ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Analyse de l’inversion de température

Détente de Joule-Thomson : analyse de l'inversion de température

Détente de Joule-Thomson : analyse de l'inversion de température

Comprendre la Détente de Joule-Thomson

La détente de Joule-Thomson (ou Joule-Kelvin) est un processus où un gaz réel est forcé de passer à travers une valve ou un bouchon poreux, d'une région de haute pression à une région de basse pression. C'est une transformation isenthalpique (\(\Delta H = 0\)), car le système est adiabatique et le travail des forces de pression est compensé. Contrairement à un gaz parfait qui ne changerait pas de température, un gaz réel peut se refroidir ou se réchauffer. Ce changement de température est quantifié par le coefficient de Joule-Thomson, \(\mu_{JT}\). Le signe de ce coefficient détermine si le gaz se refroidit (\(\mu_{JT}>0\)) ou se réchauffe (\(\mu_{JT}<0\)), et dépend de la température initiale par rapport à la température d'inversion du gaz.

Données de l'étude

Du diazote (\(\text{N}_2\)), modélisé comme un gaz de van der Waals, subit une détente de Joule-Thomson.

Schéma de la Détente de Joule-Thomson
Paroi poreuse État Initial P₁, T₁ État Final P₂, T₂

Conditions et constantes :

  • Gaz : Diazote (\(\text{N}_2\))
  • Pression initiale : \(P_1 = 50 \, \text{atm}\)
  • Pression finale : \(P_2 = 1 \, \text{atm}\)
  • Température initiale : \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
  • Coefficients de van der Waals pour \(\text{N}_2\) :
    • \(a = 0.137 \, \text{Pa} \cdot \text{m}^6 \cdot \text{mol}^{-2}\)
    • \(b = 3.87 \times 10^{-5} \, \text{m}^3 \cdot \text{mol}^{-1}\)
  • Capacité thermique molaire à pression constante : \(C_{p,m} \approx \frac{7}{2}R\)
  • Constante des gaz parfaits : \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le coefficient de Joule-Thomson (\(\mu_{JT}\)) pour le diazote à 300 K en utilisant l'approximation pour un gaz de van der Waals.
  2. Le gaz se refroidit-il ou se réchauffe-t-il lors de cette détente ? Justifier.
  3. Estimer la température finale (\(T_2\)) du gaz après la détente.
  4. Calculer la température d'inversion maximale (\(T_{inv, max}\)) pour l'azote. Comparer à la température initiale et commenter.

Correction : Détente de Joule-Thomson : analyse de l'inversion de température

Question 1 : Calcul du coefficient de Joule-Thomson (\(\mu_{JT}\))

Principe :

Le coefficient de Joule-Thomson, \(\mu_{JT} = (\partial T / \partial P)_H\), quantifie le changement de température avec la pression lors d'une détente isenthalpique. Pour un gaz de van der Waals, il peut être approximé par une formule simple impliquant les coefficients \(a\) et \(b\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \mu_{JT} \approx \frac{1}{C_{p,m}} \left( \frac{2a}{RT} - b \right) \]
Calcul :

Calcul de \(C_{p,m}\) :

\[ C_{p,m} = \frac{7}{2}R = 3.5 \times 8.314 \approx 29.1 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \]

Calcul du terme \(\frac{2a}{RT}\) :

\[ \frac{2a}{RT} = \frac{2 \cdot 0.137}{8.314 \cdot 300} = \frac{0.274}{2494.2} \approx 1.098 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\text{/mol} \]

Calcul final de \(\mu_{JT}\) :

\[ \begin{aligned} \mu_{JT} &\approx \frac{1}{29.1} \left( 1.098 \times 10^{-4} - 3.87 \times 10^{-5} \right) \\ &= \frac{1}{29.1} (7.11 \times 10^{-5}) \\ &\approx 2.44 \times 10^{-6} \, \text{K/Pa} \end{aligned} \]

Convertissons en K/atm pour une meilleure intuition : \(1 \text{ atm} = 101325 \text{ Pa}\).

\[ \mu_{JT} \approx (2.44 \times 10^{-6} \, \text{K/Pa}) \times (101325 \, \text{Pa/atm}) \approx 0.247 \, \text{K/atm} \]
Résultat Question 1 : Le coefficient de Joule-Thomson est \(\mu_{JT} \approx 0.25 \, \text{K/atm}\).

Question 2 : Refroidissement ou réchauffement ?

Principe :

Le signe du coefficient de Joule-Thomson détermine l'effet de la détente. Une détente correspond à \(\Delta P < 0\). La variation de température est \(\Delta T \approx \mu_{JT} \cdot \Delta P\).

