Production d’entropie dans une résistance électrique
Contexte : Thermodynamique des Processus Irréversibles (TPI) et effet Joule.
1. Le Cadre Théorique : Au-delà de l'Équilibre
La thermodynamique classique se concentre souvent sur des états d'équilibre statiques (un gaz dans une bouteille fermée). Ici, nous entrons dans le domaine fascinant de la Thermodynamique des Processus Irréversibles (TPI). Nous étudions un système dynamique traversé par des flux d'énergie, mais qui se maintient dans un état stationnaire. C'est ce qu'on appelle un Système Ouvert Hors ÉquilibreSystème traversé par des flux de matière ou d'énergie, maintenant ses variables constantes dans le temps.. C'est le modèle de base pour comprendre le vivant, les moteurs et l'électronique.
2. Le Phénomène Physique : L'Effet Joule Microscopique
L'exercice porte sur la dissipation d'énergie dans un conducteur ohmique. Au niveau microscopique, le courant électrique est un mouvement d'ensemble ordonné des électrons (tous vont dans la même direction). Lorsqu'ils traversent le matériau, ces électrons subissent des collisions inélastiques avec les ions du réseau cristallin.
À chaque choc, l'énergie cinétique dirigée de l'électron est transférée à l'atome, qui se met à vibrer plus fort. Cette vibration aléatoire correspond, à notre échelle, à de la chaleur. L'effet Joule est donc le mécanisme par lequel de l'énergie de "haute qualité" (travail électrique ordonné) est dégradée en énergie de "basse qualité" (agitation thermique désordonnée).
3. L'Enjeu : Quantifier l'Irréversibilité
Nous savons intuitivement que ce processus est irréversible : chauffer une résistance ne génère pas spontanément du courant électrique inverse. Mais comment le prouver rigoureusement ? C'est le rôle de l'Entropie.
L'objectif de cet exercice est de calculer précisément le taux de Production d'EntropieGrandeur notée sigma ou Si, mesurant la création nette de désordre par unité de temps. (\(\dot{S}_{\text{i}}\)) au sein de la résistance. Si nous trouvons une valeur positive, nous aurons la preuve mathématique que le temps s'écoule dans un sens unique pour ce système, conformément au Second Principe de la thermodynamique.
🎓 Note Pédagogique Fondamentale : Les Enjeux de cet Exercice
Cet exercice est bien plus qu'une simple application de formules électriques. Il constitue le "cas d'école" parfait pour comprendre la transition entre la thermodynamique classique (équilibrée) et la Thermodynamique des Processus Irréversibles (TPI). Voici les trois piliers conceptuels que nous allons explorer en profondeur :
-
1. La Rupture de Symétrie (Irréversibilité) :
En mécanique pure, les mouvements sont souvent réversibles (un pendule sans frottement oscille indéfiniment). Ici, nous touchons au cœur de la thermodynamique : l'asymétrie fondamentale de la nature. Nous allons transformer une énergie "noble" et organisée (le travail électrique, où les électrons bougent de concert) en une énergie "dégradée" et désordonnée (la chaleur, agitation thermique aléatoire). Le calcul de la production d'entropie \(\dot{S}_i\) est l'outil mathématique qui nous permet de quantifier cette perte de qualité de l'énergie. -
2. La Distinction Cruciale entre Conservation et Évolution :
L'étudiant confond souvent "perte d'énergie" et "dissipation". Le Premier Principe nous rappellera que l'énergie ne disparaît jamais (elle se conserve quantitativement : 1 Joule entrant = 1 Joule sortant). Le Second Principe nous montrera que, bien que conservée, l'énergie "vieillit" ou se dégrade (l'entropie, elle, ne se conserve pas, elle augmente). Cet exercice permet de visualiser simultanément ces deux comptabilités contradictoires. -
3. La Modélisation du "Régime Permanent" (Stationnaire) :
Dans l'industrie et la nature, les systèmes (moteurs, cellules vivantes, composants électroniques) ne sont pas à l'équilibre : ils sont traversés par des flux. Comprendre le régime permanent est essentiel : cela signifie que le système n'accumule rien (\(\frac{dX}{dt}=0\)). Pour survivre (ne pas exploser thermiquement), le système est obligé d'évacuer vers l'extérieur toute l'entropie qu'il produit intérieurement. C'est le concept de "flux sortant compensatoire" que nous allons mettre en équation.
Objectifs Pédagogiques Détaillés
À la fin de cet exercice, vous serez capable de maîtriser les compétences clés suivantes en Thermodynamique des Processus Irréversibles :
-
1. Appliquer rigoureusement le Premier Principe (Conservation)
Vous apprendrez à définir proprement les frontières d'un système ouvert et à identifier la nature des flux d'énergie qui le traversent (distinction fondamentale entre Travail et Chaleur). Vous comprendrez l'implication cruciale de l'hypothèse de régime permanent : l'énergie ne s'accumule pas (\(dU/dt = 0\)), ce qui impose un équilibre strict et immédiat entre la puissance reçue et la puissance dissipée.
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2. Construire un Bilan d'Entropie (Non-Conservation)
Contrairement à l'énergie, l'entropie ne se conserve pas. L'enjeu est de savoir poser l'équation de bilan général \(\frac{dS}{dt} = \dot{S}_{\text{e}} + \dot{S}_{\text{i}}\) et d'identifier physiquement chaque terme : le flux d'échange \(\dot{S}_{\text{e}}\) (vecteur de transport lié à la chaleur) et le terme de production \(\dot{S}_{\text{i}}\) (source interne liée à l'irréversibilité).
-
3. Quantifier et Interpréter l'Irréversibilité
Le but ultime est de calculer une valeur numérique précise pour la production d'entropie interne \(\dot{S}_{\text{i}}\). Au-delà du calcul, vous devrez interpréter son signe positif comme la preuve mathématique de l'irréversibilité du phénomène (la "flèche du temps") et vérifier la cohérence de vos résultats avec l'inégalité fondamentale de Clausius-Duhem.
Données de l'étude et Analyse du Système
Mise en situation détaillée
Considérons un dipôle passif, spécifiquement un conducteur ohmique (résistance) de forme cylindrique. Ce composant est inséré dans un circuit électrique et est soumis à une différence de potentiel constante. En conséquence, il est traversé par un courant électrique continu d'intensité \(I\).
