Probabilité d'Occupation d'un État Énergétique

Contexte : Le Modèle à 3 NiveauxUn système quantique simplifié possédant seulement trois niveaux d'énergie discrets..

En thermodynamique statistique, la distribution de Boltzmann nous permet de prédire la probabilité qu'un système (comme un atome ou une molécule) occupe un état d'énergie spécifique. Cet exercice explore un système simple à 3 niveaux pour comprendre comment l'énergie, la dégénérescenceLe nombre d'états quantiques distincts ayant la même énergie. et la température (\(T\)) gouvernent cette répartition.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer et interpréter la fonction de partitionUne somme sur tous les états qui normalise les probabilités et contient toute l'info thermodynamique. (\(Z\)), la pierre angulaire de la thermodynamique statistique, et à l'utiliser pour trouver les probabilités d'occupation des états.

Objectifs Pédagogiques

Calculer l'énergie thermique de référence \(k_B T\).
Définir et calculer la fonction de partition canonique (\(Z\)) pour un système simple.
Calculer les probabilités d'occupation (\(P_i\)) pour chaque niveau d'énergie.
Analyser le comportement du système aux limites de basse (\(T \to 0\)) et haute (\(T \to \infty\)) température.

Données de l'étude

Nous étudions un système quantique possédant 3 niveaux d'énergie discrets, définis par rapport à un quantum d'énergie \(\epsilon\).

Structure Énergétique

Diagramme des Niveaux d'Énergie

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Constante de Boltzmann	\(k_B\)	\(1.381 \times 10^{-23}\)	J/K
Température du système	\(T\)	300	K
Quantum d'énergie	\(\epsilon\)	\(4.14 \times 10^{-21}\)	J

Questions à traiter

Calculer la valeur de l'énergie thermique \(k_B T\) à 300 K.
En utilisant l'approximation \(\epsilon \approx k_B T\), calculer la fonction de partition canonique \(Z\) du système.
Calculer les probabilités d'occupation \(P_0\), \(P_1\), et \(P_2\) pour chaque niveau d'énergie. Vérifier que \(\sum P_i \approx 1\).
Que deviennent ces probabilités lorsque la température \(T \to 0\) K ? Interpréter physiquement ce résultat.
Que deviennent ces probabilités lorsque la température \(T \to \infty\) ? Interpréter physiquement ce résultat.

Les bases de la Thermodynamique Statistique

Pour déterminer comment les particules se répartissent entre les différents niveaux d'énergie à l'équilibre thermique, nous utilisons la distribution de Boltzmann. Cette distribution est le pilier central de la thermodynamique statistique pour les systèmes à l'équilibre.

1. Distribution de Boltzmann
La probabilité \(P_i\) de trouver une particule (ou le système) dans un état \(s\) d'énergie \(E_s\) est proportionnelle au "facteur de Boltzmann" : \(P_s \propto e^{-E_s / k_B T}\). Si plusieurs états ont la même énergie \(E_i\) (dégénérescence \(g_i\)), la probabilité d'occuper ce *niveau* d'énergie est la somme des probabilités de chaque état : \[ P_i = \frac{g_i e^{-E_i / k_B T}}{Z} \] Ce facteur exponentiel décroissant montre qu'il est de moins en moins probable d'occuper des états d'énergie élevée lorsque la température n'est pas infinie.

2. Fonction de Partition Canonique (Z)
La fonction de partition \(Z\) (de l'allemand "Zustandssumme", somme sur les états) est la constante de normalisation qui assure que la somme de toutes les probabilités est égale à 1 (\(\sum P_i = 1\)). Elle se calcule en sommant les facteurs de Boltzmann de tous les états (ou niveaux) accessibles au système : \[ Z = \sum_{\text{niveaux } i} g_i e^{-E_i / k_B T} \] Elle est fondamentale car elle contient implicitement toutes les informations thermodynamiques du système (énergie interne, entropie, capacité calorifique, etc.) qui peuvent être dérivées mathématiquement à partir de \(Z\) ou de son logarithme.

Correction : Probabilité d’Occupation d’un État Énergétique

Question 1 : Calculer la valeur de l'énergie thermique \(k_B T\)

Principe

L'énergie thermique \(k_B T\) est l'échelle d'énergie de référence à une température \(T\). C'est l'énergie typique associée à l'agitation thermique qui permet aux particules d'explorer les différents états énergétiques. Nous devons calculer cette valeur pour pouvoir ensuite la comparer aux énergies des niveaux \(\epsilon\) et \(2\epsilon\).

Mini-Cours

Le produit \(k_B T\) a la dimension d'une énergie (Joules). Il représente l'énergie cinétique moyenne par degré de liberté dans un gaz parfait (à un facteur 1/2 près selon le théorème d'équipartition). En thermodynamique statistique, le rapport \(E / k_B T\) est un nombre sans dimension crucial qui apparaît dans l'exposant du facteur de Boltzmann. Il compare l'énergie d'un état à l'énergie thermique disponible.

