ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Condensation de Bose-Einstein

Distribution de Bose-Einstein et la Condensation de Bose-Einstein

Distribution de Bose-Einstein et la Condensation de Bose-Einstein

Comprendre la Condensation de Bose-Einstein

La statistique de Bose-Einstein s'applique aux bosons, des particules qui, contrairement aux fermions, peuvent occuper le même état quantique. À très basse température, un phénomène remarquable peut se produire : si la longueur d'onde thermique de de Broglie des particules devient comparable à la distance interparticulaire, une fraction macroscopique des bosons "condense" dans l'état de plus basse énergie. Le gaz se comporte alors comme un unique "super-atome" aux propriétés quantiques macroscopiques. Cet exercice vise à calculer la température critique (\(T_c\)) à laquelle cette transition de phase se produit pour un gaz d'atomes de Rubidium-87.

Données de l'étude

On considère un piège magnétique contenant des atomes de Rubidium-87 (\(^{87}\text{Rb}\)), qui sont des bosons. On cherche à déterminer la température critique de condensation.

Schéma de la Condensation de Bose-Einstein
T > T_c Gaz d'atomes Refroidissement T < T_c Condensat + Gaz

Conditions et constantes :

  • Gaz : Rubidium-87 (\(^{87}\text{Rb}\)).
  • Nombre d'atomes dans le piège : \(N = 2 \times 10^4\) atomes
  • Volume du piège : \(V = 1 \times 10^{-15} \, \text{m}^3\)
  • Masse d'un atome de \(^{87}\text{Rb}\) : \(m = 87 \times 1.66 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)
  • Constante de Planck : \(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s}\)
  • Constante de Boltzmann : \(k_B = 1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\)
  • Fonction Zeta de Riemann : \(\zeta(3/2) \approx 2.612\)

Questions à traiter

  1. Calculer la densité de particules (\(n = N/V\)) dans le piège.
  2. Écrire la formule de la longueur d'onde thermique de de Broglie (\(\lambda_{th}\)) en fonction de la température T.
  3. Écrire la formule de la température critique de condensation de Bose-Einstein (\(T_c\)) en fonction de la densité de particules \(n\).
  4. Calculer la valeur de cette température critique \(T_c\) en Kelvin (K) et en nanokelvin (nK).
  5. Que se passe-t-il si la température du gaz est abaissée à \(T = 50 \, \text{nK}\) ?

Correction : Distribution de Bose-Einstein et la Condensation de Bose-Einstein

Question 1 : Densité de particules (\(n\))

Principe :

La densité de particules, ou densité numérique, est le nombre total de particules divisé par le volume total qu'elles occupent.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ n = \frac{N}{V} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} n &= \frac{2 \times 10^4 \, \text{atomes}}{1 \times 10^{-15} \, \text{m}^3} \\ &= 2 \times 10^{19} \, \text{atomes/m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La densité de particules est \(n = 2 \times 10^{19} \, \text{m}^{-3}\).

Question 2 : Longueur d'onde thermique de de Broglie

Principe :

La longueur d'onde thermique de de Broglie représente la longueur d'onde quantique typique d'une particule dans un gaz à une température T. Lorsque cette longueur d'onde devient comparable à la distance entre les particules, les effets quantiques deviennent dominants.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \lambda_{th} = \sqrt{\frac{h^2}{2\pi m k_B T}} = \frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}} \]
Résultat Question 2 : L'expression est \(\lambda_{th} = \frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}}\).

Question 3 : Formule de la température critique (\(T_c\))

Principe :

La température critique est la température à laquelle la longueur d'onde thermique de de Broglie devient de l'ordre de la distance interparticulaire moyenne (\(n^{-1/3}\)). La formule précise est obtenue par un calcul plus rigoureux en mécanique statistique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T_c = \frac{h^2}{2\pi m k_B} \left( \frac{n}{\zeta(3/2)} \right)^{2/3} \]
Résultat Question 3 : La formule de la température critique est \(T_c = \frac{h^2}{2\pi m k_B} \left( \frac{n}{\zeta(3/2)} \right)^{2/3}\).

Question 4 : Calcul de la température critique

Principe :

On applique la formule en utilisant les constantes et les valeurs calculées, en s'assurant de la cohérence des unités SI.

Calcul :

Masse d'un atome : \(m = 87 \times 1.66 \times 10^{-27} \approx 1.444 \times 10^{-25} \, \text{kg}\).

Calcul du terme \(n / \zeta(3/2)\) :

\[ \frac{n}{\zeta(3/2)} = \frac{2 \times 10^{19}}{2.612} \approx 7.657 \times 10^{18} \]

Calcul du pré-facteur constant :

\[ \begin{aligned} \frac{h^2}{2\pi m k_B} &= \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{2\pi \cdot (1.444 \times 10^{-25}) \cdot (1.38 \times 10^{-23})} \\ &= \frac{4.39 \times 10^{-67}}{1.253 \times 10^{-46}} \approx 3.503 \times 10^{-21} \end{aligned} \]

Calcul final de \(T_c\) :

\[ \begin{aligned} T_c &= (3.503 \times 10^{-21}) \cdot (7.657 \times 10^{18})^{2/3} \\ &= (3.503 \times 10^{-21}) \cdot (3.864 \times 10^{12}) \\ &\approx 1.35 \times 10^{-8} \, \text{K} \end{aligned} \]

Conversion en nanokelvin :

\[ T_c = 1.35 \times 10^{-8} \, \text{K} = 13.5 \, \text{nK} \]
Résultat Question 4 : La température critique de condensation est d'environ \(13.5 \, \text{nK}\).

Question 5 : État du système à 50 nK

Principe :

On compare simplement la température du système à la température critique calculée.

Analyse :

La température du système est \(T = 50 \, \text{nK}\).

La température critique est \(T_c \approx 13.5 \, \text{nK}\).

\[ T > T_c \]

Puisque la température est supérieure à la température critique, les effets quantiques ne sont pas encore dominants. Le gaz se comporte encore de manière quasi-classique. Aucune fraction macroscopique des atomes ne s'est accumulée dans l'état fondamental.

Résultat Question 5 : À 50 nK, le système est toujours dans la phase gazeuse normale, au-dessus de la transition de Bose-Einstein.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La condensation de Bose-Einstein est un phénomène qui concerne...

2. Pour favoriser la condensation de Bose-Einstein, il faut...

3. En dessous de la température critique \(T_c\), les particules...

Glossaire

Boson
Type de particule (comme les photons ou les atomes de ⁴He) qui a un spin entier et qui obéit à la statistique de Bose-Einstein. Plusieurs bosons peuvent occuper le même état quantique.
Statistique de Bose-Einstein
Description statistique du comportement d'un grand nombre de bosons indiscernables, qui prédit leur distribution sur les différents niveaux d'énergie.
Condensat de Bose-Einstein (CBE)
Un état de la matière formé par des bosons refroidis à des températures très proches du zéro absolu. Dans cet état, une grande fraction des bosons occupe l'état quantique de plus basse énergie, auquel point les effets quantiques deviennent apparents à l'échelle macroscopique.
Longueur d'Onde Thermique de de Broglie
Longueur d'onde moyenne associée à une particule dans un gaz à une certaine température. Elle représente l'étendue spatiale de la fonction d'onde de la particule.
Température Critique (\(T_c\))
Température en dessous de laquelle la transition de phase vers un condensat de Bose-Einstein se produit pour un gaz de bosons.
Bose-Einstein - Exercice d'Application

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