Loi de Fick et Diffusion d'un Polluant
Contexte : Transport de matière en milieu liquide.
Dans cet exercice, nous étudions la DiffusionMouvement spontané des particules d'une zone de haute concentration vers une zone de basse concentration. d'un polluant chimique dans une canalisation d'eau au repos. Ce phénomène, régi par la Thermodynamique des Processus Irréversibles (TPI), illustre la tendance naturelle des systèmes à maximiser leur entropie en homogénéisant les concentrations.
Remarque Pédagogique : Cet exercice permet de comprendre comment quantifier un flux de matière sans mouvement global du fluide (convection négligée).
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer la 1ère loi de Fick.
- Calculer un gradient de concentration.
- Déterminer la densité de flux de matière et le débit massique total.
- Analyser l'influence de la température sur la diffusion.
Données de l'étude
Un polluant est injecté à l'extrémité d'une conduite rectiligne de longueur \(L\). On suppose que le régime est stationnaire (les concentrations ne changent pas dans le temps) et unidirectionnel (selon l'axe \(x\)).
Fiche Technique / Données
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Longueur de la zone de diffusion (\(L\)) | 2,0 m |
| Section de la conduite (\(S\)) | 0,05 m² |
| Concentration en amont (\(C_{\text{1}}\) à \(x=0\)) | 0,80 kg/m³ |
| Concentration en aval (\(C_{\text{2}}\) à \(x=L\)) | 0,10 kg/m³ |
Schéma du Système de Diffusion
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coefficient de diffusionMesure la facilité avec laquelle une particule se déplace dans le milieu. | \(D\) | \(1,5 \times 10^{-9}\) | m²/s |
Questions à traiter
- Calculer le gradient de concentration moyen dans la conduite.
- Déterminer la densité de flux de matière \(j\) (Loi de Fick).
- En déduire le débit massique total \(J\) traversant la section.
- Estimer le temps caractéristique de diffusion.
- Analyser l'impact de la température sur ce processus.
Les bases théoriques
La diffusion est un transport irréversible de matière causé par une hétérogénéité de composition. L'entropie du système augmente lors de ce mélange spontané.
Première Loi de Fick
Le flux de matière est proportionnel au gradient de concentration et va dans le sens opposé à celui-ci (signe moins).
Densité de Flux de Matière
En dimension 1 (selon x) :
Où :
- \(j\) est la densité de flux (\(\text{kg}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{s}^{-1}\))
- \(D\) est le coefficient de diffusion (\(\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}\))
- \(\frac{\partial C}{\partial x}\) est le gradient de concentration (\(\text{kg}\cdot\text{m}^{-4}\))
Correction : Loi de Fick et Diffusion d'un Polluant
Question 1 : Calcul du Gradient de Concentration
Principe
Le gradient mesure la variation de la concentration par unité de longueur. En régime stationnaire, la concentration décroît linéairement.
Mini-Cours
Mathématiquement, le gradient dans un système à une dimension est la pente de la courbe de concentration : \( \nabla C = \frac{dC}{dx} \). En régime stationnaire, ce profil est linéaire, ce qui simplifie le calcul en un rapport de différences finies : \(\frac{\Delta C}{\Delta x}\).
Remarque Pédagogique
Imaginez une pente de ski : plus elle est raide (gradient fort), plus on descend vite. Ici, plus la concentration change brutalement sur une courte distance, plus le flux sera intense.
Normes
La notation standard pour le gradient est \(\nabla\) (nabla) ou \(\text{grad}\). Son unité dans le système international (SI) est le \(\text{kg}/\text{m}^4\) (concentration divisée par une distance).
Formule(s)
Formules utilisées
Gradient linéaire
Hypothèses
Pour appliquer cette loi simplifiée, nous posons les hypothèses suivantes :
- Régime stationnaire (les concentrations aux extrémités sont constantes dans le temps).
- Diffusion unidirectionnelle (seule la variation selon l'axe x compte).
