ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Utilisation des Coefficients Calorimétriques

Utilisation des Coefficients Calorimétriques (Cp, Cv) et Relation de Mayer

Utilisation des Coefficients Calorimétriques (Cp, Cv) et Relation de Mayer

Comprendre les Coefficients Calorimétriques

Les capacités thermiques à pression constante (\(C_p\)) et à volume constant (\(C_v\)) sont des propriétés fondamentales d'un système. Elles décrivent la quantité de chaleur nécessaire pour élever sa température de un degré dans des conditions spécifiques. Pour un gaz parfait, ces deux capacités ne sont pas égales : il faut fournir plus d'énergie pour chauffer un gaz à pression constante qu'à volume constant, car une partie de l'énergie est utilisée pour fournir le travail d'expansion. La relation de Mayer, \(C_p - C_v = nR\), quantifie précisément cette différence. Cet exercice a pour but d'appliquer ces concepts à une transformation en deux étapes.

Données de l'étude

On prend un gaz parfait monoatomique qui subit une transformation en deux étapes réversibles pour passer d'un état A à un état C : une première étape isochore (A→B) suivie d'une étape isobare (B→C).

Diagramme P-V des Transformations
Volume (V) Pression (P) A (P₁, V₁) B (P₂, V₁) C (P₂, V₂)

Conditions et constantes :

  • Gaz : Hélium (\(\text{He}\)), gaz parfait monoatomique.
  • Quantité de matière : \(n = 2.0 \, \text{mol}\)
  • État A : \(P_1 = 200 \, \text{kPa}\), \(T_1 = 400 \, \text{K}\)
  • État B : \(P_2 = 100 \, \text{kPa}\)
  • État C : \(V_2 = 2 \cdot V_1\)
  • Capacités thermiques molaires d'un gaz parfait monoatomique : \(C_{v,m} = \frac{3}{2}R\), \(C_{p,m} = \frac{5}{2}R\)
  • Constante des gaz parfaits : \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le volume \(V_1\) et la température \(T_2\).
  2. Calculer la chaleur (\(Q_{AB}\)) et le travail (\(W_{AB}\)) pour la transformation isochore A→B.
  3. Calculer la chaleur (\(Q_{BC}\)) et le travail (\(W_{BC}\)) pour la transformation isobare B→C.
  4. Calculer la variation totale d'énergie interne (\(\Delta U_{AC}\)) pour l'ensemble du processus.
  5. Calculer le travail total (\(W_{AC}\)) et la chaleur totale (\(Q_{AC}\)) et vérifier le premier principe.

Correction : Utilisation des Coefficients Calorimétriques et Relation de Mayer

Question 1 : Calcul de \(V_1\) et \(T_2\)

Principe :

On utilise la loi des gaz parfaits (\(PV=nRT\)) pour les états A et B. La transformation A→B est isochore (\(V_A=V_B=V_1\)).

Calcul de \(V_1\) :
\[ V_1 = \frac{nRT_1}{P_1} = \frac{2.0 \cdot 8.314 \cdot 400}{200 \times 10^3} \approx 0.03326 \, \text{m}^3 \]

Calcul de \(T_2\) :

Pour une transformation isochore d'un gaz parfait, \(\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}\).

\[ \begin{aligned} T_2 &= T_1 \cdot \frac{P_2}{P_1} \\ &= 400 \, \text{K} \cdot \frac{100 \, \text{kPa}}{200 \, \text{kPa}} \\ &= 200 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : \(V_1 \approx 33.3 \, \text{L}\) et \(T_2 = 200 \, \text{K}\).

Question 2 : Transformation isochore (A→B)

Principe :

À volume constant (\(V_1 = V_B\)), le travail des forces de pression est nul. La chaleur échangée est égale à la variation d'énergie interne, calculée avec \(C_{v,m}\).

Calcul :
\[ W_{AB} = 0 \, \text{J} \]
\[ \begin{aligned} Q_{AB} = \Delta U_{AB} &= n C_{v,m} (T_2 - T_1) \\ &= 2.0 \cdot \left(\frac{3}{2} \cdot 8.314\right) \cdot (200 - 400) \\ &= 2.0 \cdot (12.471) \cdot (-200) \\ &= -4988.4 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Pour l'étape A→B, \(W_{AB} = 0\) et \(Q_{AB} \approx -4.99 \, \text{kJ}\).

Question 3 : Transformation isobare (B→C)

Principe :

À pression constante (\(P_2 = P_C\)), la chaleur échangée est calculée avec \(C_{p,m}\) et le travail avec \(W = -P\Delta V\).