Analyse :

Nous avons calculé \(\mu_{JT} \approx +0.25 \, \text{K/atm}\), qui est positif. La variation de pression est \(\Delta P = P_2 - P_1 = 1 - 50 = -49 \text{ atm}\), ce qui est négatif.

\[ \Delta T \approx \underbrace{(+)}_{\mu_{JT}} \cdot \underbrace{(-)}_{\Delta P} = (-) \]

Puisque \(\Delta T\) est négatif, la température finale sera inférieure à la température initiale. Le gaz se refroidit.

Résultat Question 2 : Puisque \(\mu_{JT} > 0\), le gaz se refroidit lors de la détente.

Question 3 : Estimation de la température finale \(T_2\)

Principe :

On utilise l'approximation \(\Delta T \approx \mu_{JT} \cdot \Delta P\) pour une petite variation de pression. Bien que 49 atm soit une grande variation, cette approximation donne un bon ordre de grandeur.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta T &\approx (0.247 \, \text{K/atm}) \cdot (1 - 50 \, \text{atm}) \\ &= 0.247 \cdot (-49) \\ &\approx -12.1 \, \text{K} \end{aligned} \]

Température finale :

\[ T_2 = T_1 + \Delta T = 300 - 12.1 = 287.9 \, \text{K} \]
Résultat Question 3 : La température finale du gaz est estimée à environ \(288 \, \text{K}\) (soit 15 °C).

Question 4 : Température d'inversion maximale

Principe :

La température d'inversion est la température pour laquelle \(\mu_{JT} = 0\). Au-dessus de cette température, le gaz se réchauffe lors de la détente. La température d'inversion maximale correspond à la limite à basse pression.

Formule(s) utilisée(s) :

On pose \(\mu_{JT} = 0\) dans la formule approchée :

\[ \frac{2a}{RT_{inv}} - b = 0 \Rightarrow T_{inv} = \frac{2a}{Rb} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_{inv} &= \frac{2 \cdot 0.137}{8.314 \cdot (3.87 \times 10^{-5})} \\ &= \frac{0.274}{0.0003215} \\ &\approx 852 \, \text{K} \end{aligned} \]

La température initiale (\(T_1 = 300 \, \text{K}\)) est bien en dessous de la température d'inversion (\(852 \, \text{K}\)). Le gaz est donc dans la zone de refroidissement, ce qui confirme le résultat de la question 2.

Résultat Question 4 : La température d'inversion maximale pour l'azote est d'environ \(852 \, \text{K}\) (ou 579 °C).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Une détente de Joule-Thomson est une transformation...

2. Pour un gaz parfait, le coefficient de Joule-Thomson est...

3. Un gaz se réchauffe lors d'une détente de Joule-Thomson si...

Glossaire

Détente de Joule-Thomson
Processus irréversible et isenthalpique où un fluide (gaz ou liquide) s'écoule d'une région de haute pression vers une région de basse pression à travers une valve ou un bouchon poreux, sans échange de chaleur avec l'extérieur.
Transformation Isenthalpique
Processus thermodynamique qui se produit à enthalpie constante (\(\Delta H = 0\)).
Coefficient de Joule-Thomson (\(\mu_{JT}\))
Coefficient qui mesure le changement de température d'un gaz réel lors d'une détente de Joule-Thomson. Il est défini par \(\mu_{JT} = (\partial T / \partial P)_H\).
Température d'Inversion
Température spécifique à un gaz pour laquelle le coefficient de Joule-Thomson change de signe. Au-dessus de cette température, le gaz se réchauffe par détente ; en dessous, il se refroidit.
Gaz de van der Waals
Modèle de gaz qui améliore celui du gaz parfait en tenant compte des interactions attractives entre les particules (terme en \(a\)) et du volume propre de ces particules (terme en \(b\)).
Détente de Joule-Thomson - Exercice d'Application

D’autres exercices de Thermodynamique Classique:

Modélisation d’une Pompe à Chaleur
Modélisation d’une Pompe à Chaleur

Modélisation d'une Pompe à Chaleur Modélisation d'une Pompe à Chaleur Comprendre les Pompes à Chaleur Une pompe à chaleur est un dispositif thermodynamique qui transfère de la chaleur d'une source froide (l'environnement extérieur) vers une source chaude (l'intérieur...

Étude d’un cycle de Stirling
Étude d’un cycle de Stirling

Étude d'un Cycle de Stirling en Thermodynamique Classique Étude d'un cycle de Stirling Comprendre le Cycle de Stirling Le cycle de Stirling est un cycle thermodynamique qui décrit le fonctionnement d'un moteur Stirling. Théoriquement, il est aussi efficace que le...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *