Distribution de Fermi-Dirac et Électrons dans un Métal

Contexte : Le gaz d'électrons libresModèle simplifié où les électrons de valence d'un métal sont traités comme un gaz de particules non-interagissantes confinées dans le volume du solide..

En thermodynamique statistique, le comportement des électrons dans un métal est un exemple fascinant de la physique quantique à l'échelle macroscopique. Contrairement aux gaz classiques, les électrons sont des fermionsType de particule (comme l'électron) qui obéit au principe d'exclusion de Pauli. Deux fermions identiques ne peuvent occuper le même état quantique simultanément. et obéissent à la statistique de Fermi-Dirac. Ce modèle nous permet de comprendre des propriétés fondamentales des métaux, comme leur conductivité électrique et leur capacité thermique. Dans cet exercice, nous allons appliquer ces principes au cuivre, un excellent conducteur.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre pourquoi la physique classique échoue à décrire les électrons dans un solide et comment la statistique quantique de Fermi-Dirac offre une explication précise de leurs propriétés thermiques, notamment leur très faible contribution à la chaleur spécifique à température ambiante.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la statistique de Fermi-Dirac à un système physique réel (les électrons dans le cuivre).
Calculer la densité d'électrons et l'énergie de Fermi, une grandeur clé en physique du solide.
Comprendre le concept de densité d'états électroniques.
Estimer la chaleur spécifique électronique et la comparer à la prédiction classique pour en saisir la différence fondamentale.

Données de l'étude

On modélise les électrons de valence du cuivre comme un gaz d'électrons libres confiné dans le volume du métal. On cherche à déterminer ses principales caractéristiques thermodynamiques.

Fiche Technique du Cuivre (Cu)

Caractéristique	Valeur
Masse Molaire (M)	63.5 g/mol
Masse Volumique (ρ)	8960 kg/m³
Électrons de valence par atome	1

Modèle du gaz d'électrons libres

Constante Physique	Symbole	Valeur
Constante de Planck	\(h\)	\(6.626 \times 10^{-34} \text{ J·s}\)
Masse de l'électron	\(m_e\)	\(9.109 \times 10^{-31} \text{ kg}\)
Constante de Boltzmann	\(k_B\)	\(1.381 \times 10^{-23} \text{ J/K}\)
Nombre d'Avogadro	\(N_A\)	\(6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}\)
Constante des gaz parfaits	\(R\)	\(8.314 \text{ J/(mol·K)}\)

Questions à traiter

Calculer la densité volumique d'électrons de valence (\(n\)) pour le cuivre.
Calculer l'énergie de Fermi (\(E_F\)) du cuivre à T = 0 K, en Joules puis en électron-volts (eV).
Déterminer l'énergie moyenne par électron \(\langle E \rangle\) à T = 0 K.
Estimer la chaleur spécifique molaire électronique (\(C_{V,m}\)) du cuivre à température ambiante (T = 300 K).
Comparer cette valeur à la prédiction classique (\(3/2 R\)) et conclure sur l'apport du modèle quantique.

Les bases de la Statistique de Fermi-Dirac

Les électrons sont des fermions, des particules indiscernables de spin demi-entier. Ils sont soumis au principe d'exclusion de Pauli, qui stipule que deux électrons ne peuvent occuper le même état quantique. Leur distribution en énergie n'est donc pas classique (Maxwell-Boltzmann) mais suit la statistique de Fermi-Dirac.

1. Fonction de distribution de Fermi-Dirac
La probabilité \(f_{FD}(E)\) qu'un état d'énergie \(E\) soit occupé par un électron à une température \(T\) est donnée par : \[ f_{FD}(E) = \frac{1}{e^{(E - \mu) / k_B T} + 1} \] Où \(\mu\) est le potentiel chimique. À T=0 K, \(\mu\) est égal à l'énergie de Fermi \(E_F\).

