Rayonnement du corps noir (gaz de photons)

Contexte : La Thermodynamique Statistique du Rayonnement du Corps NoirLe rayonnement électromagnétique émis par un objet idéal qui absorbe toute la lumière incidente, quelle que soit la fréquence ou l'angle d'incidence..

L'étude du rayonnement du corps noir est un pilier de la physique moderne. Historiquement, la tentative d'expliquer sa distribution spectrale avec la physique classique a mené à la "catastrophe ultraviolette", un désaccord flagrant avec l'expérience. La résolution de ce problème par Max Planck en 1900 a nécessité l'introduction du concept de quantification de l'énergie, marquant la naissance de la mécanique quantique. Dans cet exercice, nous allons modéliser le rayonnement à l'intérieur d'une cavité en équilibre thermique comme un gaz de photonsUn gaz de bosons (les photons) sans masse, dont le nombre n'est pas conservé et dont le potentiel chimique est nul. et utiliser les outils de la thermodynamique statistique pour en dériver les propriétés fondamentales.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes clés de la dérivation de la loi de Planck, vous permettant de comprendre comment les principes de la physique statistique s'appliquent à un système de bosons sans masse et de dériver des lois macroscopiques (Stefan-Boltzmann, Wien) à partir de la description microscopique.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et calculer la densité d'étatsLe nombre d'états quantiques accessibles par unité de volume et par unité d'énergie (ou de fréquence). pour des ondes dans une boîte 3D.
Appliquer la distribution de Bose-EinsteinUne loi statistique qui décrit la distribution des bosons indiscernables sur les états d'énergie en équilibre thermique. à un gaz de photons.
Dériver la loi de Planck pour la densité d'énergie spectrale.
Calculer l'énergie interne et la pression d'un gaz de photons et en déduire la loi de Stefan-Boltzmann.

Données de l'étude

On considère le rayonnement électromagnétique confiné dans une cavité cubique de volume \(V = L^3\) et maintenu à une température d'équilibre \(T\). Ce rayonnement est modélisé comme un gaz de photons, qui sont des bosons sans masse de spin 1, ayant deux états de polarisation possibles. L'énergie d'un photon de fréquence \(\nu\) est \(\epsilon = h\nu\).

Modèle de la cavité du corps noir

Constante Physique	Symbole	Valeur
Constante de Planck	\(h\)	\(6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}\)
Constante de Boltzmann	\(k_B\)	\(1.381 \times 10^{-23} \text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\)
Vitesse de la lumière dans le vide	\(c\)	\(2.998 \times 10^8 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}\)

Questions à traiter

Déterminer le nombre de modes électromagnétiques (densité d'états) \(g(\nu)d\nu\) dans la cavité pour l'intervalle de fréquence \([\nu, \nu+d\nu]\).
En utilisant la statistique de Bose-Einstein pour les photons, dériver l'expression de la densité d'énergie spectrale \(u(\nu, T)\) (Loi de Planck).
À partir de \(u(\nu, T)\), calculer la densité d'énergie totale \(u(T) = U/V\) et montrer qu'elle est proportionnelle à \(T^4\) (Loi de Stefan-Boltzmann).
Montrer que la pression \(P\) exercée par ce gaz de photons sur les parois de la cavité est égale à \(P = u(T)/3\).

Les bases sur le Gaz de Photons

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de quelques concepts clés de la physique statistique appliquée aux photons.

1. Les Photons comme des Bosons
Les photons sont les quanta du champ électromagnétique. Ce sont des particules de spin entier (spin 1), ce qui signifie qu'ils obéissent à la statistique de Bose-Einstein. De plus, ils sont sans masse. Une caractéristique cruciale est que leur nombre n'est pas conservé : ils peuvent être créés ou absorbés par les parois de la cavité. Cela implique que leur potentiel chimique est nul (\(\mu=0\)).

2. Distribution de Bose-Einstein pour \(\mu=0\)
Le nombre moyen de bosons occupant un état quantique d'énergie \(\epsilon\) à la température \(T\) est donné par : \[ \langle n(\epsilon) \rangle = \frac{1}{e^{\epsilon / k_B T} - 1} \] Pour les photons, \(\epsilon = h\nu\), donc le nombre moyen de photons de fréquence \(\nu\) est \(\langle n(\nu) \rangle = \frac{1}{e^{h\nu / k_B T} - 1}\).

