Distribution de Fermi-Dirac et Électrons dans un Métal

Comprendre la Distribution de Fermi-Dirac

La statistique de Fermi-Dirac s'applique aux fermions, des particules comme les électrons qui obéissent au principe d'exclusion de Pauli (deux fermions ne peuvent occuper le même état quantique). Dans un métal, les électrons de valence se comportent comme un "gaz" de fermions. À la différence des gaz classiques, même à la température du zéro absolu, les électrons remplissent les niveaux d'énergie jusqu'à une énergie maximale appelée l'énergie de Fermi (\(E_F\)). La distribution de Fermi-Dirac, \(f_{FD}(E)\), donne la probabilité qu'un état d'énergie \(E\) soit occupé par un électron à une température \(T\). Cette distribution explique de nombreuses propriétés des métaux, comme leur conductivité électrique et leur capacité thermique.

Données de l'étude

On s'intéresse au gaz d'électrons dans le cuivre (Cu) à température ambiante.

Conditions et constantes :

Métal : Cuivre (Cu)
Énergie de Fermi du cuivre (\(E_F\)) : \(7.00 \, \text{eV}\)
Température d'étude (\(T\)) : \(300 \, \text{K}\)
Constante de Boltzmann (\(k_B\)) : \(8.617 \times 10^{-5} \, \text{eV/K}\)

Distribution de Fermi-Dirac

Questions à traiter

Écrire la fonction de distribution de Fermi-Dirac \(f_{FD}(E)\). Que devient-elle à T = 0 K ?
Calculer l'énergie thermique \(k_B T\) en électron-volts (eV) à 300 K.
Calculer la probabilité qu'un état d'énergie \(E = E_F + 2k_B T\) soit occupé à 300 K.
Calculer la probabilité qu'un état d'énergie \(E = E_F - 2k_B T\) soit occupé à 300 K.
Commenter les résultats et la faible proportion d'électrons excités thermiquement à température ambiante.

Correction : Distribution de Fermi-Dirac et Électrons dans un Métal

Question 1 : Fonction de Fermi-Dirac

Principe :

La fonction de distribution de Fermi-Dirac donne la probabilité moyenne d'occupation d'un état d'énergie \(E\) par un fermion à la température \(T\).

Formule :

f_{FD}(E) = \frac{1}{e^{(E-E_F)/(k_B T)} + 1}

À \(T = 0 \text{ K}\) :

Si \(E < E_F\), l'exposant tend vers \(-\infty\), donc \(e^{-\infty} = 0\). \(f_{FD}(E) = \frac{1}{0+1} = 1\).
Si \(E > E_F\), l'exposant tend vers \(+\infty\), donc \(e^{+\infty} = \infty\). \(f_{FD}(E) = \frac{1}{\infty+1} = 0\).

La distribution est donc une fonction "marche d'escalier" : tous les états sous \(E_F\) sont occupés, tous ceux au-dessus sont vides.

Question 2 : Calcul de l'Énergie Thermique \(k_B T\)

Principe :

On calcule l'énergie associée à l'agitation thermique à la température donnée. C'est une énergie de référence pour évaluer l'excitation des électrons.

Calcul :

\begin{aligned} k_B T &= (8.617 \times 10^{-5} \, \text{eV/K}) \times (300 \, \text{K}) \\ &\approx 0.02585 \, \text{eV} \end{aligned}

Résultat Question 2 : L'énergie thermique à 300 K est d'environ \(0.026 \, \text{eV}\).

Question 3 : Probabilité d'Occupation pour \(E > E_F\)

Principe :

On applique la formule de Fermi-Dirac pour un état d'énergie situé à \(2k_B T\) au-dessus de l'énergie de Fermi.

Calcul :

L'exposant vaut \((E-E_F)/(k_B T) = (2k_B T) / (k_B T) = 2\).

\begin{aligned} f_{FD}(E_F + 2k_B T) &= \frac{1}{e^2 + 1} \\ &\approx \frac{1}{7.389 + 1} \\ &= \frac{1}{8.389} \approx 0.1192 \end{aligned}

Résultat Question 3 : La probabilité d'occupation est d'environ 11.9%.

Question 4 : Probabilité d'Occupation pour \(E < E_F\)

Principe :

On applique la formule pour un état situé à \(2k_B T\) en dessous de l'énergie de Fermi.

Calcul :

L'exposant vaut \((E-E_F)/(k_B T) = (-2k_B T) / (k_B T) = -2\).

\begin{aligned} f_{FD}(E_F - 2k_B T) &= \frac{1}{e^{-2} + 1} \\ &\approx \frac{1}{0.1353 + 1} \\ &= \frac{1}{1.1353} \approx 0.8808 \end{aligned}

Résultat Question 4 : La probabilité d'occupation est d'environ 88.1%.

Question 5 : Commentaire et Conclusion

Analyse :

À température ambiante (\(T=300\) K), l'énergie thermique (\(k_B T \approx 0.026\) eV) est très petite comparée à l'énergie de Fermi du cuivre (\(E_F = 7.0\) eV). Les calculs montrent que les états bien en dessous de \(E_F\) sont presque certainement occupés (probabilité proche de 1) et ceux bien au-dessus sont presque certainement vides (probabilité proche de 0). L'agitation thermique ne parvient à "brouiller" la distribution en marche d'escalier que dans une très fine bande d'énergie autour de \(E_F\), de l'ordre de quelques \(k_B T\). Seuls les électrons dans cette bande peuvent être excités et participer aux phénomènes de conduction.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. À n'importe quelle température \(T > 0\), quelle est la probabilité d'occupation d'un état à l'énergie de Fermi, \(E = E_F\) ?

1
0
1/2
Dépend de la température.

Indice : Calculez la fonction pour \(E - E_F = 0\).

2. La statistique de Fermi-Dirac s'applique aux...

Fermions, qui suivent le principe d'exclusion de Pauli.
Bosons, qui peuvent occuper le même état.
Toutes les particules, qu'elles soient classiques ou quantiques.
Particules dans un gaz à haute température uniquement.

Glossaire

Statistique de Fermi-Dirac: Loi statistique qui décrit la distribution d'énergie de particules indiscernables qui obéissent au principe d'exclusion de Pauli (fermions).
Fermion: Type de particule (comme l'électron, le proton, le neutron) caractérisée par un spin demi-entier. Les fermions sont soumis au principe d'exclusion de Pauli.
Principe d'Exclusion de Pauli: Principe de la mécanique quantique stipulant que deux fermions identiques ne peuvent pas occuper simultanément le même état quantique dans un système.
Énergie de Fermi (\(E_F\)): Dans un système de fermions à T = 0 K, c'est l'énergie du niveau le plus élevé occupé. À T > 0 K, c'est le niveau d'énergie qui a une probabilité d'occupation de 1/2.

Distribution de Fermi-Dirac et Électrons dans un Métal