2. Densité d'états pour un gaz 3D
Le nombre d'états quantiques disponibles par unité de volume et par unité d'énergie est donné par la densité d'états \(g(E)\). Pour un gaz d'électrons libres en 3D, elle vaut : \[ g(E) = \frac{1}{2\pi^2} \left( \frac{2m_e}{\hbar^2} \right)^{3/2} E^{1/2} \] où \(\hbar = h / 2\pi\).

Correction : Distribution de Fermi-Dirac et Électrons dans un Métal

Question 1 : Calculer la densité volumique d'électrons (\(n\))

Principe

La densité volumique d'électrons (\(n\)) est le nombre total d'électrons de valence par unité de volume. On la calcule en faisant le pont entre les propriétés macroscopiques du matériau (masse volumique, masse molaire) et sa structure atomique (nombre d'électrons par atome).

Mini-Cours

La matière est constituée d'atomes. Le nombre d'atomes dans une mole est donné par le nombre d'Avogadro, \(N_A\). En connaissant la masse d'une mole (masse molaire \(M\)) et la masse d'un certain volume (via la masse volumique \(\rho\)), on peut déterminer le nombre d'atomes par unité de volume. Si chaque atome libère un certain nombre d'électrons dans le 'gaz', la densité d'électrons en découle directement.

Remarque Pédagogique

Voyez le nombre d'Avogadro comme un "pont de conversion" entre le monde microscopique (atomes) et le monde macroscopique (moles, grammes). C'est l'outil clé pour passer de l'un à l'autre.

Normes

Ce calcul relève de la physique fondamentale. Dans un contexte d'ingénierie des matériaux, les valeurs de masse molaire et de masse volumique seraient tirées de normes internationales comme celles de l'ASTM ou de l'ISO pour garantir la traçabilité et la précision.

Formule(s)

Formule de la densité d'électrons

n = \frac{\rho \cdot N_A}{M}

Hypothèses

Le cuivre est un cristal parfait, sans défauts ni impuretés.
Chaque atome de cuivre contribue avec exactement un électron au gaz d'électrons libres.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse Volumique	\(\rho\)	8960	kg/m³
Nombre d'Avogadro	\(N_A\)	\(6.022 \times 10^{23}\)	mol⁻¹
Masse Molaire	\(M\)	\(63.5 \times 10^{-3}\)	kg/mol

Astuces

Pour vérifier l'ordre de grandeur, souvenez-vous que la densité d'atomes (et donc d'électrons) dans un solide est typiquement de l'ordre de \(10^{28}\) à \(10^{29} \text{ m}^{-3}\). Si votre résultat est très différent, il y a probablement une erreur d'unité.

Schéma (Avant les calculs)

Conversion de l'échelle macroscopique à microscopique

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} n &= \frac{(8960 \text{ kg/m}^3) \cdot (6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1})}{63.5 \times 10^{-3} \text{ kg/mol}} \\ &\approx 8.49 \times 10^{28} \text{ m}^{-3} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur scalaire (une densité), il n'y a donc pas de diagramme ou de schéma de résultat pertinent ici.

Réflexions

Ce nombre, \(8.49 \times 10^{28}\) électrons par mètre cube, est astronomique. Il illustre l'incroyable densité de porteurs de charge dans un métal, ce qui est à la base de leur excellente conductivité électrique.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une mauvaise gestion des unités. La masse molaire est souvent donnée en g/mol mais la masse volumique est en kg/m³. Il faut impérativement convertir la masse molaire en kg/mol pour que les unités s'annulent correctement.

Points à retenir

La méthode de calcul de la densité de particules à partir de la masse volumique et molaire.
L'ordre de grandeur typique de la densité électronique dans un métal (\(\sim 10^{28} \text{ m}^{-3}\)).

Le saviez-vous ?

Cette haute densité d'électrons est responsable de la "fréquence plasma" des métaux. La lumière visible a une fréquence inférieure à cette fréquence plasma, ce qui explique pourquoi les métaux sont opaques et réfléchissants : les ondes lumineuses ne peuvent pas se propager à travers ce "bouclier" d'électrons denses.

