Diagrammes binaires liquide-vapeur

Contexte : Les diagrammes binaires liquide-vapeurReprésentations graphiques décrivant l'équilibre entre les phases liquide et vapeur d'un mélange de deux composants en fonction de la température, de la pression et de la composition..

En génie chimique, la séparation des constituants d'un mélange liquide est une opération fondamentale. La distillation, basée sur les différences de volatilité des composants, est l'une des techniques les plus utilisées. Pour concevoir et optimiser une colonne de distillation, il est impératif de comprendre le comportement des équilibres liquide-vapeur du mélange. Cet exercice se concentre sur le système binaire benzène-toluène, souvent considéré comme un modèle de mélange idéal, pour construire et interpréter son diagramme d'équilibre à pression constante.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans l'application de la loi de Raoult et de la loi de Dalton pour calculer les points d'ébullition et de rosée d'un mélange idéal, et pour tracer le diagramme binaire qui est l'outil de base pour comprendre la distillation.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la loi de Raoult pour un mélange binaire idéal.
Calculer les températures de bulle et de rosée d'un mélange.
Construire et interpréter un diagramme binaire isobare (T-x-y).
Comprendre le principe de l'enrichissement du composant le plus volatil lors de la distillation.

Données de l'étude

On s'intéresse à l'équilibre liquide-vapeur du mélange binaire benzène(1)-toluène(2) à la pression atmosphérique constante P = 101.325 kPa (760 mmHg). On supposera que ce mélange se comporte comme une solution idéale.

Données Physico-Chimiques

La pression de vapeur saturante \(P_i^{\text{sat}}\) de chaque composant pur peut être calculée en fonction de la température T avec l'équation d'Antoine :

\log_{10}(P_i^{\text{sat}}) = A_i - \frac{B_i}{T + C_i}

Avec \(P_i^{\text{sat}}\) en mmHg et T en degrés Celsius (°C).

Composant	A	B	C
Benzène (1)	6.89272	1203.531	219.888
Toluène (2)	6.95087	1342.311	219.187

Schéma de principe d'une distillation

Questions à traiter

Calculer les températures d'ébullition du benzène pur et du toluène pur sous 760 mmHg.
Pour un mélange liquide de composition molaire en benzène \(x_1 = 0.4\), calculer sa température de bulle (début d'ébullition) et la composition de la première bulle de vapeur formée \(y_1\).
Pour un mélange vapeur de composition molaire en benzène \(z_1 = 0.4\), calculer sa température de rosée (début de condensation) et la composition de la première goutte de liquide formée \(x_1\).
Afin de tracer le diagramme, calculer la température de bulle et la composition de la vapeur à l'équilibre pour \(x_1 = 0.2, 0.6, \text{ et } 0.8\).
Tracer l'allure du diagramme binaire isobare \(T = f(x_1, y_1)\). Identifier les différentes zones (liquide, vapeur, mélange liquide-vapeur) ainsi que les courbes de bulle et de rosée.

Les bases sur les Équilibres Liquide-Vapeur

Pour un mélange idéal, le comportement des équilibres liquide-vapeur est régi par des lois simples qui combinent les propriétés des corps purs.

1. Loi de Raoult
Pour une solution idéale, la pression partielle \(P_i\) exercée par un composant i en phase vapeur est égale au produit de sa fraction molaire dans la phase liquide \(x_i\) par sa pression de vapeur saturante à la même température \(P_i^{\text{sat}}\). \[ P_i = x_i \cdot P_i^{\text{sat}}(T) \]

2. Loi de Dalton et Composition de la Vapeur
La pression totale du mélange gazeux est la somme des pressions partielles. La fraction molaire \(y_i\) d'un composant en phase vapeur est le rapport de sa pression partielle à la pression totale. \[ P = \sum P_i \quad \text{et} \quad y_i = \frac{P_i}{P} \] En combinant Raoult et Dalton, on obtient la relation entre la composition de la phase vapeur et celle de la phase liquide : \[ y_i = \frac{x_i P_i^{\text{sat}}(T)}{P} \]

Correction : Étude d'un Diagramme Binaire Liquide-Vapeur

Question 1 : Températures d'ébullition des corps purs

Principe

La température d'ébullition d'un corps pur à une pression donnée est la température à laquelle sa pression de vapeur saturante, qui est sa tendance à s'évaporer, devient égale à la pression ambiante. À ce point, le liquide se transforme massivement en gaz.