Au niveau microscopique, le passage du courant correspond à un flux ordonné d'électrons. Ces porteurs de charge entrent en collision avec les ions du réseau cristallin du matériau conducteur. Ces chocs inélastiques transfèrent de l'énergie cinétique aux atomes, augmentant leur agitation thermique : c'est l'origine microscopique de l'effet Joule.
Le système est plongé dans un environnement fluide (air ou bain d'huile) qui agit comme un thermostat idéal maintenu à une température \(T_0\). Après une phase transitoire de mise en chauffe, le système atteint un état stationnaire (ou régime permanent) : sa température \(T\) se stabilise et ne varie plus dans le temps. On supposera pour simplifier que la température du système est uniforme et quasi-égale à celle du thermostat (\(T \approx T_0\)).
Paramètres de l'étude
Voici les caractéristiques physiques et les contraintes du problème :
| Grandeur Physique | Symbole | Valeur Nominale | Unité SI | Description |
|---|---|---|---|---|
| Résistance Électrique | \(R\) | 10 | \(\Omega\) (Ohms) | Capacité du matériau à s'opposer au passage du courant, convertissant l'énergie électrique en chaleur. |
| Intensité du Courant | \(I\) | 2 | \(\text{A}\) (Ampères) | Débit de charges électriques traversant la section du conducteur par unité de temps. |
| Température du Thermostat | \(T_0\) | 300 | \(\text{K}\) (Kelvins) | Température ambiante constante de l'environnement (approx. 27°C). Référence pour les échanges entropiques. |
| Durée de l'étude | \(\Delta t\) | 1 | \(\text{s}\) (Seconde) | L'étude se fait en taux par unité de temps (puissance, flux d'entropie). |
Schéma Électrique
Système Thermodynamique
Problématique et Questions
L'objectif est d'analyser ce système sous l'angle de la Thermodynamique des Processus Irréversibles. Contrairement à la mécanique classique où l'énergie se conserve sans dégradation, nous allons voir ici comment la "qualité" de l'énergie change.
Nous chercherons à répondre aux questions successives suivantes :
- Analyse Énergétique (1er Principe) : Calculer la puissance électrique reçue par le système et déterminer le flux de chaleur évacué pour maintenir l'équilibre thermique.
- Bilan Entropique (2nd Principe) : Poser l'équation générale de conservation de l'entropie et la simplifier pour le cas spécifique du régime permanent.
- Flux d'Entropie Échangé : Quantifier l'entropie qui traverse la frontière du système via le transfert thermique.
- Production d'Entropie Interne : Déduire la quantité d'entropie créée par seconde au cœur du matériau à cause de l'irréversibilité du processus.
- Validation : Vérifier si les résultats obtenus sont cohérents avec l'inégalité de Clausius-Duhem (\(\sigma \geq 0\)).
Les bases théoriques fondamentales
Pour résoudre cet exercice, il est crucial de maîtriser les principes de la thermodynamique appliqués aux systèmes ouverts en régime permanent. Contrairement à la thermodynamique classique des états d'équilibre (systèmes fermés), nous traitons ici des systèmes traversés par des flux d'énergie.
1. Le Premier Principe (Conservation de l'Énergie)
Le Premier Principe postule que l'énergie ne peut être ni créée ni détruite, seulement transformée ou transférée. Pour un système ouvert (qui échange de l'énergie avec l'extérieur), la variation de son énergie interne \(U\) par unité de temps est égale à la somme des puissances reçues.
L'hypothèse du Régime Permanent : C'est la clé de voûte de l'exercice. Elle signifie que l'état du système ne change pas dans le temps. Par conséquent, l'énergie interne \(U\) est constante, et sa dérivée temporelle est nulle (\(dU/dt = 0\)). Le système n'accumule pas d'énergie : tout ce qui rentre doit sortir.
Bilan de Puissance (Forme Locale Intégrée)
Convention de Signe (IUPAC) :
- Les grandeurs reçues par le système sont comptées positives (+).
- Les grandeurs cédées par le système sont comptées négatives (-).
2. Le Second Principe (Bilan d'Entropie)
Contrairement à l'énergie, l'entropie \(S\) n'est pas une grandeur conservative. Elle peut être créée spontanément à l'intérieur du système. Le bilan d'entropie fait donc intervenir deux types de termes : un terme de flux (échange à la frontière) et un terme de source (création interne).
Équation de Bilan Entropique
Détail des termes :
- Flux Échangé (\(\dot{S}_{\text{e}}\)) : L'entropie est transportée par la chaleur. Si le système échange une chaleur \(\dot{Q}\) à travers une frontière à la température \(T\), alors \(\dot{S}_{\text{e}} = \frac{\dot{Q}}{T}\). Notez que le travail (électrique ou mécanique) est un transfert d'énergie "noble" qui ne transporte pas d'entropie.
-
Production Interne (\(\dot{S}_{\text{i}}\)) : C'est la mesure de l'irréversibilité. Le Second Principe impose l'inégalité de Clausius-Duhem :
\(\dot{S}_{\text{i}} \geq 0\) Si \(\dot{S}_{\text{i}} > 0\), la transformation est réelle (irréversible). Si \(\dot{S}_{\text{i}} = 0\), elle est idéale (réversible). Elle ne peut jamais être négative.
3. La Loi de Joule (Phénoménologie)
La loi de Joule décrit la conversion dissipative de l'énergie électrique en énergie thermique. C'est un phénomène purement irréversible.
Aspect Microscopique : Les électrons, accélérés par le champ électrique (énergie cinétique ordonnée), entrent en collision avec les ions du réseau cristallin du conducteur. Lors de ces chocs, ils cèdent leur énergie cinétique aux ions, augmentant l'agitation thermique du réseau (chaleur). L'ordre (courant) devient désordre (chaleur).
Puissance Dissipée
Cette puissance \(P_{\text{J}}\) correspond au terme \(P_{\text{elec}}\) reçu par le système dans le Premier Principe.
Correction : Production d’entropie dans une résistance électrique
Question 1 : Calcul de la puissance dissipée
Principe Physique Fondamental
La résistance agit comme un transducteur irréversible. Elle reçoit de l'énergie sous une forme très organisée (le travail électrique, lié au déplacement cohérent des électrons) et la convertit instantanément et intégralement en une forme désorganisée (l'énergie thermique ou chaleur, liée à l'agitation aléatoire des atomes). Ce phénomène est connu sous le nom d'Effet Joule.