FAQ

Résultat Final

La densité volumique d'électrons de valence dans le cuivre est d'environ \(8.49 \times 10^{28} \text{ électrons/m}^3\).

A vous de jouer

Calculez la densité d'électrons pour l'Argent (Ag), sachant que \(\rho = 10490 \text{ kg/m}^3\), \(M = 107.87 \text{ g/mol}\) et qu'il a 1 électron de valence. (Réponse attendue : \(5.86 \times 10^{28} \text{ m}^{-3}\)).

Question 2 : Calculer l'énergie de Fermi (\(E_F\)) à T = 0 K

Principe

À T=0 K, les électrons remplissent tous les niveaux d'énergie disponibles du plus bas jusqu'à une énergie maximale, appelée énergie de Fermi (\(E_F\)). Cette énergie dépend uniquement de la densité d'électrons \(n\). Elle représente l'énergie de l'électron le plus énergétique dans l'état fondamental du système.

Mini-Cours

Imaginez des seaux (les états quantiques) que l'on remplit d'eau (les électrons). À cause du principe de Pauli, on ne peut mettre que deux électrons par seau (spin haut et spin bas). On remplit donc les seaux du plus bas (basse énergie) au plus haut. L'énergie de Fermi est simplement la hauteur d'eau atteinte une fois que tous les électrons ont été placés. C'est une conséquence directe de la nature quantique des fermions.

Remarque Pédagogique

L'énergie de Fermi n'est pas une énergie thermique. C'est une énergie "cinétique" minimale imposée par la mécanique quantique, même au zéro absolu. C'est une "énergie du confinement" des électrons dans la boîte qu'est le métal.

Normes

Les valeurs des constantes fondamentales (\(h\), \(m_e\)) utilisées dans le calcul sont définies internationalement par le CODATA (Committee on Data for Science and Technology).

Formule(s)

Formule de l'énergie de Fermi

E_F = \frac{h^2}{8m_e} \left( \frac{3n}{\pi} \right)^{2/3}

Hypothèses

Le modèle du gaz d'électrons est supposé parfaitement libre (pas d'interaction électron-électron ni électron-réseau).
Le calcul est effectué à T = 0 K, où la fonction de Fermi-Dirac est une marche d'escalier parfaite.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Densité d'électrons	\(n\)	\(8.49 \times 10^{28}\)	m⁻³
Constante de Planck	\(h\)	\(6.626 \times 10^{-34}\)	J·s
Masse de l'électron	\(m_e\)	\(9.109 \times 10^{-31}\)	kg

Astuces

Le calcul implique une puissance 2/3. Sur une calculatrice, cela se fait en élevant d'abord au carré puis en prenant la racine cubique, ou en utilisant la fonction \(x^y\) avec \(y \approx 0.6667\). Attention aux parenthèses lors de la saisie !

Schéma (Avant les calculs)

Remplissage des niveaux d'énergie à T = 0 K

Calcul(s)

Calcul de l'énergie de Fermi en Joules

\begin{aligned} E_F &= \frac{h^2}{8m_e} \left( \frac{3n}{\pi} \right)^{2/3} \\ &= \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{8 \cdot (9.109 \times 10^{-31})} \left( \frac{3 \cdot (8.49 \times 10^{28})}{\pi} \right)^{2/3} \\ &\approx (6.02 \times 10^{-38}) \cdot (1.86 \times 10^{19}) \\ &\approx 1.12 \times 10^{-18} \text{ J} \end{aligned}

Conversion en électron-volts (eV)

\begin{aligned} E_F (\text{eV}) &= \frac{1.12 \times 10^{-18} \text{ J}}{1.602 \times 10^{-19} \text{ J/eV}} \\ &\approx 7.0 \text{ eV} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Niveau de Fermi calculé pour le Cuivre

Réflexions

Une énergie de 7.0 eV est considérable. Elle correspond à une température équivalente \(T_F = E_F/k_B \approx 81,000\) K. Cela signifie que même à température ambiante (~300 K), le gaz d'électrons est dans un état de "dégénérescence quantique" quasi complet, très loin du régime classique.