- Conduite à section constante.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Concentration \(C_{\text{1}}\) (x=0) | 0,80 | kg/m³ |
| Concentration \(C_{\text{2}}\) (x=L) | 0,10 | kg/m³ |
| Longueur \(L\) | 2,0 | m |
Astuces
Toujours vérifier que \(C_{\text{2}} < C_{\text{1}}\) pour un écoulement dans le sens positif, sinon le gradient est positif et le flux serait négatif (remontée de courant).
Schéma de Principe (Gradient)
Calcul(s)
Calcul Principal
Application numérique détaillée
Nous allons procéder en trois étapes pour éviter les erreurs de signe. D'abord, calculons la différence brute de concentration entre la fin et le début du tuyau :
1. Différence de concentration (\(\Delta C\))
Le résultat est négatif, ce qui est normal car la concentration baisse le long du parcours.
Ensuite, nous divisons cette différence par la longueur totale \(L\) pour obtenir la variation moyenne par mètre :
2. Division par la longueur
Enfin, nous effectuons la division pour obtenir la valeur finale du gradient :
3. Résultat final
Cela signifie que pour chaque mètre parcouru, la concentration chute de \(0,35 \text{ kg/m}^3\).
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le résultat est négatif, ce qui est logique physiquement : la concentration diminue au fur et à mesure que l'on avance dans la conduite (x augmente). C'est la condition nécessaire pour que la matière se déplace spontanément dans ce sens.
Points de vigilance
Ne pas oublier l'unité : \(\text{kg/m}^4\) (masse par volume par longueur). Ce n'est pas une concentration (\(\text{kg/m}^3\)).
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Le gradient est la force motrice.
- Il est négatif dans le sens naturel du flux.
Le saviez-vous ?
Le concept de gradient est universel en physique : un gradient de pression crée le vent, un gradient de température crée un flux de chaleur, et un gradient de potentiel électrique crée un courant.
FAQ
Pourquoi le gradient est-il constant ?
Car nous sommes en régime stationnaire unidirectionnel sans réaction chimique. Si le régime était transitoire (début de la diffusion), le gradient changerait avec le temps et la position.
A vous de jouer
Si la longueur \(L\) était réduite de moitié (1,0 m) pour la même chute de concentration, que deviendrait le gradient ?
📝 Mémo
Gradient = Variation / Distance. Plus c'est court, plus c'est raide.
Question 2 : Densité de Flux de Matière (\(j\))
Principe
Nous appliquons la première loi de Fick pour déterminer la quantité de matière traversant une surface unitaire par unité de temps. C'est l'expression macroscopique du mouvement brownien aléatoire des molécules.
Mini-Cours
La Loi de Fick (1855) stipule que le flux diffusif va des zones de forte concentration vers les zones de faible concentration, avec une intensité proportionnelle au gradient de concentration. Elle est l'analogue exact de la loi de Fourier pour la chaleur.
Remarque Pédagogique
Le coefficient \(D\) représente la "facilité" de déplacement des molécules. C'est en quelque sorte l'inverse d'une "résistance" à la diffusion offerte par le milieu.
Normes
Unités SI : \(j\) s'exprime en \(\text{kg} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{s}^{-1}\). Dans l'industrie, on peut parfois trouver des moles, mais la physique reste la même.
Formule(s)
Formules utilisées
Loi de Fick 1D
Hypothèses
Pour appliquer cette loi :
- Diffusion pure (pas de convection/courant).
- Milieu isotrope (le coefficient \(D\) est le même dans toutes les directions).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Coefficient Diffusion | \(D\) | \(1,5 \times 10^{-9}\) m²/s |
| Gradient (Q1) | \(\nabla C\) | -0,35 kg/m⁴ |
Astuces
Dimension : Vérifiez toujours vos unités par analyse dimensionnelle. Flux = Masse / (Temps * Surface).
Schéma de Principe (Flux)
Calcul(s)
Calcul Principal
Pour trouver le flux, nous appliquons la loi de Fick. L'objectif est de multiplier le coefficient de diffusion \(D\) par le gradient que nous venons de trouver, sans oublier le signe moins de la formule.
