ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Étude d’un cycle de Stirling

Étude d'un Cycle de Stirling en Thermodynamique Classique

Étude d'un cycle de Stirling

Comprendre le Cycle de Stirling

Le cycle de Stirling est un cycle thermodynamique qui décrit le fonctionnement d'un moteur Stirling. Théoriquement, il est aussi efficace que le cycle de Carnot. Il se compose de quatre transformations réversibles : deux transformations isothermes (à température constante) et deux transformations isochores (à volume constant). L'élément clé d'un moteur Stirling est le régénérateur, qui stocke et restitue la chaleur pendant les phases isochores, augmentant ainsi considérablement le rendement du cycle.

Données de l'étude

On étudie un cycle de Stirling idéal utilisant \(n\) moles de gaz parfait comme fluide de travail. Le cycle opère entre une source chaude à température \(T_C\) et une source froide à température \(T_F\).

Diagramme P-V du Cycle de Stirling
Volume (V) Pression (P) Isotherme Tc Isotherme Tf 1 2 3 4

Conditions et constantes :

  • Fluide : 1 mole d'Hélium (\(n=1.0 \, \text{mol}\)), gaz parfait monoatomique.
  • Température de la source chaude : \(T_C = 600 \, \text{K}\)
  • Température de la source froide : \(T_F = 300 \, \text{K}\)
  • Volumes extrêmes : \(V_1 = V_4 = 10 \, \text{L}\) et \(V_2 = V_3 = 20 \, \text{L}\).
  • Capacité thermique molaire à volume constant : \(C_{v,m} = \frac{3}{2}R\)
  • Constante des gaz parfaits : \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le travail (\(W_{1\rightarrow2}\)) et la chaleur (\(Q_{1\rightarrow2}\)) échangés lors de l'expansion isotherme.
  2. Calculer la chaleur échangée (\(Q_{2\rightarrow3}\)) lors du refroidissement isochore.
  3. Calculer le travail (\(W_{3\rightarrow4}\)) et la chaleur (\(Q_{3\rightarrow4}\)) échangés lors de la compression isotherme.
  4. Calculer la chaleur échangée (\(Q_{4\rightarrow1}\)) lors du chauffage isochore.
  5. Calculer le travail total (\(W_{\text{cycle}}\)) et la chaleur totale absorbée à la source chaude (\(Q_{\text{chaud}}\)).
  6. Calculer le rendement (\(\eta\)) du cycle de Stirling et le comparer au rendement de Carnot.

Correction : Étude d'un cycle de Stirling

Question 1 : Expansion isotherme (1 → 2)

Principe :

Pour une transformation isotherme d'un gaz parfait, la variation d'énergie interne est nulle (\(\Delta U = 0\)). Selon le premier principe, la chaleur reçue est égale au travail fourni par le gaz (\(Q = -W\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ W_{1\rightarrow2} = -nRT_C \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \]
\[ Q_{1\rightarrow2} = -W_{1\rightarrow2} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{1\rightarrow2} &= -(1.0) \cdot (8.314) \cdot (600) \cdot \ln\left(\frac{20}{10}\right) \\ &= -4988.4 \cdot \ln(2) \\ &= -4988.4 \cdot 0.693 \\ &\approx -3457 \, \text{J} \end{aligned} \]
\[ Q_{1\rightarrow2} = -(-3457 \, \text{J}) = +3457 \, \text{J} \]
Résultat Question 1 : \(W_{1\rightarrow2} \approx -3.46 \, \text{kJ}\) et \(Q_{1\rightarrow2} \approx +3.46 \, \text{kJ}\).

Question 2 : Refroidissement isochore (2 → 3)

Principe :

Pour une transformation isochore (à volume constant), le travail des forces de pression est nul (\(W=0\)). La chaleur échangée est égale à la variation d'énergie interne, calculée avec la capacité thermique à volume constant.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_{2\rightarrow3} = \Delta U_{2\rightarrow3} = n C_{v,m} (T_F - T_C) \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_{2\rightarrow3} &= 1.0 \times \left(\frac{3}{2} \times 8.314\right) \times (300 - 600) \\ &= 12.471 \times (-300) \\ &= -3741.3 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : \(Q_{2\rightarrow3} \approx -3.74 \, \text{kJ}\). C'est la chaleur cédée au régénérateur.