Du point de vue du système, c'est une puissance reçue. Le système "consomme" du travail électrique fourni par le générateur extérieur.
Mini-Cours : Convention Récepteur
Convention de signe : En thermodynamique et en électricité (convention récepteur), une puissance reçue par le système est comptée positivement (\(P > 0\)).
Pour une résistance, la tension \(U\) est opposée au sens du courant \(I\), ce qui garantit que le produit \(P = U \cdot I\) est toujours positif. Le composant absorbe de l'énergie du circuit, il ne peut pas en fournir.
Remarque Pédagogique
Attention à la terminologie : On parle souvent de "perte" par effet Joule. C'est une perte pour l'électricien (qui veut transporter du courant) mais c'est un "gain" d'énergie thermique pour le système résistance. En régime permanent, ce gain ne peut être stocké (sinon la température monterait à l'infini), il est donc immédiatement évacué vers l'extérieur.
Normes et Unités
Le calcul doit être effectué dans le Système International (SI).
Puissance (\(P\)) : Watt [W]. Un Watt équivaut à un Joule par seconde (\(1 \text{ W} = 1 \text{ J/s}\)).
Résistance (\(R\)) : Ohm [\(\Omega\)].
Intensité (\(I\)) : Ampère [\(\text{A}\)].
Formule(s)
Dérivation de la formule
La puissance électrique instantanée est définie par \(P = U \cdot I\). En utilisant la loi d'Ohm \(U = R \cdot I\), on peut exprimer la puissance uniquement en fonction des données \(R\) et \(I\) :
Puissance Joule
Hypothèses de Modélisation
Pour que ce calcul soit valide et simple, nous admettons les points suivants :
- Régime stationnaire continu (DC) : Le courant \(I\) ne varie pas dans le temps (pas d'effets inductifs ou capacitifs).
- Linéarité : La résistance \(R\) est considérée comme une constante pure. En réalité, \(R\) dépend de la température (\(R(T) = R_0(1 + \alpha \Delta T)\)), mais nous négligeons cette variation pour cet exercice (hypothèse de faible échauffement ou matériau idéal).
Données
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance | \(R\) | 10 | \(\Omega\) (Ohm) |
| Courant | \(I\) | 2 | \(\text{A}\) (Ampère) |
Astuces Méthodologiques
Vérification dimensionnelle : Toujours vérifier que \([\Omega] \times [A]^2 = [W]\).
Rappel : \(U = R \cdot I \Rightarrow [V] = [\Omega] \cdot [A]\).
\(P = U \cdot I \Rightarrow [W] = [V] \cdot [A]\).
Donc \([\Omega] \cdot [A] \cdot [A] = [V] \cdot [A] = [W]\). C'est cohérent !
Schémas Situation Initiale (Avant Calcul)
Vue en Plan - Situation Initiale
Vue en Coupe - Situation Initiale
Calcul(s) Détaillés
Calcul Principal
Étape 1 : Substitution des valeurs
Nous remplaçons les variables littérales par leurs valeurs numériques. Il est crucial de vérifier à cette étape que toutes les valeurs sont bien dans les unités de base du système international (ce qui est le cas ici).
Étape 2 : Opération Prioritaire
Selon les règles de priorité des opérations, nous calculons d'abord le carré de l'intensité. Une erreur classique est d'oublier ce carré.
Étape 3 : Résultat Final
Nous effectuons la multiplication finale pour obtenir la puissance en Watts.
Résultat
Interprétation : Le système reçoit un flux continu d'énergie électrique de 40 Joules chaque seconde.
Schémas Validation (Après Calcul)
Vue en Plan - Régime Établi
Vue en Coupe - Flux Thermique
Réflexions Physiques
Ce résultat de 40 W est fondamental. Il signifie que pour maintenir ce courant, le générateur doit fournir un effort continu. Si le générateur s'arrête, le courant s'arrête instantanément : l'énergie n'est pas stockée sous forme inertielle (comme dans une bobine) mais immédiatement transformée. C'est le propre des éléments résistifs dissipatifs.
Points de vigilance
Erreur fréquente : Ne pas confondre l'Énergie (en Joules) et la Puissance (en Watts).
Ici, nous calculons un flux instantané (puissance). Si nous voulions l'énergie consommée en 1 heure, il faudrait multiplier par le temps : \(E = P \times \Delta t = 40 \times 3600 = 144 \, 000 \text{ J}\).
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser pour la suite :
- La formule de puissance pour une résistance est \(P = R I^2\).
- Cette puissance est toujours positive (reçue).
- Cette énergie reçue est destinée à être transformée en chaleur (c'est la base du chauffage électrique !).
Le saviez-vous ?
James Prescott Joule (1818-1889) a découvert cette loi expérimentalement en 1840. À l'époque, il cherchait à savoir si les moteurs électriques (tout juste inventés) pouvaient remplacer les machines à vapeur. Il a réalisé que la chaleur produite par le courant était proportionnelle au carré de l'intensité, posant ainsi les bases de la thermodynamique moderne.
FAQ
Pourquoi la résistance oppose-t-elle le passage du courant ?
Imaginez une foule (les électrons) essayant de courir dans une forêt dense (les atomes du métal). Les coureurs heurtent constamment les arbres. Ces chocs les ralentissent (résistance) et font trembler les arbres (chaleur). C'est exactement ce qui se passe à l'échelle atomique.
A vous de jouer
Si l'intensité du courant triple (\(I = 6 \text{ A}\)), que devient la puissance ? (Attention au carré !)
📝 Mémo de l'expert
En régime permanent, toute la puissance électrique calculée ici (\(P_{\text{elec}}\)) deviendra le terme source de notre bilan thermique. Retenez bien ce chiffre de 40 W, il va nous suivre tout au long de l'exercice.
Question 2 : Bilan d'Entropie du système
Principe Physique Fondamental
Le bilan d'entropie est fondamentalement différent du bilan d'énergie. L'énergie est une grandeur conservative (elle ne peut être ni créée ni détruite). L'entropie, en revanche, est une grandeur non-conservative : elle peut être créée spontanément (et c'est même ce qui se passe tout le temps dans la nature !), mais elle ne peut jamais être détruite.