Posons l'équation avec les valeurs :
Observons les signes : nous avons un "moins" devant le \(D\) et un "moins" dans le gradient (-0,35). En mathématiques, "moins par moins égale plus". Le flux sera donc positif :
Résolution numérique :
Nous avons converti \(0,525 \times 10^{-9}\) en notation scientifique standard \(5,25 \times 10^{-10}\) pour plus de clarté.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le flux est positif, donc la matière va de gauche à droite (des fortes vers les faibles concentrations). Cela confirme la 2nd loi de la thermodynamique : l'entropie augmente par homogénéisation.
Points de vigilance
Attention au signe "moins" dans la formule de Fick ! Oublier ce signe impliquerait que la matière remonte vers les fortes concentrations, ce qui est physiquement impossible (sauf processus actif).
Points à Retenir
Flux = - Coeff * Gradient. La linéarité est la clé.
Le saviez-vous ?
Cette loi a été formulée par Adolf Fick en 1855, avant même la confirmation de l'existence des atomes par Einstein (1905). C'était une loi purement phénoménologique.
FAQ
Que se passe-t-il si D est nul ?
Il n'y a pas de diffusion (flux nul), même s'il existe un gradient énorme. C'est le cas dans un solide parfait à 0 Kelvin.
A vous de jouer
Si le coefficient \(D\) double (devenant \(3,0 \times 10^{-9}\)), quelle sera la nouvelle valeur du flux \(j\) (en \(\times 10^{-10}\)) ?
📝 Mémo
Fick = Fourier = Ohm (Formellement identiques).
Question 3 : Débit Massique Total (\(J\))
Principe
La densité de flux \(j\) est une grandeur locale (intensive, définie en un point). Pour obtenir le débit total (extensif, ce qui sort vraiment du tuyau), il faut intégrer cette densité sur toute la surface de la section.
Mini-Cours
La relation générale est une intégrale de surface : \( J = \iint_S \vec{j} \cdot \vec{dS} \). Dans notre cas simplifié où \(j\) est uniforme sur toute la section \(S\) et perpendiculaire à celle-ci, cela devient un simple produit : \(J = j \cdot S\).
Remarque Pédagogique
Analogie Pluie : \(j\) est l'intensité de la pluie (\(\text{mm/h}\)) qui tombe partout pareil. \(J\) est la quantité totale d'eau collectée dans un seau. Plus le seau (surface \(S\)) est grand, plus on récolte d'eau (\(J\)), même si l'intensité (\(j\)) reste la même.
Normes
Débit massique en \(\text{kg/s}\).
Formule(s)
Débit Total
Hypothèses
On suppose que la concentration est homogène sur toute la section transversale (pas de variation radiale, pas d'effet de bord).
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Densité j (Q2) | \(5,25 \times 10^{-10}\) | SI |
| Section S | 0,05 | m² |
Astuces
Multiplier par 0,05 revient à diviser par 20. C'est utile pour vérifier l'ordre de grandeur mentalement.
Schéma de Principe (Surface)
Calcul(s)
Application Numérique
Nous passons maintenant d'une grandeur locale (par m²) à une grandeur totale. Il suffit de multiplier la densité de flux \(j\) trouvée précédemment par la surface totale de la section \(S\).
Pose du calcul :
Pour faciliter le calcul mental ou la vérification, décomposons les puissances de 10 en écrivant \(0,05\) comme \(5 \times 10^{-2}\) :
Enfin, normalisons le résultat en notation scientifique (un chiffre avant la virgule) :
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le débit est extrêmement faible (\(10^{-11} \text{ kg/s}\)). Cela confirme que la diffusion pure est un processus très inefficace pour transporter de la matière sur des distances macroscopiques (2 mètres).
Points de vigilance
Ne confondez pas \(j\) (minuscule, surfacique) et \(J\) (majuscule, total). Les unités sont différentes !
Points à Retenir
Passage local -> global : on multiplie par la surface perpendiculaire au flux.
Le saviez-vous ?
C'est ce principe qui dimensionne les filtres de dialyse ou les échangeurs thermiques : on cherche toujours à maximiser la surface \(S\) d'échange pour augmenter le flux total \(J\), car on ne peut pas toujours augmenter le gradient.
FAQ
Et si la section varie le long du tuyau ?
Le débit total \(J\) doit se conserver (conservation de la masse). Donc si \(S\) diminue, la densité de flux \(j\) doit augmenter localement (effet entonnoir).