Correction : Le Rayonnement du Corps Noir (Gaz de Photons)

Question 1 : Calcul de la densité d'états \(g(\nu)d\nu\)

Principe

Pour trouver le nombre de modes, on considère les ondes électromagnétiques comme des ondes stationnaires dans une boîte cubique 3D. Les conditions aux limites (champ électrique nul sur les parois) quantifient les vecteurs d'onde possibles. En comptant le nombre de ces vecteurs d'onde dans un certain intervalle, on obtient la densité d'états.

Mini-Cours

Dans une boîte 3D, les solutions de l'équation d'onde sont des ondes stationnaires. Les conditions aux limites imposent que seuls certains vecteurs d'onde \(\vec{k}\) sont permis. Ces vecteurs d'onde discrets forment un réseau dans un espace abstrait appelé "espace k". Passer d'une somme sur ces points discrets à une intégrale continue est une approximation valide pour une boîte de taille macroscopique.

Remarque Pédagogique

L'astuce ici est de visualiser le problème géométriquement. Imaginez chaque mode comme un point dans un espace 3D. Compter les modes revient alors à calculer le volume d'une région de cet espace. C'est une méthode très puissante en physique statistique.

Normes

Il n'y a pas de "norme" réglementaire ici. Les "règles" sont les lois fondamentales de l'électromagnétisme (équations de Maxwell) et de la mécanique ondulatoire, qui dictent le comportement des ondes dans une cavité.

Formule(s)

Vecteur d'onde quantifié

k_i = \frac{n_i \pi}{L}, \quad \text{avec } (n_i \in \mathbb{N}^*)

Relation de dispersion

\omega = 2\pi\nu = ck \quad \text{où } k = \sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}

Hypothèses

La cavité est un cube parfait aux parois parfaitement conductrices.
Le volume \(V\) de la cavité est suffisamment grand pour que l'on puisse remplacer la sommation discrète sur les modes par une intégrale continue.

Donnée(s)

Le seul paramètre d'entrée est le volume \(V\) de la cavité.

Astuces

Pour passer du comptage dans l'espace des \(n_i\) à l'espace des \(k\), utilisez la relation \(n = Lk/\pi\). Cela simplifie le calcul du volume élémentaire et évite les confusions.

Schéma (Avant les calculs)

Espace des modes (k-space)

Calcul(s)

Étape 1 : Nombre de modes dans une coquille sphérique de l'espace k

Le volume d'une coquille sphérique de rayon k et d'épaisseur dk est \(4\pi k^2 dk\). Comme nous ne considérons que l'octant positif (\(k_x, k_y, k_z > 0\)), on divise par 8. Le volume d'une cellule élémentaire dans l'espace k est \((\pi/L)^3\). Le nombre de modes est donc le rapport de ces volumes.

\begin{aligned} dN_{\text{modes}} &= \frac{\text{Volume de l'octant de la coquille}}{\text{Volume d'une cellule}} \\ &= \frac{\frac{1}{8} \times 4\pi k^2 dk}{(\pi/L)^3} \\ &= \frac{\frac{1}{2}\pi k^2 dk}{\pi^3/L^3} \\ &= \frac{L^3}{2\pi^2} k^2 dk \quad (\text{sachant que } V = L^3) \\ &= \frac{V}{2\pi^2} k^2 dk \end{aligned}

Étape 2 : Changement de variable vers la fréquence \(\nu\)

Nous utilisons la relation de dispersion \(k = 2\pi\nu/c\). Il faut aussi différencier cette relation pour trouver la relation entre \(dk\) et \(d\nu\).

Différentielle

dk = \frac{2\pi}{c}d\nu

Substitution et ajout du facteur de polarisation

On substitue \(k\) et \(dk\) dans l'expression de \(dN_{\text{modes}}\) et on multiplie par 2 pour tenir compte des deux états de polarisation possibles pour chaque photon.

\begin{aligned} g(\nu)d\nu &= 2 \times dN_{\text{modes}} \\ &= 2 \times \frac{V}{2\pi^2} \left(\frac{2\pi\nu}{c}\right)^2 \left(\frac{2\pi}{c}d\nu\right) \\ &= 2 \times \frac{V}{2\pi^2} \times \frac{4\pi^2\nu^2}{c^2} \times \frac{2\pi}{c}d\nu \\ &= V \times \frac{2 \times 4\pi^2 \times 2\pi}{2\pi^2 \times c^3} \nu^2 d\nu \\ &= \frac{8\pi V}{c^3}\nu^2 d\nu \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Allure de la densité d'états

Réflexions

Ce résultat montre que le nombre de "places" disponibles pour les photons augmente très rapidement avec leur énergie (fréquence). C'est cette croissance en \(\nu^2\) qui, combinée à une distribution d'énergie classique (\(E=k_B T\)), mène à la catastrophe ultraviolette car elle prédit une énergie infinie.

