ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Fluctuations d’énergie dans l’ensemble canonique

Fluctuations d'Énergie dans l'Ensemble Canonique

Fluctuations d'énergie dans l'ensemble canonique

Comprendre les Fluctuations d'Énergie

Dans l'ensemble canonique, un système est en contact thermique avec un grand réservoir de chaleur (thermostat) à une température T constante. Le système peut échanger de l'énergie avec le thermostat, ce qui signifie que son énergie n'est pas fixe, mais fluctue autour d'une valeur moyenne \(\langle E \rangle\). La thermodynamique statistique nous donne les outils pour non seulement calculer cette énergie moyenne, mais aussi pour quantifier l'amplitude de ces fluctuations. Il s'avère que ces fluctuations sont directement liées à une grandeur macroscopique mesurable : la capacité thermique à volume constant (\(C_V\)).

Données de l'étude

On considère un système simple de \(N\) particules indiscernables et indépendantes, chacune pouvant exister dans l'un des deux niveaux d'énergie : \(\epsilon_0 = 0\) ou \(\epsilon_1 = \epsilon\).

Schéma : Système en contact avec un Thermostat
Thermostat à T Système (N, V) Énergie E fluctuante Q

Conditions et constantes :

  • Nombre de particules : \(N = 1000\)
  • Énergie du niveau excité : \(\epsilon = 5.0 \times 10^{-21} \, \text{J}\)
  • Température : \(T = 500 \, \text{K}\)
  • Constante de Boltzmann : \(k_B = 1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la fonction de partition pour une seule particule (\(z\)).
  2. Écrire la fonction de partition totale (\(Z\)) pour le système de \(N\) particules.
  3. Calculer l'énergie interne moyenne du système (\(\langle E \rangle\)).
  4. Calculer la capacité thermique à volume constant (\(C_V\)) du système.
  5. Calculer l'écart-type de l'énergie (\(\sigma_E\)), qui mesure l'amplitude des fluctuations.

Correction : Fluctuations d'énergie dans l'ensemble canonique

Question 1 : Fonction de partition d'une particule (\(z\))

Principe :

La fonction de partition d'une particule est la somme des facteurs de Boltzmann sur tous ses états d'énergie accessibles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ z = \sum_{i} e^{-\beta \epsilon_i} \quad \text{avec} \quad \beta = \frac{1}{k_B T} \]
Calcul :

Calcul de \(\beta\) :

\[ \beta = \frac{1}{(1.38 \times 10^{-23}) \cdot 500} = \frac{1}{6.9 \times 10^{-21}} \approx 1.45 \times 10^{20} \, \text{J}^{-1} \]

Calcul de \(z\) :

\[ \begin{aligned} z &= e^{-\beta \cdot 0} + e^{-\beta \epsilon} \\ &= 1 + e^{-(1.45 \times 10^{20}) \cdot (5.0 \times 10^{-21})} \\ &= 1 + e^{-0.725} \\ &= 1 + 0.484 \\ &= 1.484 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La fonction de partition d'une particule est \(z \approx 1.484\).

Question 2 : Fonction de partition totale (\(Z\))

Principe :

Pour un système de N particules indépendantes et indiscernables, la fonction de partition totale \(Z\) est reliée à la fonction de partition d'une particule \(z\). Dans ce modèle simple (gaz de réseau), on considère les particules discernables (liées à des sites), donc \(Z = z^N\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Z = z^N \]
Expression :

L'expression littérale est simplement \(Z = (1 + e^{-\beta\epsilon})^N\).

Résultat Question 2 : La fonction de partition totale est \(Z = (1 + e^{-\beta\epsilon})^N\).

Question 3 : Énergie interne moyenne (\(\langle E \rangle\))

Principe :

L'énergie interne moyenne est obtenue en dérivant le logarithme de la fonction de partition par rapport à \(\beta\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \langle E \rangle = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta} = -N \frac{\partial \ln z}{\partial \beta} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \langle E \rangle &= -N \frac{\partial}{\partial \beta} \ln(1+e^{-\beta\epsilon}) \\ &= -N \frac{- \epsilon e^{-\beta\epsilon}}{1+e^{-\beta\epsilon}} \\ &= N \frac{\epsilon e^{-\beta\epsilon}}{1+e^{-\beta\epsilon}} \end{aligned} \]

Application numérique :

\[ \begin{aligned} \langle E \rangle &= 1000 \cdot \frac{(5.0 \times 10^{-21}) \cdot e^{-0.725}}{1+e^{-0.725}} \\ &= 1000 \cdot \frac{(5.0 \times 10^{-21}) \cdot 0.484}{1.484} \\ &= 1000 \cdot (1.63 \times 10^{-21}) \\ &= 1.63 \times 10^{-18} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'énergie interne moyenne du système est \(\langle E \rangle \approx 1.63 \times 10^{-18} \, \text{J}\).

