Entropie Statistique d'un Système Simple

Contexte : L'Entropie StatistiqueMesure du désordre d'un système, liée au nombre de configurations microscopiques (microétats) possibles pour un même état macroscopique..

La thermodynamique statistique jette un pont entre le monde microscopique des atomes et des molécules et le monde macroscopique que nous observons. L'une de ses plus grandes réussites est d'avoir donné une définition fondamentale de l'entropie. Selon Ludwig Boltzmann, l'entropie \(S\) d'un système isolé est liée au nombre de microétatsUne configuration microscopique spécifique du système (par exemple, l'état de chaque particule). accessibles, \(\Omega\), par la célèbre formule \(S = k_{\text{B}} \ln \Omega\). Cet exercice vise à appliquer cette définition à un système simple pour en comprendre le sens profond.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à dénombrer les configurations microscopiques d'un système et à calculer directement son entropie, illustrant ainsi le lien fondamental entre le désordre microscopique et une propriété thermodynamique macroscopique.

Objectifs Pédagogiques

Définir et calculer le nombre de microétats \(\Omega\) pour un système simple.
Appliquer la formule de l'entropie de Boltzmann.
Comprendre comment l'entropie varie en fonction de la distribution de l'énergie.
Identifier l'état macroscopique le plus probable d'un système.

Données de l'étude

On considère un système isolé composé de \(N\) particules discernables et sans interaction. Chaque particule ne peut exister que dans deux niveaux d'énergie : un état fondamental d'énergie \(\epsilon_0 = 0\) et un état excité d'énergie \(\epsilon_1 = \epsilon\). L'énergie totale du système est fixée.

Fiche Technique du Système

Caractéristique	Valeur
Nombre total de particules	\(N\)
Énergie du niveau fondamental	\(\epsilon_0 = 0\)
Énergie du niveau excité	\(\epsilon_1 = \epsilon\)

Modèle du système à deux niveaux

Pour la suite de l'exercice, nous ferons une application numérique avec un système de \(N=4\) particules.

Questions à traiter

Exprimer le nombre de microétats \(\Omega(N, n)\) pour un macroétatUn état décrit par des grandeurs macroscopiques, ici (N, E). L'énergie totale E est fixée par le nombre n de particules excitées : E = nε. où \(n\) particules sont à l'état excité.
Calculez \(\Omega(N, n)\) pour un système de \(N=4\) particules pour toutes les valeurs possibles de \(n\) (de 0 à 4).
En utilisant la formule de Boltzmann, exprimez l'entropie statistique \(S(N, n)\) de ce macroétat.
Calculez l'entropie pour chaque macroétat de la question 2. Exprimez les résultats en unités de la constante de Boltzmann \(k_{\text{B}}\) (c'est-à-dire, calculez \(S/k_{\text{B}}\)).
Pour quelle distribution des particules (quelle valeur de \(n\)) l'entropie est-elle maximale ? Interprétez ce résultat en termes de probabilité et de désordre.

Les bases sur l'Entropie Statistique

L'approche statistique de la thermodynamique repose sur quelques idées fondamentales pour décrire le comportement de systèmes composés d'un grand nombre de particules.

1. Microétats et Macroétats
Un macroétat est défini par des variables macroscopiques (Énergie E, Volume V, Nombre de particules N). Un microétat est une description complète de l'état de chaque particule du système. Un seul macroétat peut correspondre à un nombre gigantesque, \(\Omega\), de microétats différents.

2. Postulat Fondamental et Formule de Boltzmann
Pour un système isolé à l'équilibre, le postulat fondamental stipule que tous les microétats accessibles sont équiprobables. L'entropie est alors directement liée au nombre de ces microétats par la formule de Boltzmann : \[ S = k_{\text{B}} \ln \Omega(E, V, N) \] où \(k_{\text{B}}\) est la constante de Boltzmann (\(1.38 \times 10^{-23}\) \(\text{J/K}\)). L'entropie mesure ainsi le "manque d'information" sur le microétat exact du système, ou plus intuitivement, son "désordre".

Correction : Entropie Statistique d’un Système Simple

Question 1 : Expression du nombre de microétats \(\Omega(N, n)\)

Principe

Le problème revient à se demander : "De combien de manières différentes puis-je choisir \(n\) particules parmi les \(N\) particules totales pour les placer dans l'état excité ?". Les \(N-n\) particules restantes seront automatiquement dans l'état fondamental. Il s'agit d'un problème classique de combinatoire.

Formule(s)

Le nombre de façons de choisir \(k\) éléments parmi un ensemble de \(n\) éléments, sans remise et sans ordre, est donné par le coefficient binomial.

\Omega(N, n) = \binom{N}{n} = \frac{N!}{n!(N-n)!}

Résultat Final

Le nombre de microétats pour un macroétat avec \(n\) particules excitées est donné par la combinaison de \(n\) parmi \(N\) : \(\Omega(N, n) = \frac{N!}{n!(N-n)!}\).

