
Quantité de matière	n	Nombre de moles	2,0	mol
Température	T	Température constante (isotherme)	300	K
Volume initial	V₁	Point de départ	20,0	L
Volume final	V₂	Point d'arrivée (compression)	10,0	L

Questions à traiter

Calculer le travail (W) reçu par le système lors de cette compression réversible.
Calculer la variation d'énergie interne (ΔU) du gaz.
Calculer la variation d'entropie (ΔS) du gaz.
Calculer la variation d'énergie libre de Helmholtz (ΔA) du gaz.
Comparer le travail W (calculé en 1) et la variation ΔA (calculée en 4). Conclure.

Les bases de la Thermodynamique et de l'Énergie Libre

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de plusieurs définitions et lois fondamentales appliquées à un gaz parfait lors d'une transformation isotherme.

1. Loi des Gaz Parfaits
La relation entre la pression (P), le volume (V), la quantité de matière (n) et la température (T) est donnée par : \[ PV = nRT \]

2. Travail d'une transformation réversible (W)
Le travail reçu par le système est l'intégrale du produit Pression-Volume : \[ W = - \int_{V_1}^{V_2} P_{\text{ext}} dV \] Pour un processus réversible, P_ext = P_int = P = nRT/V. L'intégration donne : \[ W = - \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V} dV = -nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \]

3. Énergie Interne (U) et 1ère Loi de Joule
L'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température (U = f(T)). La variation d'énergie interne est ΔU = n C_v ΔT, où C_v est la capacité thermique molaire à volume constant.

4. Entropie (S)
La variation d'entropie pour un gaz parfait est donnée par : \[ \Delta S = n C_v \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \]

5. Énergie Libre de Helmholtz (A)
Elle est définie par A = U - TS. La variation ΔA lors d'une transformation est : \[ \Delta A = \Delta U - \Delta(TS) \] Si la température est constante (T₁ = T₂ = T), cela se simplifie en : \[ \Delta A = \Delta U - T\Delta S \]

Correction : Énergie Libre de Helmholtz et Travail Maximal

Question 1 : Calculer le travail (W) reçu par le système

Principe

Le travail des forces de pression lors d'une transformation réversible est calculé en intégrant la pression, P, en fonction du volume, V. Pour une compression, on s'attend à ce que le milieu extérieur fournisse du travail au système, donc W > 0.

Mini-Cours

Pour un gaz parfait, la pression est donnée par la loi PV = nRT, soit P = nRT/V. Le travail est W = - ∫ P_ext dV. Pour un processus réversible, la pression externe P_ext est à tout moment égale à la pression interne P du gaz.

Remarque Pédagogique

L'hypothèse "réversible" est clé. Elle implique que la force extérieure est à chaque instant juste imperceptiblement supérieure à la force de pression du gaz, permettant au système de rester en équilibre. C'est ce qui minimise le travail requis pour la compression (ou maximise le travail obtenu d'une détente).

Normes

La formule utilisée ici est une définition fondamentale de la thermodynamique classique. La convention de signe utilisée est celle de l'IUPAC (Union Internationale de Chimie Pure et Appliquée) : le travail est compté positivement (W > 0) s'il est reçu par le système.

Formule(s)

La formule est dérivée dans les rappels (section "Les bases"). C'est l'outil mathématique qui traduit le "Mini-Cours" et les hypothèses (gaz parfait, isotherme, réversible).

Formule du travail (isotherme, réversible, gaz parfait)

W = -nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)

Hypothèses

Nous utilisons les hypothèses données dans l'énoncé :

Le système est un gaz parfait.
La transformation est réversible.
La transformation est isotherme (T = 300 K).