Question 4 : Capacité thermique à volume constant (\(C_V\))

Principe :

La capacité thermique est la dérivée de l'énergie interne moyenne par rapport à la température. Il est souvent plus simple de la calculer via la dérivée seconde de \(\ln Z\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C_V = \left( \frac{\partial \langle E \rangle}{\partial T} \right)_V = k_B \beta^2 \frac{\partial^2 \ln Z}{\partial \beta^2} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} C_V &= k_B \beta^2 \left( -\frac{\partial \langle E \rangle}{\partial \beta} \right) \\ &= k_B \beta^2 \left[ N \epsilon^2 \frac{e^{-\beta\epsilon}}{(1+e^{-\beta\epsilon})^2} \right] \\ &= N k_B (\beta\epsilon)^2 \frac{e^{-\beta\epsilon}}{(1+e^{-\beta\epsilon})^2} \end{aligned} \]

Application numérique :

\[ \begin{aligned} C_V &= 1000 \cdot (1.38 \times 10^{-23}) \cdot (0.725)^2 \cdot \frac{0.484}{(1.484)^2} \\ &= (1.38 \times 10^{-20}) \cdot (0.5256) \cdot (0.2198) \\ &\approx 1.59 \times 10^{-21} \, \text{J/K} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La capacité thermique est \(C_V \approx 1.59 \times 10^{-21} \, \text{J/K}\).

Question 5 : Fluctuation de l'énergie (\(\sigma_E\))

Principe :

Une relation fondamentale de la thermodynamique statistique lie la variance de l'énergie (\(\sigma_E^2\)) à la capacité thermique et à la température. L'écart-type \(\sigma_E\) est simplement la racine carrée de la variance.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_E^2 = \langle E^2 \rangle - \langle E \rangle^2 = k_B T^2 C_V \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_E^2 &= (1.38 \times 10^{-23}) \cdot (500)^2 \cdot (1.59 \times 10^{-21}) \\ &= (1.38 \times 10^{-23}) \cdot (250000) \cdot (1.59 \times 10^{-21}) \\ &= 5.485 \times 10^{-42} \, \text{J}^2 \\ \sigma_E &= \sqrt{5.485 \times 10^{-42}} \\ &\approx 2.34 \times 10^{-21} \, \text{J} \end{aligned} \]

L'écart-type est du même ordre de grandeur que \(\epsilon\), ce qui est typique pour de tels systèmes.

Résultat Question 5 : L'écart-type des fluctuations d'énergie est \(\sigma_E \approx 2.34 \times 10^{-21} \, \text{J}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans l'ensemble canonique, quelle grandeur est fixée par l'environnement ?

2. Une grande capacité thermique (\(C_V\)) implique...

3. La fluctuation relative \(\sigma_E / \langle E \rangle\) pour un système macroscopique...

Glossaire

Ensemble Canonique
En mécanique statistique, un ensemble canonique est l'ensemble de tous les états possibles d'un système qui est en équilibre thermique avec un thermostat à une température T. Le système peut échanger de l'énergie avec le thermostat, mais pas de particules.
Fonction de Partition (\(Z\))
Somme pondérée par le facteur de Boltzmann sur tous les micro-états d'un système. Elle est la fonction centrale de l'ensemble canonique et permet de dériver toutes les grandeurs thermodynamiques.
Fluctuations Thermodynamiques
Écarts spontanés des grandeurs macroscopiques d'un système par rapport à leur valeur moyenne, dus au mouvement aléatoire des particules constituant le système.
Capacité Thermique (\(C_V\))
Quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d'un système de un degré, à volume constant. Elle mesure la capacité du système à stocker de l'énergie interne.
Écart-type (\(\sigma\))
Mesure statistique de la dispersion d'un ensemble de valeurs. En physique, l'écart-type d'une grandeur (comme l'énergie) quantifie l'amplitude de ses fluctuations autour de la moyenne.
Fluctuations d'Énergie - Exercice d'Application

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