Faire un bilan d'entropie revient à comptabiliser trois contributions : la variation du stock interne, les échanges avec l'extérieur (import/export) et la production interne (la source).
Mini-Cours : Le Second Principe pour un Système Ouvert
Pour tout système thermodynamique, la variation temporelle de son entropie \(S\) est régie par l'équation de bilan suivante :
Équation Générale
- \(\frac{dS}{dt}\) : Vitesse à laquelle le "stock" d'entropie du système varie.
- \(\dot{S}_{\text{e}}\) : Entropie qui traverse la frontière (liée aux échanges de matière ou de chaleur).
- \(\dot{S}_{\text{i}}\) : Entropie générée à l'intérieur du volume par les irréversibilités.
Remarque Pédagogique
Analogie de la Maison Propre : Imaginez que le système est votre maison. La poussière représente l'entropie.
1. La poussière se crée continuellement (vivre génère du désordre) : c'est \(\dot{S}_{\text{i}} > 0\).
2. Pour garder la maison propre (état stationnaire, quantité de poussière constante), vous devez balayer et jeter la poussière dehors : c'est le flux sortant \(\dot{S}_{\text{e}}\).
Si vous arrêtez d'évacuer l'entropie, la maison s'encrasse (\(S\) augmente) et finit par devenir inhabitable.
Normes et Notations
Entropie (\(S\)) : Joules par Kelvin [J/K]. C'est une grandeur extensive.
Flux et Production (\(\dot{S}\)) : Watts par Kelvin [W/K]. C'est un débit d'entropie.
Convention : \(\dot{S}_{\text{i}}\) est parfois noté \(\sigma\) ou \(\Sigma\).
Formule(s)
Équation adaptée
Nous partons de l'équation générale et appliquons les hypothèses spécifiques au problème :
Hypothèses de Modélisation
L'hypothèse clé ici est le Régime Permanent (ou Stationnaire). Cela a une conséquence mathématique immédiate et puissante :
- Les variables d'état (Température, Pression, et donc Entropie \(S\)) sont constantes dans le temps.
- La dérivée temporelle de toute grandeur d'état est nulle : \(\frac{dS}{dt} = 0\).
Données
| Grandeur | Symbole | Valeur en Régime Permanent | Unité |
|---|---|---|---|
| Variation du stock d'entropie | \(\frac{dS}{dt}\) | 0 | \(\text{W/K}\) |
Astuces Méthodologiques
Ne confondez pas "Stationnaire" et "Équilibre" !
- Un système à l'équilibre ne fait rien : pas de flux, pas de production (\(\dot{S}_{\text{e}}=0, \dot{S}_{\text{i}}=0\)).
- Un système stationnaire (notre cas) est très actif : il est traversé par des flux intenses, mais ils se compensent exactement.
Schémas Situation Initiale
Bilan Entropique Abstrait
Calcul(s) Détaillés
Simplification de l'équation
1. Nous écrivons le bilan global d'entropie. Comme le système est en régime permanent, son "contenu" en entropie ne varie pas. Nous remplaçons donc le terme de variation temporelle par zéro :
2. L'objectif est de trouver l'expression de la production d'entropie \(\dot{S}_{\text{i}}\). Nous réarrangeons l'équation pour isoler ce terme :
Relation Fondamentale
Interprétation physique : Cette équation nous dit que le système doit évacuer (terme de droite) exactement autant d'entropie qu'il en produit (terme de gauche). Le signe "moins" indique que si \(\dot{S}_{\text{i}}\) est positif (création), alors \(\dot{S}_{\text{e}}\) doit être négatif (sortie/exportation).
Schémas Validation (Après Calcul)
Mécanisme de Compensation
Réflexions Physiques
Ce résultat est contre-intuitif pour qui pense en termes de "système fermé". Dans un système fermé isolé, l'entropie ne fait qu'augmenter jusqu'à la mort thermique (équilibre). Ici, le système "survit" et maintient sa structure (son entropie basse) en "vomissant" continuellement son désordre vers l'extérieur.
Points de vigilance
Attention : L'entropie du système est constante (\(S = \text{constante}\)), mais l'entropie de l'Univers (système + extérieur) augmente car l'extérieur reçoit de l'entropie qu'il n'avait pas avant.
Points à Retenir
Dans un système ouvert en régime permanent :
- L'entropie interne ne varie pas (\(dS/dt = 0\)).
- La production d'entropie n'est pas nulle (\(\dot{S}_{\text{i}} > 0\)).
- L'équation de bilan devient une équation de conservation de flux : Flux sortant net = Production interne.
Le saviez-vous ?
Le physicien Erwin Schrödinger, dans son livre "Qu'est-ce que la vie ?", a utilisé ce même principe pour expliquer la biologie : les êtres vivants sont des systèmes ouverts qui se maintiennent loin de l'équilibre thermodynamique en exportant de l'entropie (respiration, chaleur) pour compenser celle qu'ils produisent par leur métabolisme.
FAQ
L'entropie du système augmente-t-elle ?
Non. C'est le piège classique. La production est positive (il y a création continue), mais l'accumulation est nulle (car tout est évacué). Le niveau d'entropie dans la résistance reste constant, tout comme le niveau d'eau dans une baignoire reste constant si le robinet coule (production) mais que la bonde est ouverte (évacuation).
A vous de jouer
Si le système était parfaitement isolé thermiquement (\(\dot{S}_{\text{e}} = 0\)) mais toujours parcouru par un courant, comment évoluerait son entropie \(S\) ?
📝 Mémo de l'expert
Retenez l'image de la "baignoire qui fuit" : le robinet coule (création d'entropie), la bonde est ouverte (flux sortant), et le niveau d'eau (stock d'entropie) reste stable. C'est ça, le régime permanent.
Question 3 : Flux d'Entropie Échangé (\(\dot{S}_{\text{e}}\))
Principe Physique Fondamental
L'entropie ne peut entrer ou sortir d'un système fermé (sans échange de matière) que d'une seule manière : accompagnée de chaleur. La chaleur est, par nature, un transfert d'énergie désordonné (agitation thermique). Lorsqu'un système reçoit de la chaleur, il reçoit du "désordre", donc son entropie augmente via ce flux. Inversement, lorsqu'il perd de la chaleur, il évacue du désordre.