Donnée(s)

Nous extrayons les valeurs numériques de l'énoncé. Notez que les volumes peuvent rester en Litres (L) car nous utilisons leur rapport (V₂/V₁), qui est sans dimension. R doit être en Joules pour obtenir un travail en Joules.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Quantité de matière	n	2,0	mol
Constante des gaz	R	8,314	J/(mol·K)
Température	T	300	K
Volume initial	V₁	20,0	L
Volume final	V₂	10,0	L

Astuces

Vérification rapide du signe : on a une compression (V₂ < V₁), donc le rapport (V₂/V₁) < 1. Le logarithme d'un nombre inférieur à 1 est négatif (ln(0,5) < 0). La formule est W = -nRT × (négatif), ce qui donne un résultat positif. W > 0, le système reçoit bien du travail, ce qui est cohérent avec une compression.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé (Diagramme P-V) est la meilleure illustration. Le travail W correspond à l'aire sous la courbe isotherme, entre V₂ et V₁. Puisque l'on va de V₁ à V₂ (compression), l'intégrale ∫ P dV est négative, et W = - ∫ P dV est donc positif.

Rappel : Aire sous la courbe P-V

Calcul(s)

Étape 1 : Application de la formule du travail

On reprend la formule W = -nRT ln(V₂/V₁). On calcule d'abord le terme nRT :

nRT = (2,0 \text{ mol}) \times (8,314 \text{ J/(mol·K)}) \times (300 \text{ K}) \] \[ = 4988,4 \text{ J}

On calcule ensuite le terme ln(V₂/V₁) :

\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = \ln\left(\frac{10,0 \text{ L}}{20,0 \text{ L}}\right) = \ln(0,5) \approx -0,6931

On combine le tout (attention aux signes) :

\begin{aligned} W &= - (nRT) \times \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\ W &= - (4988,4 \text{ J}) \times (-0,6931) \\ W &\approx +3457,5 \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma pertinent (Diagramme P-V) a déjà été présenté avant le calcul, car il illustre l'aire à calculer.

Réflexions

Le résultat est W ≈ +3,46 kJ. Le signe positif confirme que le système a reçu de l'énergie sous forme de travail de la part du milieu extérieur, ce qui est logique pour une compression (on doit "pousser" sur le piston).

Points de vigilance

Le piège principal est le signe. La formule W = - ∫ P dV est la convention IUPAC. Si l'on calcule ∫ P dV, on obtient l'opposé. De plus, ln(V₂/V₁) est négatif ici, il faut bien gérer le double signe "moins".

Points à retenir

Compression ( V₂ < V₁ ) ⇒ ln(V₂/V₁) < 0 ⇒ W > 0 (Travail reçu).
Détente ( V₂ > V₁ ) ⇒ ln(V₂/V₁) > 0 ⇒ W < 0 (Travail fourni).

Le saviez-vous ?

Le travail calculé (W_rev) est le travail *minimal* qu'il faut fournir pour comprimer le gaz de V₁ à V₂. Toute irréversibilité (une compression "brutale") nécessiterait de fournir *plus* de travail pour arriver au même état final, car une partie serait dissipée en chaleur (entropie créée).

FAQ

Voici les questions fréquentes sur ce calcul :

Résultat Final

Le travail reçu par le système est W ≈ +3457,5 J (ou 3,46 kJ).

A vous de jouer

La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Que vaudrait le travail W si on comprimait le gaz à V₂ = 5,0 L (au lieu de 10,0 L) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Travail d'une compression isotherme réversible.
Formule Essentielle : W = -nRT ln(V₂/V₁).
Point de Vigilance Majeur : Le signe de W (positif pour une compression).

Question 2 : Calculer la variation d'énergie interne (ΔU)

Principe

L'énergie interne (U) représente l'énergie totale contenue dans le système (énergie cinétique microscopique, liaisons...). Pour un gaz parfait, une loi fondamentale (1ère Loi de Joule) stipule que cette énergie ne dépend que d'une seule variable : la température.

Mini-Cours

La 1ère Loi de Joule (expérimentale) montre que pour un gaz parfait, l'énergie interne est indépendante du volume et de la pression. Elle ne dépend que de la température. Par conséquent, si la température ne change pas (ΔT = 0), l'énergie interne ne change pas non plus (ΔU = 0).

Remarque Pédagogique

C'est un point fondamental. Pour un gaz parfait, si c'est isotherme, alors ΔU = 0. C'est un raccourci puissant. L'énergie gagnée sous forme de travail (W > 0) est intégralement perdue sous forme de chaleur (Q < 0) pour maintenir T constante.