A vous de jouer
Si la section \(S\) doublait (0,10 m²), quel serait le nouveau débit total ?
📝 Mémo
Total = Densité × Surface.
Question 4 : Temps Caractéristique de Diffusion
Principe
La diffusion n'est pas un mouvement balistique à vitesse constante. C'est une "marche au hasard" (random walk). Une particule avance, recule, tourne... Pour parcourir une distance nette \(L\), il faut beaucoup de temps. L'analyse dimensionnelle permet d'estimer cet ordre de grandeur.
Mini-Cours
La solution de l'équation de la diffusion montre que la distance quadratique moyenne parcourue par une particule évolue comme la racine carrée du temps : \( \langle x^2 \rangle = 2Dt \). Inversement, le temps pour parcourir \(L\) est proportionnel au carré de la distance : \(t \propto L^2\).
Remarque Pédagogique
C'est l'ennemi de la diffusion ! Si vous doublez la distance à parcourir, le temps nécessaire est multiplié par 4. Si vous la multipliez par 10, le temps est multiplié par 100 !
Normes
Temps en secondes (s).
Formule(s)
Temps caractéristique
Hypothèses
On considère un milieu semi-infini et on cherche un ordre de grandeur pour que la diffusion soit "significative" à la distance L.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Longueur L | 2,0 m |
| Coeff D | 1,5e-9 m²/s |
Astuces
Ne jamais utiliser la formule de vitesse \(t = d/v\). En diffusion, il n'y a pas de vitesse constante, la "vitesse apparente" ralentit indéfiniment avec le temps.
Schéma de Principe (Marche Aléatoire)
Calcul(s)
Calcul en secondes
La formule fait intervenir le carré de la distance. Commençons par calculer \(L^2\) puis divisons par le coefficient \(D\).
Diviser par \(10^{-9}\) revient à multiplier par \(10^9\). De plus, \(4 / 1,5\) vaut environ \(2,67\). D'où :
Conversion en années
Ce chiffre en milliards de secondes est difficile à visualiser. Convertissons-le en années sachant qu'une année contient environ \(3,15 \times 10^7\) secondes (\(3600 \times 24 \times 365\)).
Le résultat final montre bien l'extrême lenteur du processus sur une telle distance.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Ce temps est astronomique à l'échelle humaine. Cela montre que la diffusion seule est totalement incapable de transporter de la matière sur des mètres en un temps raisonnable.
Points de vigilance
Conclusion importante : Dans les systèmes réels (rivières, tuyaux), le transport est toujours dominé par la convection (le courant) dès que l'échelle dépasse le millimètre. La diffusion n'est rapide qu'à l'échelle microscopique (cellule, synapse).
Points à Retenir
Diffusion = Rapide au micro (\(\mu m\)), Extrêmement lente au macro (\(m\)). \(\tau\) varie comme \(L^2\).
Le saviez-vous ?
C'est pour cela que l'on agite le sucre dans le café ! La convection force le mélange en quelques secondes, alors que la diffusion pure mettrait des semaines à sucrer uniformément votre tasse.
FAQ
La convection est-elle toujours plus rapide ?
Presque toujours à notre échelle. Le nombre de Péclet permet de comparer l'importance relative de la convection et de la diffusion.
A vous de jouer
Si la distance de diffusion est multipliée par 10, par quel facteur le temps de diffusion est-il multiplié (sachant que \(\tau \propto L^2\)) ?
📝 Mémo
\(\tau \sim L^2\). Le carré de la distance tue la diffusion.
Question 5 : Impact de la Température
Principe
Le coefficient de diffusion \(D\) n'est pas une constante universelle ; il dépend fortement des conditions thermodynamiques, en particulier de la température. Chauffer un système accélère toujours les processus de mélange.
Mini-Cours
Pour une particule sphérique dans un liquide, la relation de Stokes-Einstein décrit cette dépendance :
Où \(k_{\text{B}}\) est la constante de Boltzmann, \(T\) la température absolue (\(\text{K}\)), \(\eta\) la viscosité dynamique du fluide et \(r\) le rayon de la particule.