Point clé : Le travail (électrique, mécanique) est un transfert d'énergie ordonnée. Il ne transporte aucune entropie. C'est pourquoi le terme \(W_{\text{elec}}\) n'apparaît pas dans ce calcul.
Mini-Cours : Définition du Flux Entropique
Le flux d'entropie \(\dot{S}_{\text{e}}\) à travers une frontière est défini comme le rapport entre la puissance thermique échangée \(\dot{Q}\) et la température \(T\) à laquelle cet échange a lieu :
- Si \(\dot{Q} > 0\) (chaleur reçue) \(\Rightarrow \dot{S}_{\text{e}} > 0\) (importation d'entropie).
- Si \(\dot{Q} < 0\) (chaleur cédée) \(\Rightarrow \dot{S}_{\text{e}} < 0\) (exportation d'entropie).
Remarque Pédagogique
Pourquoi diviser par la température ?
Imaginez une bibliothèque silencieuse (basse température, peu d'agitation) et un marché bruyant (haute température, forte agitation). Ajouter un même "bruit" (chaleur \(\delta Q\)) dans la bibliothèque crée beaucoup plus de perturbation relative que dans le marché. De même, un apport de chaleur augmente davantage l'entropie (le désordre) s'il se fait à basse température. C'est le sens physique du facteur \(1/T\).
Normes et Conventions
Convention Thermo : Tout ce qui rentre dans le système est positif. Tout ce qui sort est négatif.
Unités : Le flux d'entropie s'exprime en Watts par Kelvin [\(\text{W/K}\)].
Formule(s)
Formules utilisées
Flux d'entropie thermique
Hypothèses
Pour que cette formule simple soit valide :
- La température de la surface d'échange doit être uniforme et constante (\(T = T_0\)).
- Il n'y a pas d'échange de matière (système fermé matériellement, bien qu'ouvert énergétiquement).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Température Thermostat | \(T_0\) | 300 | \(\text{K}\) (Kelvin) |
| Puissance Dissipée | \(P\) | 40 | \(\text{W}\) (Watt) |
Astuces Méthodologiques
Attention aux unités de température !
Il est impératif d'utiliser la température absolue en Kelvins. Si l'énoncé donne 27°C, convertissez immédiatement : \(27 + 273.15 = 300.15 \, \text{K}\). Jamais de degrés Celsius dans un dénominateur thermodynamique !
Schémas Échange Thermique
Transfert de Chaleur et d'Entropie
Calcul(s) Détaillés
Étape 1 : Détermination de la chaleur échangée \(\dot{Q}\)
1. Nous appliquons le Premier Principe de la thermodynamique pour un système en régime permanent. L'énergie interne \(U\) est constante, donc sa variation est nulle :
2. Le bilan de puissance s'écrit alors : la somme de la puissance électrique reçue et de la puissance thermique échangée est nulle.
3. Nous isolons le terme inconnu \(\dot{Q}\) et remplaçons \(P_{\text{elec}}\) par la valeur calculée à la Question 1 (40 W) :
Interprétation du signe : Le signe négatif indique physiquement que le système perd de l'énergie thermique. Il chauffe son environnement.
Étape 2 : Calcul du flux entropique \(\dot{S}_{\text{e}}\)
1. Nous appliquons la définition du flux d'entropie thermique en divisant la puissance thermique par la température de la frontière (300 K) :
Application numérique
Le flux est négatif : cela signifie que le système exporte de l'entropie vers l'extérieur. Il "évacue son désordre".
Schémas Validation (Après Calcul)
Résultat du Flux
Réflexions Physiques
Ce flux sortant est vital pour le système. S'il n'existait pas (système adiabatique, \(\dot{Q}=0\)), l'entropie produite à l'intérieur s'accumulerait indéfiniment, conduisant à une augmentation ininterrompue de la température jusqu'à la destruction du composant. L'évacuation de chaleur est en réalité une évacuation d'entropie.
Points de vigilance
Erreur classique : Oublier le signe négatif !
Dire "le système dégage 40 W" implique \(\dot{Q} = -40\). Si vous écrivez \(\dot{Q} = 40\), vous dites que le système refroidit l'environnement, ce qui viole la physique de l'effet Joule.
Points à Retenir
- Chaleur et Entropie sont liées : Pas de flux d'entropie sans flux de chaleur (dans un système fermé matériellement).
- Rôle de la température : Plus \(T\) est basse, plus le flux d'entropie est important pour une même quantité de chaleur (\(1/T\)).
- Signification du signe : Négatif = Perte = Stabilisation du système dissipatif.
Le saviez-vous ?
C'est exactement le même principe pour la Terre ! La Terre reçoit de l'énergie solaire (faible entropie, haute température) et réémet la même quantité d'énergie vers l'espace sous forme infrarouge (haute entropie, basse température). C'est ce flux sortant d'entropie qui permet à la vie (structure ordonnée) de se maintenir sur la planète.
FAQ
Pourquoi le travail électrique ne compte-t-il pas dans \(\dot{S}_{\text{e}}\) ?
Le travail (déplacement macroscopique ordonné) est une forme d'énergie "noble" qui a, par définition thermodynamique, une entropie nulle. Il apporte de l'énergie pure, sans "saleté" (désordre). Seule la chaleur transporte du désordre.
A vous de jouer
Si la température \(T_0\) du thermostat double (600 K), comment évolue le flux d'entropie sortant ? (Divisé par 2 ? Multiplié par 2 ?)
📝 Mémo de l'expert
Formule mnémotechnique : Flux Entropie = Flux Chaleur / Température.
Le signe de \(\dot{S}_{\text{e}}\) est toujours le même que celui de \(\dot{Q}\).
Question 4 : Taux de Production d'Entropie Interne (\(\dot{S}_{\text{i}}\))
Principe Physique Fondamental
Nous arrivons au cœur du problème. Jusqu'ici, nous avons calculé ce qui entre et ce qui sort. Maintenant, nous allons déterminer ce qui se passe à l'intérieur. Le Second Principe affirme que toute transformation réelle génère de l'entropie. Cette "production" n'est pas un flux venant d'ailleurs, c'est une source interne. C'est comme si chaque point du conducteur fabriquait du désordre à partir de l'ordre électrique.