Mini-Cours

La pression de vapeur saturante est une propriété intrinsèque d'une substance qui augmente avec la température. L'équation d'Antoine est une corrélation empirique très utilisée pour modéliser cette dépendance. L'ébullition est donc un équilibre de phase défini par l'égalité \(P_i^{\text{sat}}(T_{\text{eb}}) = P_{\text{ambiante}}\).

Remarque Pédagogique

L'astuce ici est de voir que la question ne demande rien de plus que d'inverser une formule mathématique. Identifiez bien vos variables (A, B, C pour chaque composant) et la valeur cible (P = 760 mmHg) avant de commencer le calcul.

Normes

Pour cet exercice académique, nous utilisons les constantes d'Antoine fournies. Dans un contexte industriel, ces valeurs seraient issues de bases de données standardisées (comme celles de l'API ou du DIPPR) qui garantissent la traçabilité et la fiabilité des calculs.

Formule(s)

Équation d'Antoine (Pression de vapeur saturante)

\log_{10}(P_i^{\text{sat}}) = A_i - \frac{B_i}{T + C_i}

Équation d'Antoine inversée

T = \frac{B}{A - \log_{10}(P^{\text{sat}})} - C

Hypothèses

Le calcul repose sur la validité de l'équation d'Antoine dans la plage de température concernée. On suppose également que la pression est mesurée avec un instrument parfaitement calibré.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression atmosphérique	P	760	\(\text{mmHg}\)
Constantes Benzène	A₁, B₁, C₁	6.89272, 1203.531, 219.888	-
Constantes Toluène	A₂, B₂, C₂	6.95087, 1342.311, 219.187	-

Astuces

Pour éviter les erreurs de calcul, effectuez l'opération dans le dénominateur \((A - \log_{10}(P))\) en premier. Cela simplifie la séquence de calcul et réduit le risque de se tromper avec les priorités des opérations.

Schéma (Avant les calculs)

Condition d'ébullition d'un corps pur

Calcul(s)

Température d'ébullition du Benzène (1)

\begin{aligned} T_{\text{eb},1} &= \frac{1203.531}{6.89272 - \log_{10}(760)} - 219.888 \\ &= \frac{1203.531}{6.89272 - 2.8808} - 219.888 \\ &= \frac{1203.531}{4.0119} - 219.888 \\ &= 300.00 - 219.888 \\ &= 80.11 \,^{\circ}\text{C} \end{aligned}

Température d'ébullition du Toluène (2)

\begin{aligned} T_{\text{eb},2} &= \frac{1342.311}{6.95087 - \log_{10}(760)} - 219.187 \\ &= \frac{1342.311}{6.95087 - 2.8808} - 219.187 \\ &= \frac{1342.311}{4.0701} - 219.187 \\ &= 329.80 - 219.187 \\ &= 110.61 \,^{\circ}\text{C} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultats sur un axe de température

Réflexions

Le benzène bout à une température plus basse que le toluène, il est donc le composant le plus "volatil". C'est cette différence de 30.5°C qui va permettre de les séparer par distillation.

Points de vigilance

Assurez-vous que les unités de pression sont cohérentes. L'équation d'Antoine est donnée pour des mmHg, il faut donc bien utiliser P = 760. Une erreur fréquente est d'utiliser la pression en Pascals sans convertir les constantes.

Points à retenir

Synthèse : Pour trouver la température d'ébullition d'un corps pur, on résout l'équation \(P_i^{\text{sat}}(T) = P_{\text{totale}}\) en utilisant une loi de pression de vapeur comme celle d'Antoine.

Le saviez-vous ?

L'ingénieur français Louis-Camille Antoine a publié sa fameuse équation en 1888. Bien que simple, elle reste extrêmement utilisée aujourd'hui pour sa bonne précision sur des plages de température restreintes.

FAQ

Pourquoi utilise-t-on le log base 10 ?

C'est une convention historique. Les premières corrélations étaient tracées sur du papier semi-log, ce qui rendait la relation linéaire et facile à utiliser avant l'avènement des calculatrices.

Résultat Final

Les températures d'ébullition à 760 mmHg sont de 80.1 °C pour le benzène et 110.6 °C pour le toluène.

A vous de jouer

Quelle serait la température d'ébullition du benzène si la pression était de 500 mmHg (en altitude) ?