Points de vigilance

Attention à bien utiliser \(\hbar = h/2\pi\) si la formule l'exige, ou bien \(h\) et les facteurs \(\pi\) comme nous l'avons fait. Les deux formules sont équivalentes mais une confusion mène à une erreur. La puissance 2/3 est aussi une source d'erreur fréquente.

Points à retenir

La formule de l'énergie de Fermi et sa dépendance en \(n^{2/3}\).
La signification physique de \(E_F\) comme énergie maximale à 0 K.
L'ordre de grandeur de \(E_F\) dans les métaux (quelques eV).

Le saviez-vous ?

L'énergie de Fermi est une notion cruciale dans la conception des semi-conducteurs, des diodes et des transistors. La différence entre les énergies de Fermi de deux matériaux mis en contact est ce qui crée les barrières de potentiel qui sont à la base de toute l'électronique moderne.

FAQ

Résultat Final

L'énergie de Fermi du cuivre est d'environ \(1.12 \times 10^{-18} \text{ J}\), soit environ \(7.0 \text{ eV}\).

A vous de jouer

Si on double la densité d'électrons \(n\), par quel facteur l'énergie de Fermi est-elle multipliée ? (Réponse : \(2^{2/3} \approx 1.59\)).

Question 3 : Déterminer l'énergie moyenne par électron \(\langle E \rangle\) à T = 0 K

Principe

À T = 0 K, tous les niveaux d'énergie jusqu'à \(E_F\) sont remplis. L'énergie moyenne n'est pas simplement \(E_F/2\) car la densité d'états \(g(E)\) n'est pas constante (elle varie en \(E^{1/2}\)). L'énergie moyenne est donc calculée en moyennant l'énergie sur tous les états occupés, en tenant compte de cette densité d'états.

Mini-Cours

L'énergie totale \(U\) du gaz d'électrons se trouve en intégrant le produit de l'énergie \(E\), de la densité d'états \(g(E)\) et de la fonction de distribution \(f_{FD}(E)\). L'énergie moyenne est cette énergie totale divisée par le nombre total d'électrons \(N\). À T=0K, \(f_{FD}(E)\) est une fonction marche, ce qui simplifie l'intégrale.

Remarque Pédagogique

Ce calcul montre que la plupart des électrons ont une énergie bien inférieure à l'énergie de Fermi. Seule une petite fraction des électrons se trouve au "sommet" de la mer de Fermi. C'est un point crucial pour comprendre la chaleur spécifique.

Normes

Non applicable. Il s'agit d'une dérivation théorique fondamentale.

Formule(s)

Formule de l'énergie moyenne

\langle E \rangle_{T=0} = \frac{\int_0^{E_F} E \cdot g(E) \,dE}{\int_0^{E_F} g(E) \,dE} = \frac{3}{5} E_F

Hypothèses

Le calcul est strictement valide à T = 0 K.
Le modèle du gaz d'électrons libres avec sa densité d'états en \(E^{1/2}\) est supposé correct.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Énergie de Fermi	\(E_F\)	7.0	eV

Astuces

Retenez simplement le facteur 3/5. C'est un résultat classique et très utile pour l'énergie interne d'un gaz de Fermi à basse température.

Schéma (Avant les calculs)

Mer de Fermi et Énergie Moyenne

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} \langle E \rangle &= \frac{3}{5} \times 7.0 \text{ eV} \\ &= 4.2 \text{ eV} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Position de l'énergie moyenne à T=0K

Réflexions

Même au zéro absolu, l'électron moyen dans le cuivre possède une énergie cinétique de 4.2 eV, ce qui est très élevé. Cela montre à quel point l'état fondamental d'un système quantique peut être énergétique.

