ÉTUDE THERMODYNAMIQUE

Calcul de la conductivité thermique d’un gaz

Calcul de la Conductivité Thermique d'un Gaz (Théorie Cinétique)

Calcul de la conductivité thermique d'un gaz à partir de la théorie cinétique

Comprendre la Théorie Cinétique du Transport

La théorie cinétique des gaz permet de relier les propriétés macroscopiques d'un gaz, comme sa conductivité thermique, à ses propriétés microscopiques, telles que la vitesse moyenne des atomes, leur densité, et la distance moyenne qu'ils parcourent entre deux collisions (le libre parcours moyen). Cet exercice a pour but de calculer la conductivité thermique de l'argon, un gaz monoatomique, en utilisant un modèle simplifié issu de cette théorie, puis d'appliquer ce résultat pour trouver le flux de chaleur généré par un gradient de température.

Données de l'étude

On cherche à estimer la conductivité thermique de l'argon gazeux (\(\text{Ar}\)) dans des conditions données, en le considérant comme un gaz parfait.

Schéma : Transport d'Énergie par les Atomes
Zone Chaude (T₁) Zone Froide (T₂) ℓ (libre parcours moyen) Flux net d'énergie →

Les atomes plus rapides (rouges) de la zone chaude se déplacent vers la zone froide et transfèrent leur énergie par collision.

Conditions et constantes :

  • Gaz : Argon (\(\text{Ar}\)), un gaz parfait monoatomique.
  • Masse molaire : \(M = 39.95 \, \text{g/mol}\)
  • Température : \(T = 300 \, \text{K}\)
  • Pression : \(P = 101325 \, \text{Pa}\) (pression atmosphérique normale)
  • Section efficace de collision de l'argon : \(\sigma = 3.6 \times 10^{-19} \, \text{m}^2\)
  • Constante de Boltzmann : \(k_B = 1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\)
  • Constante des gaz parfaits : \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse moyenne (\(\bar{v}\)) des atomes d'argon.
  2. Calculer la densité numérique (\(n\)), c'est-à-dire le nombre d'atomes par unité de volume.
  3. Calculer le libre parcours moyen (\(\ell\)) des atomes d'argon.
  4. Estimer la conductivité thermique (\(\lambda\)) de l'argon à l'aide de la formule de la théorie cinétique.
  5. Calculer le flux de chaleur surfacique (\(\phi\)) à travers l'argon si un gradient de température de \(50 \, \text{K/m}\) lui est appliqué.

Correction : Calcul de la conductivité thermique d'un gaz à partir de la théorie cinétique

Question 1 : Vitesse moyenne (\(\bar{v}\))

Principe :

La vitesse moyenne des particules d'un gaz parfait est donnée par la théorie cinétique. Il est crucial d'utiliser les unités du Système International, notamment la masse molaire en kg/mol.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \bar{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} \]
Calcul :

Conversion de la masse molaire : \(M = 39.95 \, \text{g/mol} = 0.03995 \, \text{kg/mol}\).

\[ \begin{aligned} \bar{v} &= \sqrt{\frac{8 \times 8.314 \times 300}{\pi \times 0.03995}} \\ &= \sqrt{\frac{19953.6}{0.1255}} \\ &= \sqrt{158992.8} \\ &\approx 398.7 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La vitesse moyenne des atomes d'argon est d'environ \(399 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Densité numérique (\(n\))

Principe :

La densité numérique (nombre de particules par m³) peut être calculée à partir de la loi des gaz parfaits sous la forme \(P = nk_BT\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ n = \frac{P}{k_B T} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} n &= \frac{101325 \, \text{Pa}}{(1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K}) \times (300 \, \text{K})} \\ &= \frac{101325}{4.14 \times 10^{-21}} \\ &\approx 2.447 \times 10^{25} \, \text{atomes} \cdot \text{m}^{-3} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La densité numérique est d'environ \(2.45 \times 10^{25} \, \text{atomes/m}^3\).