Question 3 : Compression isotherme (3 → 4)

Principe :

Similaire à la détente isotherme, mais à la température de la source froide \(T_F\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ W_{3\rightarrow4} = -nRT_F \ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right) \]
\[ Q_{3\rightarrow4} = -W_{3\rightarrow4} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{3\rightarrow4} &= -(1.0) \cdot (8.314) \cdot (300) \cdot \ln\left(\frac{10}{20}\right) \\ &= -2494.2 \cdot \ln(0.5) \\ &= -2494.2 \cdot (-0.693) \\ &\approx +1728 \, \text{J} \end{aligned} \]
\[ Q_{3\rightarrow4} = -1728 \, \text{J} \]
Résultat Question 3 : \(W_{3\rightarrow4} \approx +1.73 \, \text{kJ}\) et \(Q_{3\rightarrow4} \approx -1.73 \, \text{kJ}\).

Question 4 : Chauffage isochore (4 → 1)

Principe :

Similaire au refroidissement isochore, mais le gaz est chauffé de \(T_F\) à \(T_C\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_{4\rightarrow1} = \Delta U_{4\rightarrow1} = n C_{v,m} (T_C - T_F) \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_{4\rightarrow1} &= 1.0 \times \left(\frac{3}{2} \times 8.314\right) \times (600 - 300) \\ &= 12.471 \times (300) \\ &= +3741.3 \, \text{J} \end{aligned} \]

Dans un cycle idéal, cette chaleur est entièrement fournie par le régénérateur (\(Q_{4\rightarrow1} = -Q_{2\rightarrow3}\)).

Résultat Question 4 : \(Q_{4\rightarrow1} \approx +3.74 \, \text{kJ}\).

Question 5 : Travail et Chaleur du cycle

Principe :

Le travail total est la somme des travaux des quatre transformations. La chaleur absorbée à la source chaude est la somme de toutes les chaleurs positives reçues par le fluide de la source chaude.

Calcul :

Travail total :

\[ \begin{aligned} W_{\text{cycle}} &= W_{1\rightarrow2} + W_{2\rightarrow3} + W_{3\rightarrow4} + W_{4\rightarrow1} \\ &= (-3457) + 0 + (1728) + 0 \\ &= -1729 \, \text{J} \end{aligned} \]

Chaleur absorbée à la source chaude :

\[ Q_{\text{chaud}} = Q_{1\rightarrow2} = +3457 \, \text{J} \]

Dans un cycle idéal, la chaleur \(Q_{4\rightarrow1}\) est fournie par le régénérateur, pas par la source chaude externe.

Résultat Question 5 : \(W_{\text{cycle}} \approx -1.73 \, \text{kJ}\) et \(Q_{\text{chaud}} \approx 3.46 \, \text{kJ}\).

Question 6 : Rendement du cycle

Principe :

Le rendement d'un moteur thermique est le rapport entre le travail utile fourni (valeur absolue du travail du cycle) et la chaleur absorbée à la source chaude. On le compare ensuite au rendement de Carnot, qui est le rendement maximal théorique pour un moteur fonctionnant entre deux sources de chaleur données.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \eta = \frac{|W_{\text{cycle}}|}{Q_{\text{chaud}}} \]
\[ \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_F}{T_C} \]
Calcul :
\[ \eta = \frac{|-1729|}{3457} \approx 0.50 \]
\[ \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{300}{600} = 1 - 0.5 = 0.50 \]
Résultat Question 6 : Le rendement du cycle de Stirling idéal est de 50%, ce qui est égal au rendement du cycle de Carnot fonctionnant entre les mêmes températures.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Un cycle de Stirling est composé de :

2. Le travail total lors d'une transformation isochore est...

3. Le rôle du régénérateur dans un cycle de Stirling idéal est de...

Glossaire

Cycle de Stirling
Cycle thermodynamique réversible composé de deux transformations isothermes et deux isochores, capable d'atteindre le rendement de Carnot.
Transformation Isotherme
Processus qui se déroule à température constante (\(\Delta T = 0\)). Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne varie pas (\(\Delta U = 0\)).
Transformation Isochore
Processus qui se déroule à volume constant (\(\Delta V = 0\)). Aucun travail des forces de pression n'est échangé (\(W = 0\)).
Régénérateur
Composant d'un moteur Stirling qui agit comme une éponge thermique. Il absorbe la chaleur du fluide de travail lors d'une phase du cycle pour la lui restituer lors d'une autre phase, améliorant ainsi l'efficacité globale.
Rendement (\(\eta\))
Pour un moteur thermique, c'est le rapport entre le travail mécanique utile produit et l'énergie thermique fournie par la source chaude. C'est une mesure de l'efficacité de la conversion de chaleur en travail.
Cycle de Stirling - Exercice d'Application

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