Points de vigilance

Ne pas confondre l'énergie moyenne \(\langle E \rangle\) avec l'énergie de Fermi \(E_F\). \(E_F\) est l'énergie maximale, tandis que \(\langle E \rangle\) est la moyenne sur tous les électrons.

Points à retenir

La relation simple \(\langle E \rangle = \frac{3}{5} E_F\) à T = 0 K.
La compréhension que l'énergie moyenne est significativement non nulle au zéro absolu.

Le saviez-vous ?

Le concept d'un gaz de Fermi dégénéré avec une énergie moyenne élevée est utilisé pour modéliser l'intérieur des étoiles naines blanches. La pression exercée par ce gaz d'électrons, appelée "pression de dégénérescence", est ce qui empêche l'étoile de s'effondrer sur elle-même sous l'effet de sa propre gravité.

FAQ

Résultat Final

L'énergie moyenne par électron dans le cuivre à 0 K est de \(4.2 \text{ eV}\).

A vous de jouer

Pour un système de fermions en 2D (comme le graphène), on peut montrer que \(\langle E \rangle = \frac{1}{2} E_F\). Si un tel système a une \(E_F\) de 4 eV, quelle est son énergie moyenne par particule ? (Réponse : \(2 \text{ eV}\)).

Question 4 : Estimer la chaleur spécifique molaire électronique (\(C_{V,m}\)) à T = 300 K

Principe

Lorsque la température augmente (T > 0 K), seuls les électrons dans une fine bande d'énergie d'environ \(k_B T\) autour de l'énergie de Fermi peuvent être excités thermiquement. La grande majorité des électrons, situés à des énergies bien inférieures, ne peuvent pas absorber d'énergie car les états supérieurs sont déjà occupés. C'est ce qui explique la faible contribution des électrons à la chaleur spécifique.

Mini-Cours

La chaleur spécifique est la quantité d'énergie nécessaire pour élever la température d'une certaine quantité de matière. Pour les électrons, elle est liée à la variation de l'énergie interne avec la température (\(C_V = dU/dT\)). Comme seulement une petite fraction des électrons (environ \(T/T_F\)) peut changer d'énergie, la chaleur spécifique est fortement réduite par rapport à un gaz classique où tous les électrons participent.

Remarque Pédagogique

C'est l'un des résultats les plus importants de ce modèle. Il résout une énigme historique de la physique du solide : pourquoi les électrons, si nombreux, semblent ne quasiment pas contribuer à la capacité thermique des métaux à température ambiante.

Normes

Non applicable. Il s'agit d'une approximation théorique (dite de Sommerfeld) pour les basses températures.

Formule(s)

Formule de la chaleur spécifique électronique

C_{V,m} \approx \frac{\pi^2}{2} R \frac{T}{T_F} = \frac{\pi^2}{2} R \frac{k_B T}{E_F}

Hypothèses

L'approximation de basse température (\(T \ll T_F\)) est valide. Pour le cuivre, \(T_F \approx 81000\) K, donc à 300 K, cette condition est largement remplie.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Énergie de Fermi	\(E_F\)	\(1.12 \times 10^{-18}\)	J
Température	\(T\)	300	K
Constante de Boltzmann	\(k_B\)	\(1.381 \times 10^{-23}\)	J/K
Constante des gaz parfaits	\(R\)	8.314	J/(mol·K)

Astuces

Le rapport \(T/T_F\) (ou \(k_B T / E_F\)) est un petit nombre sans dimension qui représente la "fraction" d'électrons qui participent à l'absorption de chaleur. Calculez d'abord ce rapport, puis multipliez-le par les constantes.