Points de vigilance

Ne pas oublier le facteur 1/8 pour l'octant de l'espace des modes où \(n_i > 0\). Ne pas oublier le facteur 2 pour les deux polarisations du photon. Une erreur courante est de travailler avec \(\omega\) (pulsation) et d'oublier le facteur \(2\pi\) lors de la conversion vers \(\nu\) (fréquence).

Points à retenir

Le résultat clé est que la densité d'états en 3D est proportionnelle au carré de la fréquence : \( g(\nu) \propto \nu^2 \). C'est un résultat fondamental pour de nombreux systèmes, pas seulement les photons.

Le saviez-vous ?

Le même calcul de densité d'états, mais pour des particules massives (\(E=p^2/2m\)), est utilisé pour décrire le comportement des électrons dans un métal (modèle du gaz d'électrons de Fermi) et explique de nombreuses propriétés des solides.

FAQ

Résultat Final

La densité d'états par unité de volume est \( \frac{g(\nu)}{V} = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} \).

A vous de jouer

Si le monde était en 2D, la densité d'états \(g(\nu)\) serait proportionnelle à \(\nu\) élevé à quelle puissance ? (Répondez avec le nombre)

Question 2 : Dérivation de la loi de Planck

Principe

La densité d'énergie spectrale \(u(\nu, T)\) est l'énergie par unité de volume et par unité de fréquence. Pour la trouver, on multiplie l'énergie d'un photon par le nombre moyen de photons par mode (donné par la statistique de Bose-Einstein) et par le nombre de modes par unité de volume (densité d'états).

Mini-Cours

La statistique de Bose-Einstein s'applique aux bosons, des particules indiscernables qui peuvent occuper le même état quantique. Pour un gaz de photons où le nombre de particules n'est pas conservé, le potentiel chimique \(\mu\) est nul. Le nombre d'occupation moyen d'un état d'énergie \(\epsilon=h\nu\) est alors \(\langle n \rangle = (e^{h\nu/k_BT}-1)^{-1}\). Ce terme tend vers zéro à haute énergie, "domptant" la croissance de la densité d'états et résolvant la catastrophe ultraviolette.

Remarque Pédagogique

Voyez la loi de Planck comme le produit de deux tendances opposées : la disponibilité des états qui augmente avec la fréquence (\(\nu^2\)) et la probabilité d'occuper ces états qui diminue exponentiellement avec la fréquence (\(e^{-h\nu/k_BT}\)). Le pic de la courbe de Planck résulte du compromis entre ces deux effets.

Normes

La "norme" ici est le postulat fondamental de la mécanique quantique introduit par Planck : l'énergie est quantifiée en paquets \(h\nu\).

Formule(s)

Définition de la densité d'énergie spectrale

u(\nu, T) = \frac{g(\nu)}{V} \times \langle n(\nu) \rangle \times h\nu

Hypothèses

Le gaz de photons est en équilibre thermique à la température T.
Les photons sont des bosons sans interaction avec un potentiel chimique nul.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats et définitions suivants :

Densité d'états (par unité de volume)

\frac{g(\nu)}{V} = \frac{8\pi \nu^2}{c^3}

Nombre d'occupation moyen (Bose-Einstein)

\langle n(\nu) \rangle = \frac{1}{e^{h\nu/k_B T} - 1}

Énergie d'un photon

\epsilon = h\nu

Astuces

Gardez bien les trois briques conceptuelles séparées dans votre tête : énergie par particule (\(h\nu\)), nombre de particules par état (\(\langle n \rangle\)), et nombre d'états par volume (\(g(\nu)/V\)). Le produit de ces trois termes est la clé.

Schéma (Avant les calculs)

Construction de la Loi de Planck

Calcul(s)

La densité d'énergie spectrale est le produit de trois termes : la densité d'états par unité de volume, le nombre moyen de photons par état, et l'énergie de chaque photon.