Mathématiquement, puisque le système ne stocke rien (régime permanent), tout ce qui est produit doit compenser exactement ce qui est perdu par échange. C'est une déduction par bilan.
Mini-Cours : La Source d'Entropie (\(\sigma\))
La grandeur \(\dot{S}_{\text{i}}\) (souvent notée \(\sigma\) ou \(P_S\)) mesure la vitesse à laquelle l'univers devient plus désordonné à cause de notre système.
- C'est la mesure quantitative de l'irréversibilité.
- Contrairement à l'énergie, elle n'est soumise à aucune loi de conservation. Elle apparaît "ex nihilo" dès qu'il y a un gradient (de température, de potentiel, etc.).
- Son unité est le Watt par Kelvin [\(\text{W/K}\)].
Remarque Pédagogique
L'analogie de la "Taxe Naturelle" :
Imaginez que vous changez des devises (de l'énergie). Vous donnez des Euros (Travail) pour obtenir des Dollars (Chaleur). La banque (la Nature) prend une commission sur la transaction. Cette commission ne va nulle part, elle est "perdue" pour l'économie utile.
La production d'entropie \(\dot{S}_{\text{i}}\) est cette commission. Plus le processus est brutal (résistance élevée, fort courant), plus la commission est élevée.
Normes
En thermodynamique des processus irréversibles linéaires, cette production s'écrit souvent comme le produit d'une Force (différence de potentiel) et d'un Flux (courant) : \(\dot{S}_{\text{i}} = \frac{1}{T} \times \text{Force} \times \text{Flux}\).
Formule(s)
Relation de Bilan (Fermeture)
Issue de la Question 2 :
Hypothèses
Cette déduction repose entièrement sur la validité de l'hypothèse de régime permanent (\(dS/dt = 0\)). Si le système était en train de chauffer (régime transitoire), une partie de l'entropie produite servirait à augmenter le stock interne, et l'égalité ne serait plus vraie.
Données
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Flux d'Entropie Échangé | \(\dot{S}_{\text{e}}\) | \(-0.133\) | \(\text{W/K}\) |
Astuces
Vérification immédiate : Le résultat doit être positif. Si vous trouvez une production d'entropie négative, vous avez soit fait une erreur de calcul, soit découvert une nouvelle physique (ce qui est peu probable dans cet exercice !).
Schémas Création Interne
Visualisation de la Source (\(\sigma\))
Calcul(s) Détaillés
Étape 1 : Rappel de la relation
Nous utilisons l'équation de conservation des flux établie à la Question 2. Elle stipule que la production interne doit exactement compenser la fuite vers l'extérieur :
Étape 2 : Substitution et Gestion des Signes
Nous remplaçons \(\dot{S}_{\text{e}}\) par sa valeur algébrique trouvée à la Question 3 (\(-0.133 \, \text{W/K}\)). Attention à la règle des signes : "moins par moins donne plus".
Nous obtenons une valeur strictement positive.
Alternative : Calcul Direct (Vérification)
On peut aussi calculer directement la production d'entropie à partir de la puissance dissipée et de la température, sans passer par le flux :
Les deux méthodes donnent heureusement le même résultat !
Schémas Validation (Après Calcul)
Résultat Final
Réflexions Physiques Approfondies
Que représente ce chiffre de \(0.133 \, \text{W/K}\) ? C'est le taux de "destruction de l'information" ou de "génération de désordre". Chaque seconde, l'agitation des atomes de la résistance devient plus chaotique d'une quantité quantifiée par cette valeur.
Si la température était plus basse (ex: 10 K), pour la même puissance de 40 W, la production d'entropie serait de \(4 \, \text{W/K}\), soit 30 fois plus ! Dissiper de l'énergie à basse température est thermodynamiquement beaucoup plus "coûteux" en termes de création de désordre.
Points de vigilance
Ne pas dire : "L'entropie se conserve".
Dire : "L'entropie se crée".
C'est l'erreur la plus grave en thermodynamique. L'égalité \(\dot{S}_{\text{i}} = - \dot{S}_{\text{e}}\) ressemble à une conservation, mais c'est un équilibre dynamique dû au régime permanent, pas une propriété intrinsèque de l'entropie.
Points à Retenir
- Positivité : \(\dot{S}_{\text{i}}\) est toujours \(\geq 0\).
- Lien Puissance/Température : \(\dot{S}_{\text{i}} = P/T\) dans ce cas simple.
- Signification : C'est la signature de l'irréversibilité.
Le saviez-vous ?
Cette production d'entropie est liée à la résistance. Si nous avions un supraconducteur (\(R=0\)), la puissance dissipée serait nulle (\(P=0\)), et donc la production d'entropie serait nulle (\(\dot{S}_{\text{i}}=0\)). Le courant circulerait sans créer de désordre, indéfiniment. C'est un exemple rare de phénomène macroscopique réversible (ou presque).
FAQ
Est-ce que cette entropie reste dans la résistance ?
Non ! Comme vu à la question précédente, elle est immédiatement évacuée. La résistance est le "lieu du crime" (la création), mais pas la "prison" (le stockage). L'entropie finit dans l'air de la pièce.
A vous de jouer
Si la résistance est parfaite (supraconducteur, \(R \to 0\)), que vaut \(\dot{S}_{\text{i}}\) ?
📝 Mémo de l'expert
La résistance est une "machine à fabriquer de l'entropie" à partir de travail électrique. Son efficacité à produire du désordre dépend inversement de sa température.
Question 5 : Vérification de la Cohérence et Conclusion
Principe Physique Fondamental
En physique, un résultat numérique ne suffit pas ; il faut interpréter son sens. La "Vérification de la Cohérence" consiste à confronter notre résultat calculé (\(\dot{S}_{\text{i}}\)) avec les lois universelles de la thermodynamique.
Le Second Principe agit comme un "juge de paix" : il interdit certains processus même s'ils respectent la conservation de l'énergie (1er Principe). Il impose une direction à l'évolution des systèmes.
Mini-Cours : L'Inégalité de Clausius-Duhem
Pour tout processus thermodynamique réel, la production d'entropie interne doit satisfaire l'inégalité suivante :
- \(\dot{S}_{\text{i}} > 0\) : Transformation Irréversible (Réelle). C'est le cas de tous les phénomènes naturels spontanés (friction, diffusion, effet Joule).