Remarque Pédagogique

Cette étape est un prérequis simple mais essentiel pour interpréter les résultats. C'est en comparant \(E_i\) à \(k_B T\) (c'est-à-dire en regardant si le rapport \(E_i / k_B T\) est petit ou grand devant 1) que l'on sait si un niveau est "facilement accessible" thermiquement (\(E_i \ll k_B T\)) ou au contraire "difficilement accessible" (\(E_i \gg k_B T\)).

Normes

Ce calcul est une application directe de définitions fondamentales en physique statistique. La constante de Boltzmann \(k_B\) est une constante universelle dont la valeur est fixée par le Système International d'unités.

Formule(s)

L'énergie thermique est simplement le produit de la constante de Boltzmann \(k_B\) et de la température absolue \(T\) (exprimée en Kelvin).

E_{\text{thermique}} = k_B \times T

Hypothèses

Nous supposons que le système étudié est en équilibre thermique avec un thermostat (un grand réservoir d'énergie) maintenu à la température constante \(T = 300\) K. C'est le cadre de l'ensemble statistique canonique.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs de la constante de Boltzmann et de la température fournies dans l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Constante de Boltzmann	\(k_B\)	\(1.381 \times 10^{-23}\)	J/K
Température	\(T\)	300	K

Astuces

À température ambiante (\(T \approx 300\) K), l'énergie thermique \(k_B T\) vaut environ 25 meV (milli-électronvolts), ce qui correspond à \(4.14 \times 10^{-21}\) J ou 4.14 pN·nm. Avoir cet ordre de grandeur en tête est très utile pour estimer rapidement si des processus physiques (liaisons chimiques, transitions électroniques) sont susceptibles de se produire à température ambiante.

Schéma (Avant les calculs)

Aucun schéma spécifique n'est requis pour ce calcul direct.

Calcul(s)

Nous multiplions la constante de Boltzmann par la température absolue donnée.

Calcul de l'énergie thermique

\begin{aligned} k_B T &= (1.381 \times 10^{-23} \text{ J/K}) \times (300 \text{ K}) \\ &= 414.3 \times 10^{-23} \text{ J} \\ &= 4.143 \times 10^{-21} \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Il n'y a pas de schéma pertinent pour représenter ce résultat numérique simple.

Réflexions

Le résultat obtenu, \(k_B T \approx 4.14 \times 10^{-21}\) J, est intentionnellement choisi pour être quasiment égal à la valeur de \(\epsilon\) (\(4.14 \times 10^{-21}\) J) donnée dans l'énoncé. Cela signifie que le rapport \(\epsilon / k_B T \approx 1\). Cette situation est physiquement intéressante : l'énergie nécessaire pour atteindre le premier état excité est comparable à l'énergie thermique disponible. On s'attend donc à ce que les niveaux excités soient significativement peuplés, mais moins que le fondamental.

Points de vigilance

La principale source d'erreur ici serait d'utiliser la température en degrés Celsius (\(°C\)) au lieu de Kelvin (K). Toujours convertir la température en Kelvin (\(T(K) = T(°C) + 273.15\)) pour les calculs en thermodynamique et physique statistique.

Points à retenir

L'énergie thermique \(k_B T\) sert d'échelle d'énergie naturelle pour les phénomènes thermiques.
Sa valeur à température ambiante (300 K) est d'environ \(4.14 \times 10^{-21}\) J.
Il est crucial de toujours utiliser la température absolue en Kelvin (K).

Le saviez-vous ?

La constante de Boltzmann \(k_B\) est si fondamentale qu'elle a été utilisée en 2019 pour redéfinir l'unité de température, le Kelvin, dans le Système International. Le Kelvin est maintenant défini en fixant la valeur numérique de \(k_B\) à exactement \(1.380649 \times 10^{-23}\) J/K.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

L'énergie thermique à 300 K est \(k_B T \approx 4.14 \times 10^{-21}\) J.

A vous de jouer

Quelle serait l'énergie thermique (en J) si le système était chauffé à 600 K ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Énergie thermique de référence.
Formule Essentielle : \(E_{\text{th}} = k_B T\).
Valeur à retenir : \(k_B T \approx 4.14 \times 10^{-21}\) J à 300 K.

Question 2 : Calculer la fonction de partition canonique \(Z\)

Principe

La fonction de partition \(Z\) est la somme des "poids" statistiques (facteurs de Boltzmann multipliés par la dégénérescence) de tous les niveaux d'énergie accessibles au système. Elle quantifie le nombre total d'états thermiquement "disponibles" à une température \(T\). Nous devons la calculer car elle sert de facteur de normalisation pour obtenir les probabilités d'occupation.