Schéma (Avant les calculs)

Distribution de Fermi-Dirac à T > 0 K

Calcul(s)

Calcul de la chaleur spécifique

\begin{aligned} C_{V,m} &\approx \frac{\pi^2}{2} R \left( \frac{k_B T}{E_F} \right) \\ &\approx \frac{\pi^2}{2} \cdot (8.314 \text{ J/(mol·K)}) \cdot \left( \frac{(1.381 \times 10^{-23} \text{ J/K}) \cdot (300 \text{ K})}{1.12 \times 10^{-18} \text{ J}} \right) \\ &\approx \frac{\pi^2}{2} \cdot (8.314 \text{ J/(mol·K)}) \cdot (0.0037) \\ &\approx (4.935) \cdot (8.314 \text{ J/(mol·K)}) \cdot (0.0037) \\ &\approx 0.15 \text{ J/(mol·K)} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Contribution électronique à la chaleur spécifique du Cuivre (300 K)

Réflexions

La valeur de 0.15 J/(mol·K) est très faible. À titre de comparaison, la chaleur spécifique totale mesurée pour le cuivre est d'environ 24.5 J/(mol·K). La contribution des électrons est donc de l'ordre de 0.6% du total, ce qui est en accord avec les mesures expérimentales.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser des unités cohérentes pour \(k_B T\) et \(E_F\) (les deux en Joules, par exemple). Ne mélangez pas Joules et eV dans le même rapport.

Points à retenir

La chaleur spécifique électronique est proportionnelle à la température à basses températures.
Elle est fortement réduite par le facteur \(T/T_F\) par rapport au cas classique.

Le saviez-vous ?

À très basses températures (quelques Kelvins), la contribution des vibrations du réseau (phonons), qui varie en \(T^3\), devient plus faible que la contribution électronique qui varie en \(T\). Dans ce régime, la chaleur spécifique des métaux est dominée par les électrons !

FAQ

Résultat Final

La chaleur spécifique molaire électronique du cuivre à 300 K est d'environ \(0.15 \text{ J/(mol·K)}\).

A vous de jouer

En utilisant le résultat, estimez la chaleur spécifique électronique du cuivre à la température de l'azote liquide (77 K). (Indice : elle est proportionnelle à T). Réponse : \(0.15 \times (77/300) \approx 0.038 \text{ J/(mol·K)}\).

Question 5 : Comparer avec la prédiction classique

Principe

La physique statistique classique, via le théorème de l'équipartition de l'énergie, traite les électrons comme un gaz parfait monoatomique. Chaque électron aurait une énergie cinétique moyenne de \(3/2 k_B T\), ce qui conduit à une prédiction simple pour la chaleur spécifique, indépendante de la température.

Mini-Cours

Le théorème de l'équipartition stipule qu'à l'équilibre thermique, chaque degré de liberté quadratique (comme les composantes de la vitesse \(v_x^2, v_y^2, v_z^2\)) a une énergie moyenne de \(1/2 k_B T\). Pour un gaz de particules libres en 3D, cela donne une énergie moyenne totale de \(3/2 k_B T\) par particule. L'énergie interne d'une mole est donc \(U_m = N_A \cdot (3/2 k_B T) = 3/2 R T\), et \(C_{V,m} = dU_m/dT = 3/2 R\).

Remarque Pédagogique

Cette confrontation met en lumière une des "catastrophes" de la physique classique. L'application directe de ses principes menait à une prédiction pour la chaleur spécifique des métaux qui était totalement fausse expérimentalement. C'est ce genre d'échec qui a motivé le développement de la mécanique quantique.

Normes

La loi de Dulong et Petit (qui prédit une chaleur spécifique molaire de \(3R\) pour les solides) est une loi empirique classique qui fonctionne bien pour les isolants à haute température, mais échoue pour les métaux à cause de la contribution électronique mal comprise.

Formule(s)

Formule de la chaleur spécifique classique

C_{V,m}^{\text{classique}} = \frac{3}{2} R

Hypothèses

Les électrons sont des particules classiques discernables qui obéissent à la statistique de Maxwell-Boltzmann.
Le principe d'exclusion de Pauli est ignoré.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Constante des gaz parfaits	\(R\)	8.314	J/(mol·K)

Astuces

La valeur de \(3/2 R\) est une constante fondamentale dans ce contexte, valant approximativement 12.5 J/(mol·K). C'est une bonne valeur à avoir en tête.