Étape 1 : Assemblage des composantes

u(\nu, T) = \underbrace{\left( \frac{g(\nu)}{V} \right)}_{\text{États disponibles}} \times \underbrace{\langle n(\nu) \rangle}_{\text{Occupation par état}} \times \underbrace{(h\nu)}_{\text{Énergie par photon}}

Étape 2 : Substitution et simplification

On remplace chaque terme par son expression respective et on regroupe les termes pour obtenir la forme finale de la loi de Planck.

\begin{aligned} u(\nu, T) &= \left( \frac{8\pi \nu^2}{c^3} \right) \times \left( \frac{1}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \right) \times (h\nu) \\ &= \frac{8\pi \nu^2 \cdot h\nu}{c^3(e^{h\nu/k_B T} - 1)} \\ &= \frac{8\pi h}{c^3} \frac{\nu^3}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Spectre de Planck pour différentes températures

Réflexions

La loi de Planck a été une révolution. Elle reproduit parfaitement les données expérimentales. Aux basses fréquences (\(h\nu \ll k_BT\)), elle se réduit à la loi classique de Rayleigh-Jeans. Aux hautes fréquences (\(h\nu \gg k_BT\)), elle se réduit à l'approximation de Wien et évite la catastrophe ultraviolette.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre la densité d'énergie par unité de fréquence \(u(\nu, T)\) et celle par unité de longueur d'onde \(u(\lambda, T)\). Le passage de l'une à l'autre n'est pas trivial car \(u(\lambda, T)d\lambda = u(\nu, T)d\nu\) et \(d\nu = |-c/\lambda^2|d\lambda\).

Points à retenir

Retenez la forme de la loi de Planck et sa signification : elle est le produit de la densité d'états et de la probabilité d'occupation quantique de ces états.

Le saviez-vous ?

Le fond diffus cosmologique, un rayonnement fossile de l'Univers jeune, suit avec une précision extraordinaire un spectre de corps noir à une température de 2.725 K. C'est l'une des preuves les plus solides du modèle du Big Bang.

FAQ

Résultat Final

\[ u(\nu, T) = \frac{8\pi h}{c^3} \frac{\nu^3}{e^{h\nu/k_B T} - 1} \]

A vous de jouer

Dans la limite des basses fréquences (\(h\nu \ll k_BT\)), on peut approximer \(e^x \approx 1+x\). À quoi se réduit la loi de Planck ? (C'est la loi de Rayleigh-Jeans). Trouvez la puissance de \(\nu\).

Question 3 : Loi de Stefan-Boltzmann

Principe

Pour trouver la densité d'énergie totale \(u(T)\) contenue dans le rayonnement, il faut sommer les contributions de toutes les fréquences. Comme la fréquence est une variable continue, cette somme devient une intégrale de la densité d'énergie spectrale \(u(\nu, T)\) sur l'intervalle \([0, \infty)\).

Mini-Cours

L'intégration d'une fonction sur tout son domaine de définition permet d'obtenir une grandeur totale. Ici, l'intégrale de la densité spectrale d'énergie nous donne l'énergie totale par unité de volume. Cette technique est universelle en physique, par exemple pour calculer la masse totale d'un objet à partir de sa densité de masse.

Remarque Pédagogique

Le calcul de cette intégrale peut paraître intimidant. La clé est de toujours chercher à la ramener à une forme adimensionnelle standard via un changement de variable. Ici, poser \(x = h\nu/k_BT\) fait apparaître une intégrale célèbre dont la valeur est connue.

Normes

Pas de norme applicable. C'est une dérivation mathématique à partir de principes premiers.

Formule(s)

Définition de l'énergie totale

u(T) = \int_0^\infty u(\nu, T) d\nu

Valeur de l'intégrale de Bose-Einstein

\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^4}{15}

Hypothèses

On suppose que la loi de Planck est valide sur tout le spectre des fréquences.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats suivants :

Loi de Planck

u(\nu, T) = \frac{8\pi h}{c^3} \frac{\nu^3}{e^{h\nu/k_B T} - 1}

Valeur de l'intégrale de Bose-Einstein

\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^4}{15}

Astuces

Lors du changement de variable, sortez de l'intégrale tous les termes qui ne dépendent pas de la variable d'intégration. Vous verrez alors clairement apparaître la dépendance en température \(T^4\) avant même de connaître la valeur numérique de l'intégrale.