Question 2 : Calcul de \(\Omega(4, n)\)

Principe (le concept physique)

Le principe ici est le dénombrement. Pour chaque macroétat (défini par un nombre \(n\) de particules excitées), nous devons compter de combien de manières uniques nous pouvons arriver à cet état. Comme les particules sont discernables, échanger une particule excitée avec une particule à l'état fondamental ne donne pas le même microétat. Nous comptons donc toutes les configurations microscopiques possibles pour chaque cas.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce problème relève de l'analyse combinatoire. Le nombre de façons de choisir \(k\) objets parmi un ensemble de \(n\) objets distincts est appelé une "combinaison". Contrairement aux "permutations", l'ordre dans lequel on choisit les objets n'a pas d'importance. C'est exactement notre cas : choisir la particule A puis B pour être excitées est identique à choisir B puis A. Le nombre de combinaisons est donné par le coefficient binomial \(\binom{N}{n}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour éviter les erreurs, soyez systématique. Parcourez toutes les valeurs possibles de \(n\), de 0 (aucune particule excitée) à \(N\) (toutes excitées). Notez la symétrie du problème : le nombre de façons de choisir \(n\) particules à exciter est le même que le nombre de façons de choisir \(N-n\) particules à laisser dans l'état fondamental. Vous devriez donc trouver que \(\Omega(N, n) = \Omega(N, N-n)\). C'est un excellent moyen de vérifier vos calculs !

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de "norme" d'ingénierie ici. Le calcul est basé sur les principes fondamentaux de la mécanique statistique, établis par des physiciens comme Ludwig Boltzmann et J. Willard Gibbs. Ces principes sont le fondement de notre compréhension des systèmes à grand nombre de particules.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule principale que nous appliquons pour chaque valeur de \(n\) est celle du coefficient binomial :

\Omega(N, n) = \binom{N}{n} = \frac{N!}{n!(N-n)!}

Hypothèses (le cadre du calcul)

L'hypothèse cruciale ici est que les particules sont discernables. Cela signifie que nous pouvons les étiqueter (particule 1, 2, 3, 4) et que l'état {particule 1 excitée, les autres non} est différent de l'état {particule 2 excitée, les autres non}.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nombre total de particules : \(N=4\)
Nombre de particules excitées à tester : \(n \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Rappelez-vous toujours que, par convention mathématique, \(0! = 1\). Cette convention est essentielle pour que la formule fonctionne aux cas extrêmes (\(n=0\) et \(n=N\)). La symétrie \(\binom{N}{n} = \binom{N}{N-n}\) vous permet de ne faire que la moitié des calculs : une fois \(\Omega(4,1)\) calculé, vous connaissez immédiatement \(\Omega(4,3)\).

Schéma (Avant les calculs)

Dénombrement des microétats pour N=4, n=2

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul pour n = 0 (aucune particule excitée)

\begin{aligned} \Omega(4, 0) &= \frac{4!}{0!(4-0)!} \\ &= \frac{4!}{1 \cdot 4!} \\ &= 1 \end{aligned}

Calcul pour n = 1 (une particule excitée)

\begin{aligned} \Omega(4, 1) &= \frac{4!}{1!(4-1)!} \\ &= \frac{4!}{1 \cdot 3!} \\ &= \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\ &= 4 \end{aligned}

Calcul pour n = 2 (deux particules excitées)

\begin{aligned} \Omega(4, 2) &= \frac{4!}{2!(4-2)!} \\ &= \frac{24}{2 \cdot 2} \\ &= 6 \end{aligned}

Calcul pour n = 3 (trois particules excitées)

\begin{aligned} \Omega(4, 3) &= \frac{4!}{3!(4-3)!} \\ &= \frac{4!}{3! \cdot 1!} \\ &= 4 \end{aligned}

Calcul pour n = 4 (toutes les particules excitées)

\begin{aligned} \Omega(4, 4) &= \frac{4!}{4!(4-4)!} \\ &= \frac{4!}{4! \cdot 0!} \\ &= 1 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Distribution des Microétats (N=4)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

On remarque que le nombre de configurations possibles n'est pas uniforme. Il est minimal aux extrêmes (états très "ordonnés") et maximal au milieu, pour \(n=2\). Cela signifie que si l'on pouvait observer le système à un instant aléatoire, il serait beaucoup plus probable de le trouver dans un microétat correspondant au macroétat \(n=2\) que dans un microétat correspondant à \(n=0\) ou \(n=4\). Le système a une tendance naturelle à occuper les macroétats qui ont le plus grand nombre de réalisations microscopiques.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus courante est de confondre combinaisons et permutations. Si on calculait le nombre de permutations, on tiendrait compte de l'ordre, ce qui est incorrect ici. Une autre erreur est d'oublier la définition \(0!=1\), ce qui rendrait les calculs pour \(n=0\) et \(n=4\) impossibles.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le point clé est de savoir traduire un problème physique de "distribution de particules" en un problème mathématique de "dénombrement de combinaisons". Le macroétat qui possède le plus grand nombre de microétats (\(\Omega_{\text{max}}\)) est le plus probable.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les coefficients binomiaux apparaissent partout en sciences, de la probabilité (loi binomiale) à l'informatique (développement de binômes). Ils forment les nombres du célèbre Triangle de Pascal, où chaque nombre est la somme des deux nombres directement au-dessus de lui. La ligne pour \(N=4\) est 1, 4, 6, 4, 1, exactement les valeurs que nous avons calculées !