Question 2 : Température de bulle et composition de la vapeur pour x₁ = 0.4

Principe

La température de bulle est la température à laquelle un mélange liquide commence à bouillir. À ce point, la somme des pressions partielles des composants dans la vapeur, générée par le liquide, devient égale à la pression totale du système.

Mini-Cours

Pour un mélange idéal, la pression partielle de chaque composant est donnée par la loi de Raoult (\(P_i = x_i P_i^{\text{sat}}\)). La pression totale de la vapeur est la somme de ces pressions partielles (loi de Dalton). La condition d'ébullition est donc : \(P_{\text{totale}} = \sum x_i P_i^{\text{sat}}(T)\). Comme les \(P_i^{\text{sat}}\) dépendent de T, il faut trouver la température T qui satisfait cette équation.

Remarque Pédagogique

C'est un problème de type "racine d'équation". Il n'y a pas de solution analytique directe pour T. Vous devez procéder par essais-erreurs (ou utiliser un solveur numérique). Choisissez une température, calculez la pression totale, et ajustez la température jusqu'à ce que la pression calculée soit égale à la pression imposée (760 mmHg).

Normes

Le concept de solution idéale est un modèle fondamental en thermodynamique. Les normes industrielles (comme celles de l'American Petroleum Institute) fournissent des modèles plus complexes (ex: UNIQUAC, NRTL) pour les mélanges non-idéaux.

Formule(s)

Équation d'Antoine (Pression de vapeur saturante)

\log_{10}(P_i^{\text{sat}}) = A_i - \frac{B_i}{T + C_i}

Équation de la température de bulle

P = x_1 P_1^{\text{sat}}(T_{\text{bulle}}) + (1-x_1) P_2^{\text{sat}}(T_{\text{bulle}})

Composition de la vapeur à l'équilibre

y_1 = \frac{x_1 P_1^{\text{sat}}(T_{\text{bulle}})}{P}

Hypothèses

On formule les hypothèses suivantes : 1) Le mélange liquide est une solution idéale (loi de Raoult applicable). 2) La phase vapeur se comporte comme un gaz parfait (loi de Dalton applicable). 3) Le système est à l'équilibre thermodynamique.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fraction molaire liquide (benzène)	\(x_1\)	0.4	-
Pression totale	P	760	\(\text{mmHg}\)

Astuces

Pour votre premier essai de température, une bonne estimation est la moyenne des températures d'ébullition pures, pondérée par les fractions molaires : \(T_{\text{essai}} \approx x_1 T_{\text{eb},1} + (1-x_1) T_{\text{eb},2}\). Cela vous rapprochera rapidement de la solution.

Schéma (Avant les calculs)

Équilibre Liquide-Vapeur au point de bulle

Calcul(s)

On cherche T tel que \(P = 0.4 \cdot P_1^{\text{sat}}(T) + 0.6 \cdot P_2^{\text{sat}}(T) = 760\). Le raisonnement physique nous dit que la température d'ébullition du mélange sera forcément comprise entre les températures d'ébullition des deux corps purs (soit entre 80.1°C et 110.6°C). Le benzène (plus volatil) "aide" le mélange à bouillir plus tôt que le toluène seul, et le toluène (moins volatil) "retient" l'ébullition par rapport au benzène seul. Cet intervalle guide notre recherche itérative.

Itération 1 : Essai à \(T = 98^\circ C\)

On calcule d'abord les pressions de vapeur saturante de chaque composant à cette température en utilisant l'équation d'Antoine.

P_1^{\text{sat}}(98^\circ\text{C}) = 10^{\left(6.89272 - \frac{1203.531}{98 + 219.888}\right)} \approx 1284 \, \text{mmHg}

P_2^{\text{sat}}(98^\circ\text{C}) = 10^{\left(6.95087 - \frac{1342.311}{98 + 219.187}\right)} \approx 505 \, \text{mmHg}

On injecte ces valeurs dans l'équation de la pression totale :

\begin{aligned} P_{\text{calc}} &= 0.4 \cdot (1284) + 0.6 \cdot (505) \\ &= 513.6 + 303 \\ &= 816.6 \, \text{mmHg} \end{aligned}

Le résultat (816.6 mmHg) est supérieur à la pression cible (760 mmHg). Cela signifie que notre estimation de la température est trop élevée. Il faut donc diminuer la température pour la prochaine itération.