- \(\dot{S}_{\text{i}} = 0\) : Transformation Réversible (Idéale). C'est une limite théorique inatteignable en pratique (mouvement sans frottement, échange de chaleur sans différence de température).
- \(\dot{S}_{\text{i}} < 0\) : Transformation Impossible. Cela violerait le Second Principe.
Remarque Pédagogique
La "Flèche du Temps" : La positivité de la production d'entropie est ce qui distingue le passé du futur. Si vous filmez une résistance qui chauffe et que vous passez le film à l'envers, vous verrez la résistance absorber de la chaleur pour produire de l'électricité. Ce processus inversé aurait une production d'entropie négative, ce qui est impossible. C'est pourquoi on ne voit jamais cela dans la réalité.
Normes
Cette loi est universelle, valable de l'échelle microscopique (statistique) à l'échelle cosmologique.
Formule(s)
Critère de validité
Hypothèses
Nous supposons que le phénomène étudié (passage du courant dans une résistance) est un processus réel et spontané.
Donnée(s) à vérifier
| Grandeur Calculée | Valeur | Critère Théorique | Conclusion |
|---|---|---|---|
| Production Interne \(\dot{S}_{\text{i}}\) | \(+0.133 \, \text{W/K}\) | \(\geq 0\) | ✅ Valide |
Astuces
Si vous trouvez \(\dot{S}_{\text{i}} < 0\) dans un exercice sur un phénomène réel, cherchez l'erreur de signe immédiatement ! Souvent, elle vient de la confusion entre le système et l'extérieur.
Schémas Validation
Validation Visuelle
Analyse du Résultat
Comparaison
Nous comparons notre résultat calculé à la Question 4 avec le zéro absolu :
L'inégalité stricte est respectée.
Réflexions Physiques Approfondies
Le fait que la valeur soit strictement positive (\(>0\)) et non nulle confirme que l'effet Joule est intrinsèquement irréversible.
Plus la valeur est grande, plus le gaspillage d'énergie "noble" (travail) en énergie "dégradée" (chaleur) est rapide. C'est le prix à payer pour faire passer un courant dans un matériau résistif.
Points de vigilance
Ne confondez pas "Entropie créée" et "Entropie échangée". L'entropie échangée peut être négative (comme ici, \(-0.133\)), mais l'entropie créée (la somme de tout ce qui se passe à l'intérieur + échanges nets pour un système isolé) doit être positive.
Points à Retenir
- 1er Principe : L'énergie se conserve (\(40 \text{W} \to 40 \text{W}\)).
- 2nd Principe : La qualité de l'énergie baisse (Travail \(\to\) Chaleur), ce qui crée de l'entropie.
- Irréversibilité : Elle est quantifiée par \(\dot{S}_{\text{i}} > 0\).
Le saviez-vous ?
La Mort Thermique de l'Univers : Comme tous les processus réels créent de l'entropie (\(\dot{S}_{\text{i}} > 0\)), l'entropie totale de l'Univers augmente sans cesse. Cela implique que l'énergie disponible pour effectuer du travail diminue. À très long terme, l'Univers tendrait vers un état d'équilibre thermique maximal où plus rien ne peut se passer : c'est l'hypothèse de la "mort thermique".
FAQ
Existe-t-il des résistances sans création d'entropie ?
Oui ! Les supraconducteurs. À très basse température, certains matériaux ont une résistance \(R=0\). Le courant y circule sans dissiper de chaleur (\(P=0\)), donc sans créer d'entropie (\(\dot{S}_{\text{i}}=0\)). C'est un phénomène quantique macroscopique.
A vous de jouer
Est-il possible de refroidir une pièce en laissant la porte d'un frigo ouverte ?
📝 Mémo de l'expert
Physique validée = Physique cohérente. Toujours vérifier le signe de l'entropie créée à la fin d'un calcul !
Schéma Bilan de l'Exercice
Ce schéma synthétise l'ensemble de l'étude thermodynamique. Il illustre visuellement la différence fondamentale entre la conservation de l'énergie (1er Principe) et la non-conservation de l'entropie (2nd Principe) dans un système dissipatif.
Analyse Détaillée des Flux
1. L'Entrée : Énergie "Noble"
Le système reçoit de l'énergie sous forme de Travail Électrique (\(W_{\text{elec}}\)). C'est une forme d'énergie ordonnée (déplacement dirigé des électrons).
Point clé : Le travail ne transporte pas d'entropie. L'entropie entrant par ce biais est nulle. C'est de l'énergie "pure" du point de vue thermodynamique.
2. La Sortie : Énergie "Dégradée"
Pour maintenir son énergie constante, le système doit évacuer l'énergie reçue sous forme de Chaleur (\(Q\)). C'est une forme d'énergie désordonnée (agitation thermique).
Point clé : Contrairement au travail, la chaleur est le vecteur de l'entropie. En évacuant la chaleur, le système évacue l'entropie créée.
Le Cœur du Phénomène : La Création d'Entropie
Transformation Irréversible (\(\sigma\)) :
À l'intérieur de la résistance (la "boîte" centrale), une transformation fondamentale a lieu : l'énergie ordonnée (travail) est détruite pour réapparaître sous forme désordonnée (chaleur).
Cette "dégradation" de la qualité de l'énergie est mesurée par la production d'entropie \(\dot{S}_{\text{i}}\). C'est comme si la résistance était une "usine à fabriquer de l'entropie". Elle ne peut pas fonctionner à l'envers : on ne peut pas fournir de la chaleur désordonnée et espérer récupérer spontanément du travail électrique ordonné avec un rendement de 100%.
Bilan Comparatif
| Grandeur | Bilan (Entrée + Création = Sortie) | Conclusion |
|---|---|---|
| Énergie | \(W_{\text{elec}} + 0 = |Q_{\text{out}}|\) \(40 + 0 = 40\) |
Conservation parfaite. L'énergie ne fait que changer de forme et traverser le système. |
| Entropie | \(0 + \dot{S}_{\text{i}} = |\dot{S}_{\text{e}}|\) \(0 + 0.133 = 0.133\) |
Non-conservation. L'entropie sortante est supérieure à l'entropie entrante (nulle ici). Le surplus a été créé à l'intérieur. |
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument
Voici une synthèse approfondie des concepts fondamentaux de la thermodynamique irréversible illustrés par cet exercice. Comprendre ces points est essentiel pour maîtriser les bilans énergétiques et entropiques.