Mini-Cours

La fonction de partition \(Z\) pour un système discret est définie par \(Z = \sum_i g_i e^{-E_i / k_B T}\), où la somme porte sur tous les niveaux d'énergie \(i\). Le terme \(g_i e^{-E_i / k_B T}\) représente le poids statistique du niveau \(i\). Il combine la probabilité relative de chaque état de ce niveau (\(e^{-E_i / k_B T}\)) avec le nombre d'états (\(g_i\)) qui partagent cette énergie.

Remarque Pédagogique

Le calcul de \(Z\) est souvent la première étape cruciale en thermodynamique statistique. Une fois \(Z\) obtenue en fonction de la température (et d'autres paramètres comme le volume), on peut en déduire *toutes* les propriétés thermodynamiques macroscopiques du système (énergie interne, entropie, capacité calorifique, pression, etc.) par des opérations mathématiques (dérivées, logarithmes).

Normes

Ce calcul découle directement de la définition de la fonction de partition dans le cadre de l'ensemble statistique canonique (système à température \(T\), volume \(V\) et nombre de particules \(N\) constants, en contact avec un thermostat).

Formule(s)

Fonction de Partition (Z)

Z = \sum_{i=0}^{2} g_i e^{-E_i / k_B T}

Termes de la somme pour notre système

Z = g_0 e^{-E_0 / k_B T} + g_1 e^{-E_1 / k_B T} + g_2 e^{-E_2 / k_B T}

Hypothèses

Nous utilisons l'approximation clé \(\epsilon / k_B T \approx 1\), issue de la Question 1 et des données. Par conséquent, les exposants deviennent \(E_0 / k_B T = 0\), \(E_1 / k_B T \approx 1\), et \(E_2 / k_B T = 2\epsilon / k_B T \approx 2\). Nous supposons également que le système est en équilibre thermique.

Donnée(s)

Informations sur les niveaux d'énergie et leurs dégénérescences :

Niveau 0: \(E_0=0\), \(g_0=1\)
Niveau 1: \(E_1=\epsilon\), \(g_1=2\)
Niveau 2: \(E_2=2\epsilon\), \(g_2=1\)

Et les rapports d'énergie sans dimension approximés :

\(E_0 / k_B T = 0\)
\(E_1 / k_B T \approx 1\)
\(E_2 / k_B T \approx 2\)

Astuces

Le niveau fondamental (\(E_0=0\)) est souvent choisi comme référence énergétique. Son facteur de Boltzmann est toujours \(e^0 = 1\), donc sa contribution à \(Z\) est simplement sa dégénérescence \(g_0\). C'est souvent le terme le plus simple à calculer et il est toujours présent si \(T>0\).

Schéma (Avant les calculs)

En se référant au diagramme des niveaux d'énergie, nous allons calculer la contribution de chaque niveau (\(g_i e^{-E_i / k_B T}\)) et les additionner pour obtenir la somme totale \(Z\).

Contributions à la Fonction de Partition (Z)

Calcul(s)

Étape 1 : Calculer chaque terme de la somme

\text{Terme 0 (Niveau 0)}: g_0 e^{-0} = 1 \times 1 = 1

\text{Terme 1 (Niveau 1)}: g_1 e^{-E_1 / k_B T} \approx 2 \times e^{-1} \approx 2 \times 0.36788 = 0.73576

\text{Terme 2 (Niveau 2)}: g_2 e^{-E_2 / k_B T} \approx 1 \times e^{-2} \approx 1 \times 0.13534 = 0.13534

Étape 2 : Sommer les termes

\begin{aligned} Z &= (\text{Terme 0}) + (\text{Terme 1}) + (\text{Terme 2}) \\ &\approx 1 + 0.73576 + 0.13534 \\ &\approx 1.8711 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut visualiser \(Z\) comme la somme des "poids" relatifs des niveaux. Le schéma suivant représente ces poids sous forme de barres.

Poids Statistiques (\(g_i e^{-E_i/kT}\)) à T=300K

Réflexions

La valeur de \(Z \approx 1.871\) est un nombre sans dimension qui mesure le nombre effectif d'états accessibles au système à cette température. Il est supérieur à la dégénérescence du fondamental (\(g_0=1\)), indiquant que les états excités contribuent, mais il est inférieur au nombre total d'états (\(g_0+g_1+g_2=4\)), indiquant que les états excités ne sont pas tous pleinement accessibles en raison de leur coût énergétique. Plus \(Z\) est grand, plus le système a d'options pour répartir son énergie (plus d'entropie).

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier d'inclure la dégénérescence \(g_i\) dans chaque terme de la somme. La fonction de partition est une somme sur tous les *états* distincts. Si un niveau d'énergie \(E_i\) correspond à \(g_i\) états, alors ce facteur de Boltzmann \(e^{-E_i / k_B T}\) doit être compté \(g_i\) fois. Donc, \(Z = \sum_{\text{états } s} e^{-E_s / k_B T} = \sum_{\text{niveaux } i} g_i e^{-E_i / k_B T}\).