Itération 2 : Essai à \(T = 95^\circ C\)

\begin{aligned} P_{\text{calc}} &= 0.4 \cdot P_1^{\text{sat}}(95) + 0.6 \cdot P_2^{\text{sat}}(95) \\ &= 0.4 \cdot (1195) + 0.6 \cdot (473) \\ &= 478 + 283.8 \\ &= 761.8 \, \text{mmHg} \end{aligned}

Le résultat (761.8 mmHg) est maintenant très proche de 760 mmHg. On peut considérer que la température de bulle est \(T_{\text{bulle}} \approx 95.1^\circ C\).

Calcul de la composition de la vapeur

\begin{aligned} y_1 &= \frac{x_1 P_1^{\text{sat}}(95.1)}{P} \\ &= \frac{0.4 \times 1199}{760} \\ &= 0.631 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Lecture sur le diagramme

Réflexions

Le résultat \(y_1 = 0.627\) est supérieur à \(x_1 = 0.4\). Cela signifie que la vapeur est plus riche en benzène que le liquide. C'est la confirmation que le benzène est le composant le plus volatil et c'est ce phénomène qui est exploité en distillation pour séparer les constituants.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de mal identifier la procédure. Pour un calcul de point de bulle, la composition du liquide (x) est connue et on cherche T et y. Ne confondez pas avec le calcul de point de rosée où c'est l'inverse.

Points à retenir

Synthèse : Pour un calcul de point de bulle (T, y à partir de x), on résout \(P = \sum x_i P_i^{\text{sat}}(T)\) pour T, puis on calcule \(y_i = x_i P_i^{\text{sat}}(T)/P\).

Le saviez-vous ?

La distillation fractionnée, qui enchaîne de multiples équilibres liquide-vapeur sur des "plateaux", a été l'une des technologies clés permettant l'essor de l'industrie pétrolière à la fin du 19ème siècle, en séparant le pétrole brut en essence, kérosène, etc.

FAQ

Pourquoi le calcul est-il itératif ?

Car la température T apparaît à l'intérieur de la fonction Pression de vapeur saturante de manière non-linéaire (via l'équation d'Antoine), ce qui empêche de l'isoler mathématiquement de façon simple.

Résultat Final

Pour \(x_1 = 0.4\), la température de bulle est d'environ 95.1 °C et la vapeur à l'équilibre a une composition \(y_1 \approx 0.63\).

A vous de jouer

Calculez la composition de la vapeur \(y_1\) si la fraction liquide en benzène était \(x_1 = 0.5\).

Question 3 : Température de rosée et composition du liquide pour z₁ = 0.4

Principe

La température de rosée est la température à laquelle un mélange gazeux commence à se condenser. À ce point, la première gouttelette de liquide apparaît. La composition de cette goutte est telle que la vapeur qu'elle générerait (selon Raoult) doit être identique au mélange gazeux initial.

Mini-Cours

La condition d'équilibre est que la somme des fractions molaires du liquide doit être égale à 1. En utilisant la relation \(x_i = y_i P / P_i^{\text{sat}}(T)\) (dérivée de la combinaison Raoult/Dalton), on obtient l'équation à résoudre : \(\sum \frac{y_i P}{P_i^{\text{sat}}(T)} = 1\). C'est encore une fois une équation implicite en T qu'il faut résoudre de manière itérative.

Remarque Pédagogique

La démarche est le miroir du point de bulle. Ici, la composition de la vapeur (y) est connue, et on cherche la température T et la composition du liquide (x). La logique itérative est la même : on choisit un T, on calcule la somme des x, et on ajuste T jusqu'à ce que la somme vaille 1.

Normes

Le calcul de points de rosée est crucial en génie des procédés pour éviter la condensation non désirée dans les conduites de gaz ou pour concevoir des condenseurs. Les logiciels de simulation professionnels (comme Aspen HYSYS) utilisent des modèles thermodynamiques normés pour ces calculs.