Remarque Pédagogique
Pensez au miel : quand on le chauffe, il devient plus fluide (viscosité \(\eta\) baisse) et les molécules bougent plus vite (\(T\) augmente). Tout favorise le mouvement.
Normes
Toujours utiliser la température absolue en Kelvin (\(\text{K}\)) dans les formules thermodynamiques.
Formule(s)
Dépendance T
Hypothèses
On suppose que le rayon de la particule \(r\) ne change pas avec la température.
Donnée(s)
Propriété des liquides : la viscosité \(\eta\) diminue exponentiellement quand T augmente.
Astuces
L'effet de la baisse de viscosité est souvent plus fort que l'augmentation linéaire de T dans les liquides.
Comparaison (Agitation Thermique)
Calcul(s)
Analyse Qualitative
Si on augmente \(T\) :
- Le numérateur \(T\) augmente (plus d'énergie cinétique).
- Le dénominateur \(\eta\) diminue (le fluide résiste moins).
Résultat : \(D\) augmente fortement.
Schéma (Résultat)
Réflexions
La diffusion est un processus thermiquement activé. C'est pourquoi les réactions chimiques (souvent limitées par la diffusion des réactifs) vont plus vite à chaud.
Points de vigilance
Ne pas confondre avec les gaz ! Dans un gaz, la viscosité AUGMENTE avec la température (plus de chocs), donc l'effet sur D est plus modéré (augmente en \(T^{1.5}\) environ), mais augmente quand même.
Points à Retenir
La température est l'accélérateur universel de la diffusion.
Le saviez-vous ?
À 0 Kelvin (zéro absolu), toute diffusion thermique s'arrête (D=0). Les atomes sont figés (hors effets quantiques).
FAQ
La pression influence-t-elle la diffusion ?
Dans les liquides et solides, très peu car ils sont incompressibles. Dans les gaz, oui : augmenter la pression rapproche les molécules et freine la diffusion (D diminue).
A vous de jouer
D'après la loi de Stokes-Einstein (\(D \propto T/\eta\)), si la température \(T\) (en Kelvin) double et que la viscosité \(\eta\) est divisée par 2, par quel facteur le coefficient \(D\) est-il multiplié ?
📝 Mémo
Chaud = Rapide + Fluide = Diffusion Max.
Schéma Bilan de l'Exercice
Ce schéma résume l'ensemble des grandeurs calculées et la physique du problème.
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument
Voici la synthèse des points clés méthodologiques et physiques abordés dans cet exercice :
-
🔑
Point Clé 1 : Gradient
Le gradient est le moteur de la diffusion. La matière va du "plus" vers le "moins" pour équilibrer le système. -
📐
Point Clé 2 : Loi de Fick
\( \vec{j} = -D \vec{\nabla}C \). C'est une loi linéaire fondamentale analogue aux lois de Fourier (chaleur) et d'Ohm (électricité). -
⚠️
Point Clé 3 : Lenteur Extrême
La diffusion est efficace sur les distances microscopiques (\(\mu m\)), mais inefficace à l'échelle macroscopique (\(m\)). Le temps varie comme le carré de la distance (\(L^2\)). -
💡
Point Clé 4 : Température
La chaleur active la diffusion en augmentant l'agitation moléculaire et (pour les liquides) en réduisant la viscosité.
🎛️ Simulateur interactif
Modifiez les paramètres pour voir l'impact sur le profil de concentration et le flux.
Paramètres
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Si la température augmente, que fait le flux de diffusion dans un liquide ?
2. Le signe "moins" dans la loi de Fick signifie :
📚 Glossaire
- Convection
- Transport de matière dû au mouvement d'ensemble du fluide (courant). Contraire de la diffusion.
- État Stationnaire
- État où les grandeurs physiques (concentration, température) ne varient plus dans le temps en un point donné.
- Entropie
- Grandeur thermodynamique mesurant le désordre. La diffusion est un processus irréversible qui crée de l'entropie.
- Isotrope
- Qui a les mêmes propriétés physiques dans toutes les directions.
- Gradient
- Taux de variation d'une grandeur physique en fonction de la position.
Le Saviez-vous ?
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