Schéma (Avant les calculs)

Aire sous la courbe de Planck

Calcul(s)

Étape 1 : Poser l'intégrale

On intègre la densité d'énergie spectrale \(u(\nu, T)\) sur toutes les fréquences de 0 à l'infini.

u(T) = \int_0^\infty u(\nu, T) d\nu = \int_0^\infty \frac{8\pi h}{c^3} \frac{\nu^3}{e^{h\nu/k_B T} - 1} d\nu

Étape 2 : Changement de variable

Pour rendre l'intégrale plus simple, on utilise la variable adimensionnelle \( x = h\nu/k_B T \). Cela nous oblige à exprimer \(\nu\) et \(d\nu\) en fonction de \(x\) et \(dx\).

Relations de substitution

x = \frac{h\nu}{k_B T} \quad \Rightarrow \quad \nu = \frac{k_B T}{h}x \quad \Rightarrow \quad d\nu = \frac{k_B T}{h}dx

Étape 3 : Substitution dans l'intégrale

On remplace \(\nu\), \(d\nu\) et \(h\nu/k_B T\) dans l'intégrale initiale. Notez que les bornes d'intégration (0 et \(\infty\)) ne changent pas.

u(T) = \int_0^\infty \frac{8\pi h}{c^3} \frac{\left(\frac{k_B T}{h}x\right)^3}{e^x - 1} \left(\frac{k_B T}{h}dx\right)

Étape 4 : Isoler les constantes et l'intégrale

On regroupe tous les termes qui ne dépendent pas de \(x\) en dehors de l'intégrale.

\begin{aligned} u(T) &= \frac{8\pi h}{c^3} \int_0^\infty \frac{\frac{(k_B T)^3}{h^3}x^3}{e^x - 1} \frac{k_B T}{h}dx \\ &= \frac{8\pi h}{c^3} \cdot \frac{(k_B T)^4}{h^4} \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx \\ &= \frac{8\pi (k_B T)^4}{c^3 h^3} \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx \end{aligned}

Étape 5 : Résolution de l'intégrale et résultat final

On utilise la valeur connue de l'intégrale, \(\pi^4/15\), pour obtenir le résultat final.

\begin{aligned} u(T) &= \frac{8\pi k_B^4 T^4}{c^3 h^3} \times \left( \frac{\pi^4}{15} \right) \\ &= \left( \frac{8\pi^5 k_B^4}{15 c^3 h^3} \right) T^4 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Dépendance de l'énergie en T⁴

Réflexions

La loi de Stefan-Boltzmann (\(u \propto T^4\)) est extrêmement importante. Elle nous dit que l'énergie contenue dans un rayonnement thermique (et donc la puissance rayonnée) augmente très fortement avec la température. C'est pourquoi un objet chauffé "à blanc" rayonne beaucoup plus d'énergie qu'un objet tiède.

Points de vigilance

Faites attention à toutes les constantes (\(h, c, k_B, \pi\)) et à leurs puissances lors de la dérivation. Une petite erreur sur un exposant changera complètement le résultat final.

Points à retenir

L'énergie totale d'un rayonnement de corps noir est proportionnelle à la quatrième puissance de sa température absolue. C'est la loi de Stefan-Boltzmann.

Le saviez-vous ?

La loi de Stefan-Boltzmann permet d'estimer la température de surface des étoiles. En mesurant la puissance totale reçue d'une étoile et en connaissant sa distance et son rayon, on peut en déduire sa température. C'est ainsi que l'on sait que la surface du Soleil est à environ 5800 K.

FAQ

Résultat Final

\[ u(T) = a T^4 \quad \text{avec } a = \frac{8\pi^5 k_B^4}{15 c^3 h^3} \]

A vous de jouer

Si une étoile a une température de surface double de celle du Soleil, combien de fois plus d'énergie par unité de surface rayonne-t-elle ?

Question 4 : Pression de radiation

Principe

La pression exercée par un gaz sur une paroi est liée au transfert de quantité de mouvement des particules lors de leurs collisions avec cette paroi. Pour les photons, qui sont ultra-relativistes, la relation entre la pression et la densité d'énergie est une propriété fondamentale.

Mini-Cours

Pour un gaz de particules, la pression \(P\) et la densité d'énergie cinétique \(u_{\text{cin}}\) sont liées. Pour des particules non-relativistes (\(E \propto p^2\)), on a \(P = \frac{2}{3}u_{\text{cin}}\). Pour des particules ultra-relativistes comme les photons (\(E=pc\)), la relation change et devient \(P = \frac{1}{3}u\). C'est une conséquence directe de leur relation de dispersion.