Question 3 : Libre parcours moyen (\(\ell\))

Principe :

Le libre parcours moyen est la distance moyenne qu'une particule parcourt entre deux collisions successives. Il est inversement proportionnel à la densité numérique et à la section efficace de collision.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \ell = \frac{1}{\sqrt{2} \sigma n} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \ell &= \frac{1}{\sqrt{2} \cdot (3.6 \times 10^{-19} \, \text{m}^2) \cdot (2.447 \times 10^{25} \, \text{m}^{-3})} \\ &= \frac{1}{1.414 \times 8.8092 \times 10^6} \\ &= \frac{1}{1.245 \times 10^7} \\ &\approx 8.03 \times 10^{-8} \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le libre parcours moyen est d'environ \(80.3 \, \text{nm}\).

Question 4 : Conductivité thermique (\(\lambda\))

Principe :

La théorie cinétique simple donne une expression de la conductivité thermique en fonction des grandeurs microscopiques calculées précédemment et de la capacité thermique molaire à volume constant par particule (\(C_v\)). Pour un gaz parfait monoatomique, \(C_v = \frac{3}{2}k_B\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \lambda = \frac{1}{3} n \bar{v} \ell C_v = \frac{1}{3} n \bar{v} \ell \left(\frac{3}{2}k_B\right) = \frac{1}{2} n \bar{v} \ell k_B \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{1}{2} (2.447 \times 10^{25}) \cdot (398.7) \cdot (8.03 \times 10^{-8}) \cdot (1.38 \times 10^{-23}) \\ &= 0.5 \times (2.447 \cdot 398.7 \cdot 8.03 \cdot 1.38) \times 10^{-6} \\ &= 0.5 \times 10815.7 \times 10^{-6} \\ &\approx 0.0054 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]

La valeur expérimentale pour l'argon à 300K est d'environ \(0.0177 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\). Notre modèle simple donne le bon ordre de grandeur mais sous-estime la valeur réelle, car il ne tient pas compte de la persistance des vitesses après collision.

Résultat Question 4 : La conductivité thermique estimée de l'argon est \(\lambda \approx 0.0054 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).

Question 5 : Flux de chaleur surfacique (\(\phi\))

Principe :

Le flux de chaleur surfacique est donné par la loi de Fourier, en utilisant la conductivité thermique calculée et le gradient de température imposé.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \phi = -\lambda \frac{dT}{dx} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \phi &= -(0.0054 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}) \times (-50 \, \text{K/m}) \\ &= +0.27 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \]

Le gradient est de -50 K/m car la température diminue dans la direction x. Le flux est positif, indiquant qu'il se propage bien dans le sens de x, des hautes vers les basses températures.

Résultat Question 5 : Le flux de chaleur surfacique est de \(0.27 \, \text{W/m}^2\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La conductivité thermique d'un gaz, selon ce modèle, est proportionnelle à...

2. Le libre parcours moyen diminue si...

3. La conductivité thermique des gaz est généralement...

Glossaire

Théorie Cinétique des Gaz
Modèle qui décrit un gaz comme un grand nombre de particules submicroscopiques (atomes ou molécules), toutes en mouvement aléatoire constant. L'énergie du gaz est principalement l'énergie cinétique de ces particules.
Conductivité Thermique (\(\lambda\))
Propriété macroscopique d'un matériau qui mesure sa capacité à transférer la chaleur par conduction. C'est le coefficient de proportionnalité dans la loi de Fourier.
Libre Parcours Moyen (\(\ell\))
Distance moyenne qu'une particule (atome, molécule) parcourt entre deux collisions successives avec d'autres particules.
Densité Numérique (\(n\))
Nombre de particules (atomes ou molécules) par unité de volume. Elle est souvent exprimée en m⁻³.
Section Efficace de Collision (\(\sigma\))
Surface "effective" présentée par une particule pour la collision. Une plus grande section efficace signifie une plus grande probabilité de collision.
Théorie Cinétique - Exercice d'Application

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