Formule(s)

Équation d'Antoine (Pression de vapeur saturante)

\log_{10}(P_i^{\text{sat}}) = A_i - \frac{B_i}{T + C_i}

Équation de la température de rosée

\sum_{i} x_i = \frac{y_1 P}{P_1^{\text{sat}}(T_{\text{rosée}})} + \frac{(1-y_1) P}{P_2^{\text{sat}}(T_{\text{rosée}})} = 1

Composition du liquide à l'équilibre

x_1 = \frac{y_1 P}{P_1^{\text{sat}}(T_{\text{rosée}})}

Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour le point de bulle : mélange liquide idéal, mélange gazeux idéal, et équilibre thermodynamique entre les phases.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fraction molaire vapeur (benzène)	\(y_1\) (ou \(z_1\))	0.4	-
Pression totale	P	760	\(\text{mmHg}\)

Astuces

L'équation de rosée peut être réécrite \(P = 1 / (\sum y_i / P_i^\text{sat})\). Lors de vos itérations, si la pression calculée est supérieure à 760 mmHg, cela signifie que votre température est trop basse (car les \(P_i^{\text{sat}}\) sont au dénominateur). Vous devez donc augmenter votre estimation de T.

Schéma (Avant les calculs)

Équilibre Vapeur-Liquide au point de rosée

Calcul(s)

On cherche la température T qui satisfait l'équation : \( \sum x_i = 1 \). Comme pour le point de bulle, la température de rosée sera comprise dans l'intervalle [80.1°C ; 110.6°C].

Itération 1 : Essai à \(T = 100^\circ C\)

On calcule d'abord les pressions de vapeur saturante à cette température en utilisant l'équation d'Antoine.

P_1^{\text{sat}}(100^\circ\text{C}) = 10^{\left(6.89272 - \frac{1203.531}{100 + 219.888}\right)} \approx 1341 \, \text{mmHg}

P_2^{\text{sat}}(100^\circ\text{C}) = 10^{\left(6.95087 - \frac{1342.311}{100 + 219.187}\right)} \approx 533 \, \text{mmHg}

On injecte ces valeurs dans l'équation de la somme des fractions molaires liquides :

\begin{aligned} \sum x_i &= \frac{0.4 \times 760}{1341} + \frac{0.6 \times 760}{533} \\ &= 0.2267 + 0.8555 \\ &= 1.0822 \end{aligned}

Le résultat est supérieur à 1. Cela signifie que la température choisie est trop basse. Il faut donc augmenter la température pour que les dénominateurs (les pressions de vapeur) augmentent et que la somme diminue.

Itération 2 : Essai à \(T = 102.6^\circ C\)

On recalcule les pressions de vapeur saturante à cette nouvelle température.

P_1^{\text{sat}}(102.6^\circ\text{C}) \approx 1430 \, \text{mmHg}

P_2^{\text{sat}}(102.6^\circ\text{C}) \approx 578 \, \text{mmHg}

\begin{aligned} \sum x_i &= \frac{0.4 \times 760}{1430} + \frac{0.6 \times 760}{578} \\ &= 0.2126 + 0.7889 \\ &= 1.0015 \end{aligned}

Ce résultat est très proche de 1. On peut donc considérer que la température de rosée est \(T_{\text{rosée}} \approx 102.6^\circ C\).

Calcul de la composition du liquide

\begin{aligned} x_1 &= \frac{y_1 P}{P_1^{\text{sat}}} \\ &= \frac{0.4 \times 760}{1430} \\ &= 0.212 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Lecture sur le diagramme

Réflexions

Le résultat \(x_1 = 0.212\) est inférieur à \(y_1 = 0.4\). Le liquide qui se condense est plus pauvre en composant volatil (benzène) que la vapeur. C'est le phénomène inverse de l'ébullition et c'est tout à fait cohérent.

Points de vigilance

Attention à bien utiliser la composition de la vapeur (y) dans la formule de rosée. Une erreur fréquente est d'utiliser x par habitude. Vérifiez toujours la nature de la phase dont la composition est connue.

Points à retenir

Synthèse : Pour un calcul de point de rosée (T, x à partir de y), on résout \(\sum y_i P / P_i^{\text{sat}}(T) = 1\) pour T, puis on calcule \(x_i = y_i P / P_i^{\text{sat}}(T)\).

Le saviez-vous ?

Le phénomène de rosée est visible tous les matins lorsque la vapeur d'eau contenue dans l'air se condense sur les surfaces froides. C'est exactement le même principe physique, mais pour un système binaire air-eau !

FAQ

La température de rosée est-elle toujours supérieure à la température de bulle pour une même composition ?

Non, ce n'est pas la bonne façon de comparer. Pour une composition \(z\) donnée, la température de bulle du liquide de composition \(x=z\) est toujours inférieure à la température de rosée de la vapeur de composition \(y=z\). C'est ce qui forme le fuseau sur le diagramme.