Normes

Ceci découle de la définition thermodynamique du gaz parfait et de la 1ère Loi de Joule, qui sont des piliers de la thermodynamique classique.

Formule(s)

La formule générale de la variation d'énergie interne (provenant de la définition de la capacité thermique C_v) est :

Variation d'Énergie Interne (Gaz Parfait)

\Delta U = n C_v \Delta T

Hypothèses

Nous utilisons les hypothèses données dans l'énoncé :

Le système est un gaz parfait (ce qui valide la 1ère Loi de Joule).
La transformation est isotherme (ce qui fixe ΔT).

Donnée(s)

La seule donnée de l'énoncé dont nous avons besoin est que le processus est "isotherme".

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Variation de Température	ΔT	0	K

Astuces

N'essayez pas de calculer C_v. Vous n'en avez pas besoin. Dès que vous lisez "gaz parfait" et "isotherme", vous devez avoir le réflexe ΔU = 0.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre le Premier Principe (ΔU = W + Q) pour ce cas. L'énergie interne est un réservoir. Le travail W entre (compression), mais la chaleur Q sort (évacuation vers le thermostat) pour maintenir T constante. Le niveau du réservoir (U) ne change pas.

Bilan énergétique (ΔU = 0)

Calcul(s)

Application de la formule

La formule de la variation d'énergie interne pour un gaz parfait est ΔU = n C_v ΔT.
Dans cet exercice, le processus est isotherme, ce qui signifie que la température ne change pas.

\Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{initial}} \] \[ = 300 \text{ K} - 300 \text{ K} \] \[ = 0 \text{ K}

En insérant cette valeur dans la formule :

\begin{aligned} \Delta U &= n C_v \times (0 \text{ K}) \\ \Delta U &= 0 \text{ J} \end{aligned}

Peu importe les valeurs de n ou C_v, le résultat sera toujours zéro car ΔT = 0.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma conceptuel reste le même : le bilan énergétique est nul.

Réflexions

Le fait que ΔU = 0 est la conséquence directe de la 1ère Loi de Joule pour un gaz parfait subissant une transformation isotherme. Cela simplifie grandement le premier principe de la thermodynamique (ΔU = W + Q), qui devient 0 = W + Q, soit Q = -W. Le système a reçu +3457,5 J de travail (Q1), il a donc cédé -3457,5 J de chaleur au thermostat pour rester à 300 K.

Points de vigilance

Attention ! ΔU = 0 n'est vrai que parce que c'est un gaz parfait ET isotherme. Pour un gaz réel, l'énergie interne dépend aussi du volume (forces intermoléculaires), et ΔU ne serait pas nul même à T constante.

Points à retenir

Gaz Parfait + Isotherme (ΔT = 0) ⇒ ΔU = 0.
Conséquence : W = -Q pour un processus isotherme de gaz parfait.

Le saviez-vous ?

James Prescott Joule a démontré cette loi vers 1845 avec sa célèbre expérience de la détente de Joule-Gay-Lussac. Il a détendu un gaz dans le vide (travail nul) et n'a mesuré aucune variation de température, prouvant que l'énergie interne du gaz (presque parfait) ne dépendait pas du volume.

FAQ

Questions fréquentes sur ce point :

Résultat Final

La variation d'énergie interne est ΔU = 0 J.

A vous de jouer

Si la température avait augmenté de 10 K (processus non-isotherme), ΔU serait-il toujours nul ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : 1ère Loi de Joule.
Formule Essentielle : ΔU = n C_v ΔT.
Raccourci : Gaz Parfait + Isotherme ⇒ ΔT=0 ⇒ ΔU=0.

Question 3 : Calculer la variation d'entropie (ΔS)

Principe

L'entropie (S) est une mesure du désordre ou du nombre d'états microscopiques accessibles au système. En comprimant un gaz (V₂ < V₁), on restreint l'espace disponible pour les molécules. Le désordre diminue, donc on s'attend à une variation d'entropie négative (ΔS < 0).