Remarque Pédagogique

Il n'est pas toujours nécessaire de faire un calcul complexe à partir des premiers principes. Parfois, utiliser une relation générale connue (comme \(P=u/3\) pour un gaz relativiste) est la méthode la plus efficace et la plus élégante.

Normes

Les "normes" sont ici les principes de la thermodynamique et de la mécanique statistique reliant les grandeurs macroscopiques (P, U, V, T).

Formule(s)

Relation Pression-Énergie (Gaz relativiste)

P = \frac{1}{3}u(T)

Hypothèses

Le gaz de photons est isotrope (il n'a pas de direction privilégiée).

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat suivant :

Densité d'énergie totale (Loi de Stefan-Boltzmann)

u(T) = a T^4 = \left( \frac{8\pi^5 k_B^4}{15 c^3 h^3} \right) T^4

Astuces

Retenez simplement le facteur 1/3. C'est un résultat très général pour tout gaz de particules se déplaçant à la vitesse de la lumière (photons, neutrinos de haute énergie, etc.).

Schéma (Avant les calculs)

Photons frappant une paroi

Calcul(s)

La pression \(P\) est directement proportionnelle à la densité d'énergie \(u(T)\) par le facteur 1/3, qui est caractéristique d'un gaz isotrope de particules ultra-relativistes.

Application de la relation Pression-Énergie

On prend le résultat de la question précédente pour \(u(T)\) et on le divise simplement par 3.

P = \frac{1}{3} u(T)

En substituant l'expression de \(u(T) = aT^4\), on obtient :

P = \frac{1}{3} a T^4 = \left( \frac{8\pi^5 k_B^4}{45 c^3 h^3} \right) T^4

Schéma (Après les calculs)

Pression de radiation sur les parois

Réflexions

Bien que faible dans les conditions terrestres, la pression de radiation devient une force dominante à l'intérieur des étoiles massives, où elle contribue de manière significative à s'opposer à l'effondrement gravitationnel. Elle est aussi le principe derrière les "voiles solaires" proposées pour la propulsion spatiale.

Points de vigilance

Ne confondez pas la relation pour un gaz relativiste (\(P=u/3\)) avec celle pour un gaz parfait non-relativiste (\(P = 2u/3\)). Le facteur numérique est différent et physiquement significatif.

Points à retenir

La pression d'un gaz de photons est égale à un tiers de sa densité d'énergie.

Le saviez-vous ?

Les queues des comètes sont doubles. La queue de poussière, plus lourde, suit l'orbite de la comète. Mais la queue d'ions, plus légère, est toujours dirigée à l'opposé du Soleil, poussée non pas par le vent solaire (flux de particules) mais principalement par la pression de radiation de la lumière solaire !

FAQ

Résultat Final

\[ P = \frac{u(T)}{3} = \frac{aT^4}{3} \]

A vous de jouer

La température au centre du Soleil est d'environ 15 millions de K. La pression de radiation y est considérable. Sachant \(a \approx 7.56 \times 10^{-16} \text{ J}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{K}^{-4}\), calculez la pression de radiation \(P\) en Pascal (Pa).

Outil Interactif : Spectre du Corps Noir

Utilisez le curseur pour faire varier la température du corps noir. Le graphique montre la distribution spectrale de l'énergie rayonnée en fonction de la longueur d'onde (loi de Planck). Observez comment le pic de la courbe se déplace (loi de Wien) et comment l'aire totale sous la courbe augmente (loi de Stefan-Boltzmann).

Paramètres d'Entrée

Température (K) 5800 K

Résultats Clés

Pic d'émission λ_max (nm) -

Densité d'énergie totale \(u(T)\) (J/m³) -

Glossaire

Corps Noir: Un objet théorique idéal qui absorbe tout rayonnement électromagnétique incident, sans réflexion ni transmission. En équilibre thermique, il émet un rayonnement dont le spectre ne dépend que de sa température.
Gaz de Photons: Un modèle statistique où le rayonnement électromagnétique en équilibre thermique dans une cavité est traité comme un gaz de particules (photons). Ces particules sont des bosons sans masse à potentiel chimique nul.
Densité d'États: Fonction qui décrit le nombre d'états quantiques disponibles pour une particule par unité de volume et par unité d'intervalle d'énergie (ou de fréquence).
Distribution de Bose-Einstein: Loi de la physique statistique qui décrit la probabilité de trouver des bosons (particules de spin entier) dans un état d'énergie donné, pour un système en équilibre thermique.