Points à retenir

La fonction de partition \(Z\) somme les poids statistiques \(g_i e^{-E_i / k_B T}\) de tous les niveaux.
Elle dépend fortement de la température \(T\) et de la structure énergétique (\(E_i, g_i\)).
\(Z\) est une quantité sans dimension, centrale pour calculer les propriétés thermodynamiques.

Le saviez-vous ?

Pour un système composé de \(N\) particules indépendantes et indiscernables, la fonction de partition totale \(Z_N\) est liée à la fonction de partition d'une seule particule (\(Z_1\), celle que nous calculons ici) par \(Z_N \approx (Z_1)^N / N!\) (dans la limite classique ou pour des fermions/bosons à haute température). Le facteur \(N!\) corrige le fait que permuter des particules identiques ne donne pas un nouvel état macroscopique.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La fonction de partition canonique à 300 K est \(Z \approx 1.871\).

A vous de jouer

Que vaudrait \(Z\) si la dégénérescence du niveau 1 était \(g_1=1\) au lieu de 2 (en gardant \(\epsilon/k_B T = 1\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Fonction de Partition (Somme sur les états pondérée par Boltzmann).
Formule : \(Z = \sum g_i e^{-E_i / k_B T}\).
Piège : Ne pas oublier la dégénérescence \(g_i\) pour chaque niveau.

Question 3 : Calculer les probabilités d'occupation \(P_i\)

Principe

Maintenant que nous avons calculé la fonction de partition \(Z\) (la somme totale des poids statistiques), la probabilité d'occuper un niveau d'énergie spécifique \(i\) est simplement le poids statistique de ce niveau (\(g_i e^{-E_i / k_B T}\)) divisé par la somme totale \(Z\). Cette division assure que la somme de toutes les probabilités est égale à 1, comme il se doit pour une distribution de probabilité.

Mini-Cours

La formule \(P_i = \frac{g_i e^{-E_i / k_B T}}{Z}\) donne la probabilité qu'une particule du système (ou le système entier, dans l'ensemble canonique) se trouve dans l'un des \(g_i\) états appartenant au niveau d'énergie \(E_i\) lorsqu'il est en équilibre thermique à la température \(T\). C'est le cœur de la distribution de Boltzmann : les niveaux de basse énergie sont plus probables, mais la dégénérescence et la température modulent cette préférence.

Remarque Pédagogique

C'est l'application directe des calculs précédents. Nous utilisons les termes individuels (\(g_i e^{-E_i / k_B T}\)) et la somme totale \(Z\) calculés à la Question 2. Le résultat nous donne une image quantitative de la répartition des particules : combien sont dans l'état fondamental, combien dans le premier excité, etc. La vérification \(\sum P_i = 1\) est essentielle pour confirmer l'exactitude des calculs.

Normes

Ce calcul est l'application de la définition de la probabilité dans l'ensemble canonique, normalisée par la fonction de partition.

Formule(s)

Probabilité d'occupation du niveau \(i\)

P_i = \frac{g_i e^{-E_i / k_B T}}{Z} = \frac{\text{Terme } i \text{ de la somme } Z}{Z}

Condition de normalisation

\sum_{\text{niveaux } i} P_i = P_0 + P_1 + P_2 = 1

Hypothèses

Le système est en équilibre thermique à T=300 K, et nous continuons d'utiliser l'approximation \(\epsilon / k_B T \approx 1\).

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats numériques de la Question 2 :

Terme 0 (\(g_0 e^{-E_0/k_B T}\)) \(\approx 1\)
Terme 1 (\(g_1 e^{-E_1/k_B T}\)) \(\approx\) 0.7358
Terme 2 (\(g_2 e^{-E_2/k_B T}\)) \(\approx\) 0.1353
Fonction de Partition \(Z \approx 1.8711\)

Astuces

Puisque \(P_i = (\text{Terme } i) / Z\), il s'agit simplement de diviser chaque terme calculé pour \(Z\) par la valeur totale de \(Z\). Il est conseillé de conserver une précision suffisante dans les calculs intermédiaires (les termes et \(Z\)) pour que la somme finale des \(P_i\) soit très proche de 1 (par exemple, 0.999 ou 1.001).

Schéma (Avant les calculs)

Nous allons répartir une "population" totale normalisée à 1 entre les différents niveaux du diagramme d'énergie, chaque niveau recevant une fraction \(P_i\) proportionnelle à son poids statistique (\(\text{Terme } i\)).

Répartition des Probabilités (Pi = Terme i / Z)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(P_0\)

P_0 = \frac{\text{Terme 0}}{Z} = \frac{1}{1.8711} \approx 0.5344

Étape 2 : Calcul de \(P_1\)

P_1 = \frac{\text{Terme 1}}{Z} = \frac{0.73576}{1.8711} \approx 0.3932

Étape 3 : Calcul de \(P_2\)

P_2 = \frac{\text{Terme 2}}{Z} = \frac{0.13534}{1.8711} \approx 0.0723

Étape 4 : Vérification de la normalisation

\sum P_i = P_0 + P_1 + P_2 \approx 0.5344 + 0.3932 + 0.0723 = 0.9999

La somme est très proche de 1, ce qui valide nos calculs (les légers écarts sont dus aux arrondis).

