Comparaison des Modèles d'Einstein et de Debye

Au-delà du Modèle d'Einstein : le Modèle de Debye

Le modèle d'Einstein a été un succès pour expliquer qualitativement la chute de la capacité thermique des solides à basse température. Cependant, son accord quantitatif avec l'expérience restait imparfait. Son hypothèse principale, selon laquelle tous les atomes vibrent à la même fréquence, est une simplification excessive. En réalité, les atomes d'un cristal sont couplés et leurs vibrations se propagent sous forme d'ondes collectives (des phonons), avec un large spectre de fréquences. Le modèle de Debye améliore celui d'Einstein en considérant une distribution continue de fréquences de vibration, jusqu'à une fréquence de coupure maximale (\(\nu_D\)). Cette approche est plus réaliste et conduit à une prédiction très précise du comportement de la capacité thermique, notamment la fameuse loi en \(T^3\) à très basse température.

Données de l'étude

On souhaite comparer les prédictions des modèles d'Einstein et de Debye pour la capacité thermique molaire de l'argent (Ag) à basse température.

Conditions et constantes pour l'argent :

Température d'étude (\(T\)) : \(25 \, \text{K}\)
Température d'Einstein (\(\Theta_E\)) : \(165 \, \text{K}\)
Température de Debye (\(\Theta_D\)) : \(225 \, \text{K}\)
Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{\text{-1}} \cdot \text{K}^{\text{-1}}\)

Densité d'États Vibrationnels

Modèle d'Einstein

Une seule fréquence de vibration.

Modèle de Debye

Une distribution de fréquences jusqu'à une coupure.

Questions à traiter

Calculer la capacité thermique molaire \(C_{V,m}\) de l'argent à \(T = 25 \, \text{K}\) selon le modèle d'Einstein.
Énoncer la loi en \(T^3\) de Debye, qui est l'approximation du modèle de Debye à très basse température (\(T \ll \Theta_D\)).
Calculer la capacité thermique molaire \(C_{V,m}\) de l'argent à \(T = 25 \, \text{K}\) selon l'approximation de Debye.
Comparer les deux résultats et discuter de leur pertinence par rapport à la limite classique de Dulong-Petit.

Correction : Comparaison des Modèles d'Einstein et de Debye

Question 1 : Capacité Thermique selon Einstein

Formule et Calcul :

On utilise la formule de la capacité thermique d'Einstein : \( C_{V,m} = 3R \left( \frac{\Theta_E}{T} \right)^2 \frac{e^{\Theta_E / T}}{\left(e^{\Theta_E / T} - 1\right)^2} \).

\frac{\Theta_E}{T} = \frac{165 \, \text{K}}{25 \, \text{K}} = 6.6

e^{\Theta_E / T} = e^{6.6} \approx 735.1

\begin{aligned} C_{V,m}^{\text{Einstein}} &= 3R \cdot (6.6)^2 \cdot \frac{735.1}{(735.1 - 1)^2} \\ &= 3R \cdot (43.56) \cdot \frac{735.1}{734.1^2} \\ &= 3R \cdot (43.56) \cdot (0.00136) \\ &\approx 3R \cdot (0.059) \\ &\approx 0.059 \times (24.94 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}) \\ &\approx 1.47 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \end{aligned}

Résultat Question 1 : Le modèle d'Einstein prédit \(C_{V,m} \approx 1.47 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\).

Question 2 : Loi en \(T^3\) de Debye

Principe :

À très basse température (\(T \ll \Theta_D\)), l'intégrale de la formule complète de Debye peut être approximée. Le résultat est que la capacité thermique devient proportionnelle au cube de la température.

Formule :

C_{V,m} \approx \frac{12\pi^4 R}{5} \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3

Question 3 : Capacité Thermique selon Debye

Principe :

La condition \(T \ll \Theta_D\) est vérifiée car \(25 \, \text{K} \ll 225 \, \text{K}\). On peut donc utiliser la loi en \(T^3\).

Calcul :

\begin{aligned} C_{V,m}^{\text{Debye}} &\approx \frac{12\pi^4 (8.314)}{5} \left(\frac{25}{225}\right)^3 \\ &\approx \frac{12 \cdot (97.409) \cdot (8.314)}{5} \left(\frac{1}{9}\right)^3 \\ &\approx (1943.4) \cdot \left(\frac{1}{729}\right) \\ &\approx 2.666 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \end{aligned}

Résultat Question 3 : Le modèle de Debye prédit \(C_{V,m} \approx 2.67 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\).

Question 4 : Comparaison et Conclusion

Analyse des Résultats :

Prédiction d'Einstein : \(1.47 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\)
Prédiction de Debye : \(2.67 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\)
Limite de Dulong-Petit : \(3R \approx 24.94 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\)

Les deux modèles prédisent correctement que la capacité thermique est très inférieure à la limite classique de \(3R\) à basse température.

Conclusion :

La valeur expérimentale pour l'argent à 25 K est d'environ \(2.85 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\). On voit que la prédiction du modèle de Debye (\(2.67\)) est bien plus proche de la réalité que celle du modèle d'Einstein (\(1.47\)). L'erreur exponentiellement petite du modèle d'Einstein à basse température est corrigée par le modèle de Debye, qui, en incluant les vibrations de basse fréquence (phonons acoustiques), rend mieux compte de l'excitation thermique progressive du solide.

Glossaire

Modèle de Debye: Modèle pour la capacité thermique des solides qui traite les vibrations atomiques comme des phonons dans un milieu continu, avec une distribution de fréquences jusqu'à une fréquence de coupure (fréquence de Debye).
Phonon: Quantum d'énergie de vibration dans un réseau cristallin. C'est l'analogue du photon (quantum de lumière) pour les ondes sonores et thermiques dans un solide.
Température de Debye (\(\Theta_D\)): Température caractéristique d'un solide dans le modèle de Debye. Elle est proportionnelle à la fréquence de coupure maximale des vibrations du réseau. Elle sépare le régime quantique (à \(T \ll \Theta_D\)) du régime classique (à \(T \gg \Theta_D\)).
Loi en \(T^3\) de Debye: Approximation du modèle de Debye à très basse température, qui prédit que la capacité thermique est proportionnelle au cube de la température absolue. C'est une des prédictions les mieux vérifiées de la physique du solide.

Comparaison des Modèles d’Einstein et de Debye