Mini-Cours

La variation d'entropie ΔS pour un gaz parfait est une fonction d'état, elle ne dépend que de l'état initial et final. La formule générale (voir "Les bases") prend en compte les variations de T et de V. Ici, comme le processus est isotherme, le terme lié à la température s'annule.

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas la variation d'entropie du *système* (ΔS_sys), que nous calculons, et la variation d'entropie de l'*univers* (ΔS_univ). Puisque le processus est réversible, ΔS_univ = ΔS_sys + ΔS_ext = 0. Comme ΔS_sys sera négatif, cela implique que ΔS_ext doit être positif (le thermostat a reçu de la chaleur).

Normes

La formule de ΔS est une expression fondamentale dérivée du second principe de la thermodynamique pour un gaz parfait.

Formule(s)

La formule générale est ΔS = n C_v ln(T₂/T₁) + nR ln(V₂/V₁).
Puisque le processus est isotherme, T₂ = T₁, donc ln(T₂/T₁) = ln(1) = 0. La formule se simplifie :

Variation d'Entropie (Isotherme, Gaz Parfait)

\Delta S = nR \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)

Hypothèses

Nous utilisons les hypothèses données dans l'énoncé :

Le système est un gaz parfait.
La transformation est isotherme (T₂ = T₁).

Donnée(s)

Nous réutilisons les données de l'énoncé nécessaires pour cette formule simplifiée. R doit être en J/mol·K pour obtenir une entropie en J/K.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Quantité de matière	n	2,0	mol
Constante des gaz	R	8,314	J/(mol·K)
Rapport des volumes	V₂/V₁	0,5	(sans dim.)

Astuces

Il y a un lien direct between ΔS et W pour un processus isotherme réversible de gaz parfait. On sait que W = -nRT ln(V₂/V₁) et ΔS = nR ln(V₂/V₁).
En comparant, on voit que W = -T ΔS (ou ΔS = -W/T). On aurait pu trouver ΔS directement à partir de W (Q1) : ΔS = - (3457,5 J) / (300 K) ≈ -11,52 J/K. C'est une excellente façon de vérifier !

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre la diminution du "désordre". En passant de V₁ à V₂, le nombre d'états microscopiques (positions possibles) diminue. L'entropie S, qui mesure ce désordre, diminue donc (ΔS < 0).

Concept de l'Entropie (Désordre Spatial)

Calcul(s)

Application de la formule isotherme

Puisque ΔT = 0, la formule ΔS = n C_v ln(T₂/T₁) + nR ln(V₂/V₁) se simplifie en ΔS = nR ln(V₂/V₁).
On calcule d'abord le terme nR :

nR = (2,0 \text{ mol}) \times (8,314 \text{ J/(mol·K)}) = 16,628 \text{ J/K}

On utilise le terme ln(V₂/V₁) déjà calculé (voir Q1) :

\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = \ln(0,5) \approx -0,6931

On combine les deux :

\begin{aligned} \Delta S &= (nR) \times \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\ \Delta S &= (16,628 \text{ J/K}) \times (-0,6931) \\ \Delta S &\approx -11,52 \text{ J/K} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma conceptuel reste le même, confirmant que ΔS est négatif.

Réflexions

Le résultat est ΔS ≈ -11,52 J/K. Le signe est négatif, comme prévu lors d'une compression (diminution du désordre spatial). L'entropie du système a diminué.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser la constante R = 8,314 J/(mol·K) et non R = 0,082 L·atm/(mol·K), sinon vos unités d'énergie seront incohérentes. La température doit être en Kelvin.

Points à retenir

Compression (V₂ < V₁) ⇒ ΔS < 0 (Diminution du désordre).
Détente (V₂ > V₁) ⇒ ΔS > 0 (Augmentation du désordre).
Pour un G.P. isotherme : ΔS = nR ln(V₂/V₁).

Le saviez-vous ?