Schéma (Après les calculs)

Le diagramme suivant illustre les probabilités d'occupation calculées pour chaque niveau à T=300K.

Probabilités d'Occupation (Pᵢ) à T=300K

Réflexions

À 300 K (où \(\epsilon \approx k_B T\)), l'état fondamental est le plus peuplé (\(P_0 \approx 53.4\%\)), ce qui est toujours le cas pour \(T>0\). Cependant, le premier état excité a une population non négligeable (\(P_1 \approx 39.3\%\)), significativement plus élevée que celle du deuxième état excité (\(P_2 \approx 7.2\%\)). La forte population de \(P_1\) s'explique par sa dégénérescence \(g_1=2\) qui compense partiellement son coût énergétique (\(e^{-1}\)). S'il n'était pas dégénéré (\(g_1=1\)), sa population serait deux fois moindre (\(\approx 19.6\%\)).

Points de vigilance

Il est crucial de bien faire la distinction entre la probabilité d'occuper un *niveau* d'énergie \(P_i\) et la probabilité d'occuper un *état* spécifique \(s\) appartenant à ce niveau. Si le niveau \(i\) est dégénéré (\(g_i > 1\)), alors la probabilité d'un état \(s\) de ce niveau est \(P_s = P_i / g_i\). Dans notre cas, la probabilité d'être dans l'unique état du niveau 0 est \(P_0/g_0 = 0.534\), tandis que la probabilité d'être dans *un* des deux états du niveau 1 est \(P_1/g_1 = 0.393/2 \approx 0.196\).

Points à retenir

La probabilité d'occupation du niveau \(i\) est \(P_i = (\text{Poids statistique du niveau } i) / Z\).
\(P_i\) dépend de l'énergie \(E_i\), de la dégénérescence \(g_i\), et de la température \(T\) (via \(Z\) et l'exponentielle).
La somme \(\sum P_i\) sur tous les niveaux doit toujours être égale à 1.

Le saviez-vous ?

La distribution de Boltzmann est extrêmement générale et s'applique à de nombreux systèmes en équilibre, des molécules dans un gaz aux électrons dans un semi-conducteur, en passant par la distribution d'énergie des étoiles dans un amas globulaire ou même la répartition des richesses dans certains modèles économiques (distribution de Gibbs).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Les probabilités d'occupation à 300 K sont approximativement :
\(P_0 \approx 0.534\) (53.4%)
\(P_1 \approx 0.393\) (39.3%)
\(P_2 \approx 0.072\) ( 7.2%)

A vous de jouer

En utilisant le \(Z \approx 1.503\) de la question "A vous de jouer" précédente (où \(g_1=1\)), quelle serait la nouvelle probabilité \(P_1\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Probabilité d'occupation d'un niveau.
Formule : \(P_i = (g_i e^{-E_i / k_B T}) / Z\).
Interprétation : La population \(P_i\) reflète le compromis entre le coût énergétique (\(E_i\)) et le nombre d'états disponibles (\(g_i\)) à une température \(T\) donnée.

Question 4 : Que deviennent les probabilités lorsque \(T \to 0\) K ?

Principe

La limite \(T \to 0\) K correspond au zéro absolu de température. À cette limite, l'agitation thermique (\(k_B T\)) devient nulle. Le système ne dispose plus d'énergie pour peupler les états excités (\(E_i > 0\)). Intuitivement, toutes les particules devraient se retrouver dans l'état (ou les états) d'énergie minimale, c'est-à-dire le niveau fondamental \(E_0\).

Mini-Cours

Mathématiquement, lorsque \(T \to 0\), le terme \(\beta = 1/k_B T\) tend vers \(+\infty\). Pour tout état excité avec \(E_i > 0\), l'exposant \(-E_i / k_B T = -E_i \beta\) tend vers \(-\infty\). Par conséquent, le facteur de Boltzmann \(e^{-E_i \beta}\) tend vers 0. Pour l'état fondamental (supposé à \(E_0 = 0\)), l'exposant est \(0\), et le facteur de Boltzmann est \(e^0 = 1\).

Remarque Pédagogique

Analyser la limite à basse température est un excellent moyen de vérifier la cohérence physique du modèle. Un système à l'équilibre à \(T=0\) K doit occuper son état fondamental, conformément au troisième principe de la thermodynamique (qui postule également que l'entropie tend vers une constante, souvent zéro si l'état fondamental est unique).

Normes

Ce comportement est une conséquence directe de la distribution de Boltzmann et est en accord avec le troisième principe de la thermodynamique.