Résultat Final

Pour \(z_1 = 0.4\), la température de rosée est d'environ 102.6 °C et le liquide à l'équilibre a une composition \(x_1 = 0.212\).

A vous de jouer

Calculez la composition du liquide \(x_1\) si la fraction vapeur en benzène était \(y_1 = 0.6\).

Question 4 : Calcul de points supplémentaires

Principe

L'objectif est de générer suffisamment de points (\(x_1, T_{\text{bulle}}\)) et (\(y_1, T_{\text{bulle}}\)) pour pouvoir tracer les deux courbes (bulle et rosée) qui forment le diagramme d'équilibre.

Mini-Cours

Chaque calcul est une répétition de la méthode du "point de bulle" vue à la question 2. En faisant varier \(x_1\) de 0 à 1, on balaye l'ensemble du domaine de composition et on calcule pour chaque point la température d'équilibre et la composition de la vapeur associée.

Remarque Pédagogique

Ce type de calcul répétitif est idéal pour un tableur ou un petit script informatique. Cela permet non seulement de gagner du temps mais aussi de réduire les risques d'erreur de calcul. La rigueur est la clé : organisez vos résultats dans un tableau clair.

Normes

La présentation des données d'équilibre liquide-vapeur sous forme de tableaux et de graphiques est une pratique standardisée dans toute la littérature scientifique et technique du génie chimique. La clarté et la reproductibilité sont essentielles.

Formule(s)

Équation d'Antoine (Pression de vapeur saturante)

\log_{10}(P_i^{\text{sat}}) = A_i - \frac{B_i}{T + C_i}

Équation de la température de bulle

P = x_1 P_1^{\text{sat}}(T_{\text{bulle}}) + (1-x_1) P_2^{\text{sat}}(T_{\text{bulle}})

Composition de la vapeur à l'équilibre

y_1 = \frac{x_1 P_1^{\text{sat}}(T_{\text{bulle}})}{P}

Hypothèses

Les hypothèses (mélange idéal liquide, gaz parfait vapeur) restent valables sur l'ensemble du domaine de composition.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeurs à tester
Fraction molaire liquide (benzène)	\(x_1\)	0.2, 0.6, 0.8

Astuces

Lorsque vous passez d'un calcul au suivant (par ex. de \(x_1=0.2\) à \(x_1=0.4\)), la nouvelle température d'ébullition sera logiquement plus basse. Utilisez le résultat précédent comme première estimation pour le suivant afin de converger encore plus vite.

Schéma (Avant les calculs)

Génération des points du diagramme

Calcul(s)

On applique la méthode de la question 2 pour chaque valeur de \(x_1\). Détaillons le calcul pour \(x_1=0.2\).

Calcul pour \(x_1=0.2\)

On cherche T tel que \(0.2 \cdot P_1^{\text{sat}}(T) + 0.8 \cdot P_2^{\text{sat}}(T) = 760\).

Itération 1 : Essai à \(T = 104.5^\circ C\)

On calcule les pressions de vapeur saturante à cette température avec l'équation d'Antoine.

P_1^{\text{sat}}(104.5^\circ\text{C}) = 10^{\left(6.89272 - \frac{1203.531}{104.5 + 219.888}\right)} \approx 1523 \, \text{mmHg}

P_2^{\text{sat}}(104.5^\circ\text{C}) = 10^{\left(6.95087 - \frac{1342.311}{104.5 + 219.187}\right)} \approx 637 \, \text{mmHg}

\begin{aligned} P_{\text{calc}} &= 0.2 \cdot (1523) + 0.8 \cdot (637) \\ &= 304.6 + 509.6 \\ &= 814.2 \, \text{mmHg} \end{aligned}

Le résultat (814.2) est supérieur à 760 mmHg. La température est trop élevée. Il faut donc la diminuer.

Itération 2 : Essai à \(T = 102.5^\circ C\)

\begin{aligned} P_{\text{calc}} &= 0.2 \cdot P_1^{\text{sat}}(102.5) + 0.8 \cdot P_2^{\text{sat}}(102.5) \\ &= 0.2 \cdot (1448) + 0.8 \cdot (590) \\ &= 289.6 + 472 \\ &= 761.6 \, \text{mmHg} \end{aligned}

Le résultat (761.6) est très proche de 760 mmHg. On adopte \(T_{\text{bulle}} \approx 102.5^\circ C\).