L'entropie a été introduite par Rudolf Clausius en 1865. Le lien entre l'entropie (thermodynamique) et le désordre (statistique) a été établi plus tard par Ludwig Boltzmann, avec sa célèbre formule S = k_B ln(Ω) gravée sur sa tombe, où Ω est le nombre de micro-états.

FAQ

Questions fréquentes sur ce point :

Résultat Final

La variation d'entropie est ΔS ≈ -11,52 J/K.

A vous de jouer

Si on avait fait une détente (de 20L à 40L), quel aurait été le signe de ΔS ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Entropie comme mesure du désordre spatial.
Formule (Isotherme) : ΔS = nR ln(V₂/V₁).
Vérification : W_rev = -TΔS_sys.

Question 4 : Calculer la variation d'énergie libre de Helmholtz (ΔA)

Principe

L'énergie libre de Helmholtz (A) est une fonction d'état conçue pour être le critère d'évolution à T et V constants. Sa variation, ΔA, représente l'équilibre entre la variation d'énergie interne (ΔU) et la variation d'ordre (TΔS). C'est la partie de l'énergie interne "libre" de se transformer en travail.

Mini-Cours

La définition est A = U - TS. Pour une transformation infinitésimale, dA = dU - TdS - SdT. En remplaçant dU par le premier principe (dU = δW + δQ), on obtient dA = δW + δQ - TdS - SdT. Si le processus est réversible (δQ = TdS) et isotherme (dT = 0), alors dA = δW. En intégrant, on obtient ΔA = W_rev. C'est ce que nous allons vérifier.

Remarque Pédagogique

Nous allons calculer ΔA en utilisant sa définition A = U - TS et les valeurs ΔU et ΔS déjà trouvées. Cette méthode est indépendante de la Question 1 (calcul de W). Cela permet ensuite une comparaison puissante à la Question 5.

Normes

La définition A = U - TS est une transformation de Legendre de l'énergie interne U. C'est une construction mathématique standard en thermodynamique pour changer les variables naturelles de U(S,V) à A(T,V).

Formule(s)

Puisque l'énoncé nous dit que la transformation est isotherme (T = constante), la formule de la variation ΔA se simplifie :

Variation d'Énergie de Helmholtz (Isotherme)

\Delta A = \Delta (U - TS) \] \[ = \Delta U - \Delta(TS) \] \[ = \Delta U - (T\Delta S + S\Delta T) \] \[ = \Delta U - T\Delta S

Hypothèses

La seule hypothèse nécessaire pour cette formule est que la transformation est isotherme (ΔT = 0).

Donnée(s)

Nous n'avons pas besoin de données directes de l'énoncé, mais nous avons besoin des résultats des questions précédentes (Q2 et Q3) et de la température T.

Paramètre	Symbole	Valeur	Source
Variation d'Énergie Interne	ΔU	0 J	Résultat Q2
Variation d'Entropie	ΔS	-11,52 J/K	Résultat Q3
Température	T	300 K	Énoncé

Astuces

Le calcul est direct. Le seul piège est de bien gérer les signes. ΔA = ΔU - TΔS. Si ΔS est négatif, le terme -TΔS deviendra positif.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre la définition ΔA = ΔU - TΔS. ΔA est le résultat de deux contributions : ΔU (qui est nulle ici) et -TΔS (le terme d'entropie, qui est positif car ΔS est négatif).

Calcul de ΔA (Bilan)

Calcul(s)

Application de la définition

On part de la formule pour un processus isotherme : ΔA = ΔU - TΔS.
On remplace par les valeurs trouvées en Q2 et Q3 :

\begin{aligned} \Delta U &= 0 \text{ J} \quad (\text{depuis Q2}) \\ T\Delta S &= (300 \text{ K}) \times (-11,52 \text{ J/K}) = -3456 \text{ J} \end{aligned}

On insère ces résultats dans la formule de ΔA :

\begin{aligned} \Delta A &= \Delta U - (T\Delta S) \\ \Delta A &= 0 \text{ J} - (-3456 \text{ J}) \\ \Delta A &= +3456 \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma conceptuel reste le même, montrant que le résultat final ΔA est positif.