Formule(s)

Limite du facteur de Boltzmann (\(E_i > 0\))

\lim_{T \to 0} e^{-E_i / k_B T} = \lim_{\beta \to \infty} e^{-E_i \beta} = 0

Limite du facteur de Boltzmann (\(E_0 = 0\))

\lim_{T \to 0} e^{-E_0 / k_B T} = e^{0} = 1

Hypothèses

Nous supposons que le niveau d'énergie le plus bas est \(E_0 = 0\) et que tous les autres niveaux ont une énergie strictly positive (\(E_1 > 0, E_2 > 0\)).

Donnée(s)

Les énergies relatives (\(0, \epsilon, 2\epsilon\)) et les dégénérescences (\(g_0=1, g_1=2, g_2=1\)) du système.

Astuces

Lorsque \(T \to 0\), seul le terme correspondant à l'énergie la plus basse survit dans la somme de la fonction de partition \(Z\). Tous les autres termes (correspondant aux états excités) tendent vers zéro. Ainsi, \(Z\) tend vers la contribution du niveau fondamental.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisez le diagramme des niveaux d'énergie : à mesure que la température baisse vers zéro, la "population" représentée sur les niveaux \(E_1\) et \(E_2\) doit diminuer et se transférer entièrement vers le niveau \(E_0\).

Limite Basse Température (T → 0 K)

Calcul(s)

Étape 1 : Limite des termes individuels de Z

\text{Terme 0}: \lim_{T \to 0} g_0 e^{-E_0 / k_B T} = 1 \times e^{0} = 1

\text{Terme 1}: \lim_{T \to 0} g_1 e^{-E_1 / k_B T} = 2 \times e^{-\infty} = 0

\text{Terme 2}: \lim_{T \to 0} g_2 e^{-E_2 / k_B T} = 1 \times e^{-\infty} = 0

Étape 2 : Limite de la fonction de partition Z

Z = \sum \text{Termes} \to 1 + 0 + 0 = 1

Notez que \(Z\) tend vers la dégénérescence du niveau fondamental, \(g_0\).

Étape 3 : Limite des Probabilités \(P_i = (\text{Terme } i) / Z\)

P_0 \to \frac{\text{Limite Terme 0}}{\text{Limite } Z} = \frac{1}{1} = 1

P_1 \to \frac{\text{Limite Terme 1}}{\text{Limite } Z} = \frac{0}{1} = 0

P_2 \to \frac{\text{Limite Terme 2}}{\text{Limite } Z} = \frac{0}{1} = 0

Schéma (Après les calculs)

Le diagramme de répartition des probabilités à T=0K ne montre une population que pour le niveau fondamental.

Probabilités d'Occupation (Pᵢ) à T=0K

Réflexions

Ce résultat confirme notre intuition physique : à température nulle, l'entropie est minimale (ici, nulle car \(g_0=1\)) et le système occupe son état unique de plus basse énergie. Il n'y a aucune probabilité de trouver une particule dans un état excité car il n'y a pas d'énergie thermique (\(k_B T = 0\)) pour permettre ces excitations.

Points de vigilance

Si l'état fondamental était dégénéré, par exemple \(g_0 = 3\), alors la limite de \(Z\) serait \(Z \to g_0 = 3\). La limite de \(P_0\) serait \(P_0 = (\text{Limite Terme 0}) / (\text{Limite } Z) = g_0 / g_0 = 1\). Le résultat pour les probabilités *par niveau* reste le même (\(P_0=1, P_{i>0}=0\)). Cependant, l'entropie à T=0 ne serait plus nulle (\(S_0 = k_B \ln g_0\)).

Points à retenir

Dans la limite \(T \to 0\) K, seul le niveau d'énergie le plus bas (fondamental) est occupé.
La probabilité d'occupation du niveau fondamental \(P_0\) tend vers 1 (100%).
Les probabilités d'occupation de tous les niveaux excités (\(E_i > E_0\)) tendent vers 0.
La fonction de partition \(Z\) tend vers la dégénérescence du niveau fondamental, \(g_0\).

Le saviez-vous ?

Le troisième principe de la thermodynamique a des implications profondes. Par exemple, il implique que la capacité calorifique (\(C_V\)) de tout système doit tendre vers zéro lorsque \(T \to 0\) K. C'est effectivement observé expérimentalement et peut être démontré à partir de la mécanique statistique.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

À la limite \(T \to 0\) K :
\(P_0 \to 1\) (100%)
\(P_1 \to 0\)
\(P_2 \to 0\)

A vous de jouer

Si l'état fondamental avait une énergie de \(E_0 = -\epsilon\) (inférieure à 0), quel serait le \(Z\) à \(T \to 0\) K ? (Indice : \(e^{-(-\epsilon)\beta} = e^{\beta\epsilon}\), avec \(\beta \to \infty\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Limite Basse Température : \(T \to 0 \implies \beta \to \infty\).
Comportement Physique : Le système se stabilise dans son état (ou ses états) d'énergie minimale (fondamental).
Résultats Mathématiques : \(Z \to g_0\), \(P_0 \to 1\), \(P_{i>0} \to 0\).