Schéma (Avant les calculs)

Non pertinent.

Calcul(s)

Calcul de la valeur classique

\begin{aligned} C_{V,m}^{\text{classique}} &= \frac{3}{2} R \\ &= \frac{3}{2} \cdot 8.314 \text{ J/(mol·K)} \\ &\approx 12.47 \text{ J/(mol·K)} \end{aligned}

Rapport des deux valeurs

\begin{aligned} \frac{C_{V,m}^{\text{quantique}}}{C_{V,m}^{\text{classique}}} &= \frac{0.15 \text{ J/(mol·K)}}{12.47 \text{ J/(mol·K)}} \\ &\approx 0.012 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des chaleurs spécifiques électroniques (vs Température)

Réflexions

Le résultat quantique est environ 100 fois plus faible que la prédiction classique ! C'est une réussite majeure du modèle de Fermi-Dirac. Il explique pourquoi, à température ambiante, la chaleur spécifique des métaux est presque entièrement due aux vibrations du réseau cristallin (phonons) et non aux électrons. La prédiction classique était en désaccord flagrant avec les expériences, un des grands mystères résolus par la mécanique quantique.

Points de vigilance

Ne pas confondre la chaleur spécifique électronique (des électrons) et la chaleur spécifique totale du matériau (électrons + phonons).

Points à retenir

La prédiction classique pour la chaleur spécifique électronique est \(3/2 R\), une constante.
La prédiction quantique est proportionnelle à T et beaucoup plus faible à température ambiante.
Cet écart est une preuve directe de la nécessité de la mécanique quantique pour décrire les électrons dans les solides.

Le saviez-vous ?

Le modèle du gaz d'électrons libres a été proposé par Drude en 1900, avant la mécanique quantique. Il expliquait remarquablement bien la conductivité électrique (loi d'Ohm) mais échouait totalement sur la chaleur spécifique. Il a fallu attendre les travaux de Sommerfeld en 1927, appliquant la nouvelle statistique de Fermi-Dirac, pour résoudre ce paradoxe.

FAQ

Résultat Final

La valeur quantique (\(0.15 \text{ J/(mol·K)}\)) est seulement 1.2% de la valeur prédite par la physique classique (\(12.47 \text{ J/(mol·K)}\)).

A vous de jouer

La chaleur spécifique due aux vibrations du réseau (phonons) à température ambiante est d'environ \(3R\). Quelle est la chaleur spécifique totale prédite pour un métal (phonons + électrons quantiques) ? Comparez-la à celle d'un isolant (juste les phonons). Concluez.

Outil Interactif : Distribution de Fermi-Dirac

Ce simulateur vous permet de visualiser comment la fonction de distribution de Fermi-Dirac, qui donne la probabilité d'occupation d'un niveau d'énergie, évolue avec la température pour une énergie de Fermi donnée.

Paramètres d'Entrée

Température (T) 300 K

Énergie de Fermi (E_F) 7.0 eV

Caractéristiques

Largeur de la transition (~\(k_B T\)) -

Température de Fermi (\(T_F\)) -

Énergie de Fermi (\(E_F\)): Dans un système de fermions à T=0 K, c'est l'énergie du niveau quantique le plus élevé occupé. Elle définit la frontière entre les états occupés et les états vides.
Statistique de Fermi-Dirac: Loi statistique qui décrit la distribution des particules indiscernables de spin demi-entier (fermions) sur les niveaux d'énergie, en tenant compte du principe d'exclusion de Pauli.
Gaz d'électrons libres: Modèle quantique simple qui traite les électrons de valence dans un métal comme un gaz de particules non-interagissantes, confinées dans le volume du solide mais libres de s'y déplacer.
Densité d'états (\(g(E)\)): Fonction qui décrit le nombre d'états quantiques disponibles pour les électrons par unité d'énergie et par unité de volume.