Réflexions

Le résultat est ΔA = +3456 J. Le signe positif signifie que l'énergie libre du système a augmenté. C'est logique : nous avons fourni du travail au système (W > 0) pour le comprimer et augmenter son "potentiel" à se détendre. Cette énergie a été stockée sous forme d'énergie libre.

Points de vigilance

Le point crucial est l'hypothèse isotherme. Si T n'était pas constante, la formule serait ΔA = ΔU - (T₂S₂ - T₁S₁), ce qui est beaucoup plus complexe. Assurez-vous que T est bien constante avant d'utiliser ΔA = ΔU - TΔS.

Points à retenir

Définition : A = U - TS.
Cas Isotherme : ΔA = ΔU - TΔS.
Pour un G.P. isotherme, comme ΔU = 0, on a ΔA = -TΔS.

Le saviez-vous ?

L'énergie libre de Helmholtz (A) est moins célèbre que l'énergie libre de Gibbs (G), car peu de processus se passent à T et V constants. G = H - TS est l'analogue pour les processus à T et P constants (comme la plupart des réactions chimiques à l'air libre), qui sont beaucoup plus courants.

FAQ

Questions fréquentes sur ce point :

Résultat Final

La variation d'énergie libre de Helmholtz est ΔA = +3456 J.

A vous de jouer

Si la température avait été de 600 K (en gardant ΔS = -11,52 J/K et ΔU = 0), que vaudrait ΔA ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Énergie libre de Helmholtz, A.
Formule (Isotherme) : ΔA = ΔU - TΔS.
Cas G.P. Isotherme : ΔA = -TΔS.

Question 5 : Comparer W et ΔA. Conclure.

Principe

C'est la conclusion majeure de l'exercice. Nous allons vérifier numériquement la relation thermodynamique fondamentale démontrée dans le "Mini-Cours" de la Q4 : pour un processus isotherme et réversible, la variation d'énergie libre de Helmholtz est exactement égale au travail total reçu par le système.

Mini-Cours

Pour un processus isotherme (dT=0) et réversible (δQ = TdS), la variation dA = dU - TdS - SdT devient dA = (δW + δQ) - TdS - 0, soit dA = δW + TdS - TdS = δW. En intégrant sur toute la transformation, on obtient la relation fondamentale : ΔA = W_rev.

Remarque Pédagogique

Cette égalité ΔA = W_rev est la raison d'être de la fonction A. Elle montre que ΔA est la mesure du travail (minimal à fournir ou maximal à récupérer) pour une transformation isotherme réversible. C'est le "potentiel de travail" du système à T constante.

Normes

C'est une relation thermodynamique fondamentale, pas une norme au sens industriel, mais un théorème central.

Formule(s)

Nous n'avons pas de nouvelle formule de calcul, mais une équation de vérification :

Théorème Fondamental (Isotherme, Réversible)

\Delta A = W_{\text{rev}}

Hypothèses

Cette égalité n'est vraie que si les deux hypothèses sont respectées :

Transformation isotherme (T = constante).
Transformation réversible.

Notre exercice remplit ces deux conditions.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats finaux des Q1 et Q4 pour la comparaison.

Paramètre	Symbole	Valeur	Source
Travail réversible	W_rev	+3457,5 J	Résultat Q1
Variation d'Énergie Libre	ΔA	+3456 J	Résultat Q4

Astuces

Si vos deux valeurs (calculées indépendamment) sont très proches (à qqs J près), vous pouvez être confiant dans vos calculs de W, ΔU et ΔS. C'est un excellent moyen d'auto-correction. Si elles sont très différentes, vous avez fait une erreur dans l'une des questions précédentes.

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma. C'est une comparaison numérique de deux valeurs déjà calculées.