Question 5 : Que deviennent les probabilités lorsque \(T \to \infty\) ?

Principe

La limite \(T \to \infty\) représente une température extrêmement élevée. Dans ce cas, l'énergie thermique disponible (\(k_B T\)) est immense par rapport à n'importe quelle différence d'énergie finie entre les niveaux (\(\epsilon, 2\epsilon\)). Le "coût" énergétique pour accéder aux états excités devient négligeable. Le système explore alors tous les états accessibles de manière quasi-uniforme.

Mini-Cours

Mathématiquement, lorsque \(T \to \infty\), le terme \(\beta = 1/k_B T\) tend vers 0. Pour tout niveau d'énergie fini \(E_i\), l'exposant \(-E_i / k_B T = -E_i \beta\) tend vers 0. Par conséquent, le facteur de Boltzmann \(e^{-E_i \beta}\) tend vers \(e^0 = 1\), quelle que soit l'énergie \(E_i\). Tous les états deviennent statistiquement équivalents en termes d'énergie.

Remarque Pédagogique

C'est la limite opposée à \(T \to 0\). Si à basse température l'énergie domine la répartition (\(\to\) état fondamental), à haute température, c'est l'entropie (le nombre d'états accessibles) qui domine. La probabilité d'occuper un *état* donné devient la même pour tous les états. La probabilité d'occuper un *niveau* \(i\) devient alors simplement proportionnelle au nombre d'états dans ce niveau, c'est-à-dire sa dégénérescence \(g_i\).

Normes

Analyse de la limite haute température de la distribution de Boltzmann. Ce comportement est attendu pour tout système avec un nombre fini d'états ou une énergie maximale finie.

Formule(s)

Limite du facteur de Boltzmann

\lim_{T \to \infty} e^{-E_i / k_B T} = \lim_{\beta \to 0} e^{-E_i \beta} = e^{0} = 1

Limite de la Fonction de Partition \(Z\)

Z = \sum_i g_i e^{-E_i/k_B T} \to \sum_i g_i (1) = \sum_i g_i = g_{\text{total}}

Limite de la Probabilité \(P_i\)

P_i = \frac{g_i e^{-E_i/k_B T}}{Z} \to \frac{g_i (1)}{g_{\text{total}}} = \frac{g_i}{g_{\text{total}}}

Hypothèses

Nous supposons que le système possède un nombre total fini d'états, \(g_{\text{total}} = \sum g_i\). Dans notre cas, \(g_{\text{total}} = g_0 + g_1 + g_2 = 1 + 2 + 1 = 4\).

Donnée(s)

Les dégénérescences des niveaux : \(g_0=1, g_1=2, g_2=1\). Le nombre total d'états est \(g_{\text{total}} = 4\).

Astuces

Dans la limite \(T \to \infty\), il suffit de remplacer tous les facteurs de Boltzmann \(e^{-E_i / k_B T}\) par 1 dans l'expression de \(Z\) et des probabilités. Le calcul se simplifie alors grandement : \(Z\) devient simplement le nombre total d'états, et \(P_i\) devient la fraction d'états appartenant au niveau \(i\).

Schéma (Avant les calculs)

Imaginez le diagramme d'énergie : l'agitation thermique devient si forte que les différences d'énergie entre niveaux deviennent négligeables. Les particules se répartissent alors sur tous les états disponibles. Comme le niveau 1 a deux fois plus d'états (\(g_1=2\)) que les autres (\(g_0=1, g_2=1\)), il devrait être deux fois plus peuplé.

Limite Haute Température (T → ∞)

Calcul(s)

Étape 1 : Limite des termes individuels de Z

\text{Terme 0}: \lim_{T \to \infty} g_0 e^{-E_0 / k_B T} = 1 \times e^{0} = 1

\text{Terme 1}: \lim_{T \to \infty} g_1 e^{-E_1 / k_B T} = 2 \times e^{0} = 2

\text{Terme 2}: \lim_{T \to \infty} g_2 e^{-E_2 / k_B T} = 1 \times e^{0} = 1

Étape 2 : Limite de la fonction de partition Z

Z = \sum \text{Termes} \to 1 + 2 + 1 = 4

Comme prévu, \(Z\) tend vers le nombre total d'états, \(g_{\text{total}}\).

Étape 3 : Limite des Probabilités \(P_i = (\text{Limite Terme } i) / (\text{Limite } Z)\)

P_0 \to \frac{1}{4} = 0.25

P_1 \to \frac{2}{4} = 0.50

P_2 \to \frac{1}{4} = 0.25

Vérification : \(0.25 + 0.50 + 0.25 = 1\).

Schéma (Après les calculs)

Le diagramme de répartition à \(T \to \infty\) montre que les probabilités sont proportionnelles aux dégénérescences \(g_i\).