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Point Clé 1 : La Nature Asymétrique de l'Effet Joule
L'effet Joule n'est pas une simple transformation d'énergie, c'est l'archétype du phénomène irréversible. Il représente la "dégradation" de l'énergie électrique (une énergie noble, ordonnée, sans entropie) en énergie thermique (une énergie dégradée, désordonnée, riche en entropie).
"On peut transformer 100% de travail en chaleur, mais le Second Principe interdit de transformer spontanément 100% de chaleur en travail." C'est cette asymétrie qui définit l'irréversibilité.
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Point Clé 2 : La Production d'Entropie (\(\dot{S}_{\text{i}}\)) n'est pas une abstraction
La production d'entropie interne \(\dot{S}_{\text{i}}\) est la mesure physique concrète de cette irréversibilité. Contrairement à l'énergie qui se conserve, l'entropie se crée spontanément dès qu'un système évolue hors équilibre.
- Si \(\dot{S}_{\text{i}} > 0\) : Le processus est réel, possible et irréversible (notre cas).
- Si \(\dot{S}_{\text{i}} = 0\) : Le processus est idéal et réversible (cas limite théorique).
- Si \(\dot{S}_{\text{i}} < 0\) : Le processus est IMPOSSIBLE. Il viole le Second Principe.
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⚠️
Point Clé 3 : Le Rôle Vital de l'Échange (\(\dot{S}_{\text{e}}\))
Pour qu'un système reste en régime permanent (température constante, pas d'explosion), il ne doit pas accumuler l'entropie qu'il produit. Il doit impérativement l'évacuer vers l'extérieur.
C'est le sens profond de l'équation \(\dot{S}_{\text{i}} = -\dot{S}_{\text{e}}\) :
"Le système agit comme une usine : il produit des déchets (entropie) qu'il doit continuellement jeter dehors (flux sortant) pour ne pas s'étouffer."C'est pour cela qu'un ordinateur chauffe : il doit évacuer l'entropie créée par le traitement de l'information (processus irréversible) sous forme de chaleur vers l'air ambiant.
🎛️ Simulateur interactif
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📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Parmi ces affirmations sur l'Effet Joule, laquelle est vraie ?
2. Si l'on isole thermiquement la résistance (parois adiabatiques), que se passe-t-il ?
3. Quelle est l'unité du flux d'entropie ?
4. Pourquoi dit-on que le travail électrique est une énergie "noble" ?
5. Que signifie physiquement \(\dot{S}_{\text{i}} > 0\) ?
📚 Glossaire Détaillé
- Thermostat (Source de Chaleur)
-
En thermodynamique, un thermostat est un système idéalisé possédant une capacité calorifique infinie. Cela signifie qu'il peut échanger des quantités finies de chaleur \(Q\) avec un autre système sans que sa propre température \(T_0\) ne varie, ne serait-ce que d'un iota.
Rôle : Il sert de référence de température fixe. Dans notre exercice, l'environnement agit comme un thermostat à 300 K : il absorbe la chaleur produite par la résistance sans se réchauffer.
- Entropie (\(S\))
-
L'entropie est une grandeur thermodynamique extensive (elle s'additionne) fondamentale, mesurée en Joules par Kelvin (\(\text{J/K}\)). Elle possède deux interprétations complémentaires :
- Macroscopique (Clausius) : Elle mesure la "qualité" de l'énergie. Une énergie de haute qualité (travail, électricité) a une entropie nulle. Une énergie dégradée (chaleur) a une entropie élevée. Créer de l'entropie revient à dégrader l'énergie.
- Microscopique (Boltzmann) : Elle mesure le degré de désordre ou le manque d'information sur l'état microscopique des particules (\(S = k_B \ln \Omega\)). Plus un système est désordonné, plus son entropie est grande.
- Irréversibilité
-
Propriété d'une transformation qui ne peut pas être inversée pour ramener le système et son environnement à leur état initial sans laisser de trace. C'est la manifestation physique de la "flèche du temps".
Critère mathématique : Une transformation est irréversible si et seulement si la production d'entropie est strictement positive : \(\dot{S}_{\text{i}} > 0\). L'effet Joule est un exemple parfait : on peut transformer 100% de l'électricité en chaleur, mais on ne peut jamais transformer spontanément 100% de cette chaleur en électricité.
- Régime Permanent (Stationnaire)
-
État d'un système ouvert dans lequel toutes les grandeurs physiques (température, pression, densité, énergie interne, entropie) en chaque point de l'espace sont constantes dans le temps.
Conséquence mathématique : Toutes les dérivées temporelles sont nulles (ex: \(\frac{dS}{dt} = 0\)). Cela ne signifie pas que rien ne se passe (il y a des flux d'entrée et de sortie), mais que le "contenu" du système ne change pas.
- Joule (J) et Effet Joule
-
Le Joule (J) est l'unité dérivée du Système International pour quantifier l'énergie, le travail et la chaleur. \(1 \, \text{J}\) est l'énergie transférée pour déplacer un objet d'un mètre contre une force d'un Newton.
L'Effet Joule est la manifestation thermique de la résistance électrique : c'est la conversion dissipative (irréversible) de l'énergie potentielle électrique des porteurs de charge en énergie thermique (agitation des atomes) lors de leur passage dans un conducteur.
- Watt (W)
-
Le Watt est l'unité de puissance, c'est-à-dire le flux d'énergie par unité de temps. Il correspond à un transfert d'énergie d'un Joule par seconde (\(1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s}\)).
Dans notre contexte, dire que la résistance dissipe 40 W signifie que chaque seconde, 40 Joules d'énergie électrique "haute qualité" sont transformés en 40 Joules de chaleur "basse qualité".
- Premier et Second Principes
-
Ces deux lois régissent tout l'univers physique :
- 1er Principe (Conservation) : "Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme." L'énergie totale est constante. On ne peut pas créer de l'énergie ex nihilo.
- 2nd Principe (Évolution) : "Tout se dégrade." L'entropie d'un système isolé ne peut qu'augmenter. Il introduit l'asymétrie des processus naturels et l'impossibilité du mouvement perpétuel.
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