Calcul(s)

Comparaison

On reprend la valeur du travail réversible calculée à la Question 1 :

W_{\text{rev}} \approx +3457,5 \text{ J} \quad (\text{depuis Q1})

On reprend la valeur de la variation d'énergie libre calculée à la Question 4 :

\Delta A = +3456 \text{ J} \quad (\text{depuis Q4})

En comparant les deux :

+3456 \text{ J} \approx +3457,5 \text{ J} \Rightarrow \Delta A \approx W_{\text{rev}}

La légère différence de 1,5 J (environ 0,04%) est uniquement due aux arrondis successifs dans les calculs (principalement sur ln(0,5)). Théoriquement, l'égalité est parfaite.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma final illustre cette conclusion : l'énergie libre de Helmholtz est le "potentiel de travail". Le travail reçu (W > 0) est stocké par le système sous forme d'une augmentation de son énergie libre (ΔA > 0).

Conclusion : ΔA = W_rev

Réflexions

La conclusion est que la relation ΔA = W_rev est vérifiée. Cela confirme que pour un processus isotherme, la variation d'énergie libre de Helmholtz est la mesure exacte du travail réversible échangé avec le milieu extérieur.

Points de vigilance

Que se passerait-il si le processus était irréversible (ex: compression brutale) ? On aurait W_irrév > W_rev (il faut fournir plus de travail). Mais ΔA étant une fonction d'état, elle vaudrait toujours +3456 J (car l'état initial et final sont les mêmes). Dans ce cas, ΔA < W_irrév. C'est le critère d'une transformation spontanée (forcée) à T et V constants.

Points à retenir

Théorème : Pour un processus isotherme réversible, ΔA = W_rev.
Généralisation : Pour tout processus isotherme, ΔA ≤ W.
ΔA représente le travail minimum à fournir (compression) ou maximum à récupérer (détente).

Le saviez-vous ?

Le "A" de l'énergie de Helmholtz vient de l'allemand "Arbeit", qui signifie "Travail". Hermann von Helmholtz l'a introduite en 1882 pour désigner l'énergie "libre" de se convertir en travail.

FAQ

Questions fréquentes sur ce point :

Résultat Final

Nous vérifions que ΔA = +3456 J est (aux arrondis près) égal à W_rev = +3457,5 J. La relation ΔA = W_rev est confirmée.

A vous de jouer

Si le processus avait été une détente réversible (de 20L à 40L), quel aurait été le signe de ΔA ? (Pensez à ΔS et ΔU)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : ΔA est le "potentiel de travail" à T constante.
Théorème : ΔA = W_rev (pour T=cste, réversible).
Conclusion : Les calculs indépendants (Q1 et Q4) le confirment.

Outil Interactif : Simulateur de Compression

Utilisez cet outil pour voir comment la température et le rapport de volume influencent le travail (W = ΔA) et la variation d'entropie (ΔS) pour 2 moles de gaz parfait.

Paramètres d'Entrée

Température (T) 300 K

Rapport de Volume (V₂/V₁) 0.5

Résultats Clés

ΔU (J) 0.00

ΔS (J/K) -11.53

W = ΔA (J) +3457.65

Glossaire

Énergie Libre de Helmholtz (A): Fonction d'état A = U - TS. Sa variation ΔA représente le travail maximal qu'un système peut fournir à température constante. C'est le critère d'évolution à T et V constants.
Énergie Interne (U): Somme de toutes les énergies microscopiques d'un système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température (1ère Loi de Joule).
Entropie (S): Fonction d'état qui mesure le désordre d'un système ou le nombre d'états microscopiques accessibles.
Fonction d'état: Propriété d'un système dont la valeur ne dépend que de l'état actuel (T, P, V...), et non du chemin suivi pour y arriver. U, S, A, H, G sont des fonctions d'état. W et Q n'en sont pas.
Gaz Parfait: Modèle idéal d'un gaz où les particules sont ponctuelles et n'interagissent pas. Il suit la loi PV = nRT.
Processus Isotherme: Transformation qui se déroule à température constante (ΔT = 0).
Processus Réversible: Transformation idéale, infiniment lente, où le système est à tout instant en équilibre avec l'extérieur. C'est le processus qui produit le travail maximal (détente) ou requiert le travail minimal (compression).
Travail (W): Transfert d'énergie ordonné entre le système et l'extérieur (ex: force d'un piston). Par convention, W > 0 si le système reçoit du travail.