Calcul :

D'abord, calculons \(T_3\) (température au point C) : \(V_2 = V_C\) et \(P_2 = P_C\). Pour une transformation isobare, \(\frac{V_B}{T_2} = \frac{V_C}{T_3}\). Or \(V_B=V_1\) et \(V_C=V_2=2V_1\).

\[ T_3 = T_2 \cdot \frac{V_C}{V_B} = T_2 \cdot \frac{2V_1}{V_1} = 2T_2 = 2 \cdot 200 = 400 \, \text{K} \]

Calcul de la chaleur \(Q_{BC}\) :

\[ \begin{aligned} Q_{BC} &= n C_{p,m} (T_3 - T_2) \\ &= 2.0 \cdot \left(\frac{5}{2} \cdot 8.314\right) \cdot (400 - 200) \\ &= 2.0 \cdot (20.785) \cdot 200 \\ &= +8314 \, \text{J} \end{aligned} \]

Calcul du travail \(W_{BC}\) :

\[ \begin{aligned} W_{BC} &= -P_2(V_C - V_B) = -n R (T_3 - T_2) \\ &= -2.0 \cdot 8.314 \cdot (400 - 200) \\ &= -3325.6 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Pour l'étape B→C, \(Q_{BC} \approx +8.31 \, \text{kJ}\) et \(W_{BC} \approx -3.33 \, \text{kJ}\).

Question 4 : Variation totale d'énergie interne (\(\Delta U_{AC}\))

Principe :

L'énergie interne est une fonction d'état. Sa variation ne dépend que des états initial (A) et final (C). Comme \(T_A = T_C = 400 \, \text{K}\), la variation de température globale est nulle.

Calcul :
\[ \Delta U_{AC} = n C_{v,m} (T_C - T_A) = n C_{v,m} (400 - 400) = 0 \, \text{J} \]
Résultat Question 4 : La variation d'énergie interne totale \(\Delta U_{AC}\) est nulle.

Question 5 : Bilan global et vérification

Principe :

On somme le travail et la chaleur des deux étapes pour obtenir les valeurs pour la transformation globale A→C, puis on vérifie que le premier principe (\(\Delta U = Q + W\)) est respecté.

Calcul :

Travail total :

\[ W_{AC} = W_{AB} + W_{BC} = 0 + (-3325.6) = -3325.6 \, \text{J} \]

Chaleur totale :

\[ Q_{AC} = Q_{AB} + Q_{BC} = -4988.4 + 8314 = +3325.6 \, \text{J} \]

Vérification :

\[ \begin{aligned} \Delta U_{AC} &= Q_{AC} + W_{AC} \\ &= 3325.6 + (-3325.6) \\ &= 0 \, \text{J} \end{aligned} \]

Le résultat est bien cohérent avec la valeur de \(\Delta U_{AC}\) trouvée à la question 4.

Résultat Question 5 : \(W_{AC} \approx -3.33 \, \text{kJ}\), \(Q_{AC} \approx +3.33 \, \text{kJ}\), et \(\Delta U_{AC} = 0\), ce qui vérifie le premier principe.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La relation de Mayer (\(C_p - C_v = nR\)) est valable pour...

2. Pourquoi \(C_p\) est-il toujours plus grand que \(C_v\) pour un gaz ?

3. Dans une transformation isochore réversible, le premier principe s'écrit...

Glossaire

Capacité Thermique Molaire (\(C_{p,m}\), \(C_{v,m}\))
Quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d'une mole d'une substance de un degré. \(C_p\) est à pression constante, \(C_v\) est à volume constant.
Relation de Mayer
Relation fondamentale pour les gaz parfaits qui lie les deux capacités thermiques molaires à la constante des gaz parfaits : \(C_{p,m} - C_{v,m} = R\).
Enthalpie (H)
Fonction d'état (\(H = U + PV\)) dont la variation est égale à la chaleur échangée lors d'une transformation isobare.
Énergie Interne (U)
Fonction d'état qui représente l'énergie totale d'un système. Sa variation est égale à la chaleur échangée lors d'une transformation isochore.
Transformation Isochore
Processus thermodynamique se déroulant à volume constant (\(\Delta V = 0\)), où le travail des forces de pression est nul.
Transformation Isobare
Processus thermodynamique se déroulant à pression constante (\(\Delta P = 0\)).
Coefficients Calorimétriques - Exercice d'Application

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