Probabilités d'Occupation (Pᵢ) à T → ∞

Réflexions

À température infinie, le système atteint un état de "désordre maximal" où tous les *états* sont équiprobables. La probabilité de trouver une particule dans un état spécifique est \(1/g_{\text{total}} = 1/4 = 25\%\). Comme le niveau \(E_1\) contient deux états, sa probabilité totale d'occupation est \(P_1 = g_1 \times (1/g_{\text{total}}) = 2/4 = 50\%\). Les niveaux \(E_0\) et \(E_2\), n'ayant qu'un seul état chacun, ont une probabilité de \(P_0 = P_2 = 1/4 = 25\%\). L'énergie des niveaux n'influence plus la répartition.

Points de vigilance

Cette limite \(T \to \infty\) n'est physiquement réaliste que pour les systèmes dont le spectre d'énergie est borné supérieurement ou dont le nombre total d'états est fini. Pour des systèmes comme l'atome d'hydrogène ou un oscillateur harmonique quantique, qui ont une infinité d'états avec des énergies tendant vers l'infini, la fonction de partition diverge à \(T \to \infty\), et la probabilité de chaque niveau individuel tend vers 0.

Points à retenir

Dans la limite \(T \to \infty\), tous les *états* deviennent équiprobables.
La probabilité d'occupation d'un *niveau* \(i\) tend vers sa fraction du nombre total d'états : \(P_i \to g_i / g_{\text{total}}\).
La fonction de partition \(Z\) tend vers le nombre total d'états, \(g_{\text{total}} = \sum g_i\).
Cette limite maximise l'entropie du système.

Le saviez-vous ?

Le concept de température est lié à la dérivée de l'entropie \(S\) par rapport à l'énergie interne \(U\) : \(1/T = (\partial S / \partial U)_{V,N}\). Pour la plupart des systèmes, ajouter de l'énergie augmente le nombre d'états accessibles (l'entropie), donc \(T\) est positive. Les systèmes à "température négative" sont des cas spéciaux où l'entropie *diminue* lorsque l'énergie augmente au-delà d'un certain point (souvent lié à une énergie maximale finie).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

À la limite \(T \to \infty\) :
\(P_0 \to g_0 / g_{\text{total}} = 1/4\) (25%)
\(P_1 \to g_1 / g_{\text{total}} = 2/4\) (50%)
\(P_2 \to g_2 / g_{\text{total}} = 1/4\) (25%)

A vous de jouer

Si on ajoutait un 4ème niveau \(E_3=3\epsilon\) avec \(g_3=4\), quelle serait la probabilité \(P_3\) à \(T \to \infty\) ? (Indice : calculez le nouveau \(g_{\text{total}}\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Limite Haute Température : \(T \to \infty \implies \beta \to 0\).
Comportement Physique : Tous les *états* deviennent équiprobables ; l'entropie est maximale.
Résultats Mathématiques : \(Z \to g_{\text{total}}\), \(P_i \to g_i / g_{\text{total}}\).

Outil Interactif : Populations et Température

Utilisez cet outil pour voir comment la température et l'écart d'énergie \(\epsilon\) influencent les probabilités d'occupation \(P_0\), \(P_1\), et \(P_2\).

Paramètres d'Entrée

Température (T) 300 K

Énergie \(\epsilon\) (\(\times 10^{-21}\) J) 4.14 \(\times 10^{-21}\) J

Résultats Clés (à T sélectionnée)

Probabilité P₀ (Niveau 0) -

Probabilité P₁ (Niveau 1, g=2) -

Probabilité P₂ (Niveau 2) -

Glossaire

Distribution de Boltzmann: Loi de probabilité qui décrit la répartition statistique des particules d'un système à l'équilibre thermique sur différents états d'énergie.
Fonction de Partition (\(Z\)): Somme des facteurs de Boltzmann sur tous les états possibles ; elle sert à normaliser les probabilités et est utilisée pour dériver toutes les grandeurs thermodynamiques (énergie, entropie, etc.).
Dégénérescence (\(g_i\)): Le nombre d'états quantiques distincts qui possèdent le même niveau d'énergie \(E_i\).
État fondamental: L'état (ou niveau) d'énergie le plus bas (\(E_0\)) possible pour un système.
État excité: Tout état (ou niveau) d'énergie supérieur à l'état fondamental (\(E_i > E_0\)).
Ensemble Canonique: En physique statistique, un ensemble d'états possibles d'un système en équilibre thermique avec un réservoir de chaleur à température constante \(T\). Le volume \(V\) et le nombre de particules \(N\) sont également fixes.
Troisième Principe de la Thermodynamique: Principe stipulant qu'il est impossible d'atteindre le zéro absolu (0 K) par un processus fini et que l'entropie d'un système à l'équilibre tend vers une constante (souvent zéro pour un état fondamental non dégénéré) lorsque la température tend vers 0 K.