Calcul de la composition de la vapeur pour \(x_1=0.2\)

\begin{aligned} y_1 &= \frac{x_1 P_1^{\text{sat}}(102.5)}{P} \\ &= \frac{0.2 \times 1448}{760} \\ &= 0.381 \end{aligned}

En appliquant la même méthode pour les autres points, on obtient le tableau de résultats complet.

Schéma (Après les calculs)

Report des points sur le diagramme

Réflexions

On observe une tendance claire : plus le liquide est riche en benzène (\(x_1\) augmente), plus sa température d'ébullition diminue. C'est logique, car on se rapproche des propriétés du benzène pur, qui est le plus volatil.

Points de vigilance

La principale difficulté est de ne pas s'embrouiller dans les calculs répétitifs. Soyez méthodique. Une erreur sur un point faussera l'allure de votre courbe finale.

Points à retenir

Synthèse : La construction d'un diagramme binaire se fait point par point en calculant la température de bulle et la composition de la vapeur pour plusieurs compositions de liquide couvrant le domaine de 0 à 1.

Le saviez-vous ?

Les données d'équilibre liquide-vapeur expérimentales sont mesurées dans un appareil appelé "ébulliomètre". Il permet de faire bouillir un mélange et de prélever des échantillons des deux phases pour analyse.

FAQ

Combien de points faut-il calculer pour un bon diagramme ?

Pour un tracé manuel, 5 à 7 points répartis sur l'échelle de composition sont généralement suffisants pour obtenir une bonne allure des courbes. Les logiciels en calculent bien plus pour une grande précision.

Résultat Final

\(x_1\)	\(T_{\text{bulle}} (\,^{\circ}\text{C})\)	\(y_1\)
0.0	110.6	0.0
0.2	102.5	0.381
0.4	95.1	0.627
0.6	89.5	0.794
0.8	84.1	0.914
1.0	80.1	1.0

A vous de jouer

En vous basant sur le tableau, estimez la température de bulle pour \(x_1=0.7\).

Question 5 : Tracé du diagramme binaire isobare

Principe

On reporte sur un graphique les températures d'ébullition en fonction des compositions de la phase liquide (\(x_1\)) et de la phase vapeur (\(y_1\)). On relie les points (\(T_{\text{eb}}\), \(x_1\)) pour former la courbe de bulle, et les points (\(T_{\text{eb}}\), \(y_1\)) pour former la courbe de rosée.

Schéma (Après les calculs)

Diagramme Binaire Isobore Benzène(1)-Toluène(2) à 1 atm

Réflexions

Le diagramme montre que la phase vapeur est toujours plus riche en benzène (le composant le plus volatil, qui bout à la plus basse température) que la phase liquide avec laquelle elle est en équilibre. C'est ce décalage entre les deux courbes qui rend la séparation par distillation possible. La zone au-dessus de la courbe de rosée est la zone vapeur (surchauffée). La zone sous la courbe de bulle est la zone liquide (sous-refroidi). Entre les deux courbes se trouve le domaine où les deux phases coexistent à l'équilibre.

Outil Interactif : Simulateur d'Équilibre

Utilisez le curseur pour choisir la composition du mélange liquide en benzène (\(x_1\)) et observez en temps réel sa température d'ébullition et la composition de la vapeur qui s'en échappe.

Paramètres d'Entrée

Fraction molaire liquide en Benzène (x₁) 0.40

Résultats à l'Équilibre

Température de bulle (°C) -

Fraction molaire vapeur en Benzène (y₁) -

Glossaire

Loi de Raoult: Loi thermodynamique qui décrit le comportement des solutions idéales, en reliant la pression de vapeur d'un composant à sa fraction molaire en phase liquide.
Volatilité: Tendance d'une substance à se vaporiser. Un composant est dit plus volatil qu'un autre s'il a une pression de vapeur saturante plus élevée (et donc une température d'ébullition plus basse) à une température donnée.
Point de Bulle (Température d'ébullition): Pour une composition liquide et une pression données, c'est la température à laquelle la première bulle de vapeur apparaît.
Point de Rosée: Pour une composition vapeur et une pression données, c'est la température à laquelle la première goutte de liquide se forme.
Azéotrope: Mélange non-idéal qui bout à une température constante et dont la phase vapeur a la même composition que la phase liquide, rendant la séparation par distillation simple impossible à ce point précis.