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les résultats du dénombrement des microétats pour \(N=4\) sont résumés dans le tableau ci-dessous.

\(n\) (\(\text{particules excitées}\))	Énergie Totale \(E\)	\(\Omega(4, n)\)
0	0	1
1	\(\epsilon\)	4
2	\(2\epsilon\)	6
3	\(3\epsilon\)	4
4	\(4\epsilon\)	1

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Maintenant, essayez vous-même ! Si le système avait \(N=5\) particules, combien de microétats y aurait-il pour le macroétat \(n=2\) ?

Question 3 : Expression de l'entropie \(S(N, n)\)

Principe

Il suffit d'appliquer directement la formule de Boltzmann en utilisant l'expression du nombre de microétats \(\Omega(N, n)\) que nous avons trouvée à la première question.

Formule(s)

Expression de l'entropie

\begin{aligned} S(N, n) &= k_{\text{B}} \ln \Omega(N, n) \\ &= k_{\text{B}} \ln\left(\frac{N!}{n!(N-n)!}\right) \end{aligned}

Astuces

Pour des grands nombres \(N\) et \(n\), le calcul direct des factorielles est impossible. On utilise alors l'approximation de Stirling : \(\ln(N!) \approx N \ln(N) - N\).

Résultat Final

L'entropie du système est : \(S(N, n) = k_{\text{B}} \left[ \ln(N!) - \ln(n!) - \ln((N-n)!) \right]\).

Question 4 : Calcul de l'entropie \(S/k_{\text{B}}\) pour \(N=4\)

Principe (le concept physique)

Le principe est de quantifier le "désordre" associé à chaque macroétat. L'entropie est la mesure de ce désordre. Un macroétat qui peut être réalisé d'un grand nombre de manières (grand \(\Omega\)) est considéré comme plus "désordonné" car notre incertitude sur le microétat réel du système est plus grande. La fonction logarithme de la formule de Boltzmann transforme le compte des microétats \(\Omega\) en une quantité thermodynamique : l'entropie \(S\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La fonction logarithme a une propriété fondamentale qui la rend parfaite pour définir l'entropie. L'entropie est une grandeur extensive : l'entropie d'un système combiné est la somme des entropies de ses sous-systèmes (\(S_{1+2} = S_1 + S_2\)). Or, le nombre de microétats est multiplicatif (\(\Omega_{1+2} = \Omega_1 \times \Omega_2\)). La seule fonction qui transforme un produit en somme est le logarithme : \(\ln(\Omega_1 \times \Omega_2) = \ln(\Omega_1) + \ln(\Omega_2)\). La constante \(k_{\text{B}}\) n'est qu'un facteur de conversion pour donner à l'entropie les bonnes unités (\(\text{J/K}\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Calculer \(S/k_{\text{B}}\) est une astuce courante. Cela permet de se concentrer sur l'aspect statistique et le "nombre pur" d'états, sans se soucier des unités physiques. Vous travaillez avec une entropie "naturelle" ou "adimensionnelle". Rappelez-vous que la forme de la courbe \(S/k_{\text{B}}\) en fonction de \(n\) sera exactement la même que celle de \(S\) en fonction de \(n\).

Normes (la référence réglementaire)

Tout comme pour la question 2, ce calcul se base sur la définition même de l'entropie statistique, une pierre angulaire de la physique statistique formulée par Ludwig Boltzmann à la fin du 19ème siècle.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule à appliquer est la forme adimensionnelle de la formule de Boltzmann :

\frac{S(N, n)}{k_{\text{B}}} = \ln[\Omega(N, n)]

Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que le système est à l'équilibre et que le postulat fondamental s'applique (tous les microétats sont équiprobables). C'est ce qui nous permet d'utiliser la formule de Boltzmann, qui est spécifique à l'ensemble microcanonique (E, V, N fixés).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous utilisons les valeurs de \(\Omega\) calculées à la question 2 :

\(\Omega(4,0)=1\)
\(\Omega(4,1)=4\)
\(\Omega(4,2)=6\)
\(\Omega(4,3)=4\)
\(\Omega(4,4)=1\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Un point de repère essentiel : \(\ln(1)=0\). Tout macroétat n'ayant qu'une seule configuration microscopique (comme \(n=0\) ou \(n=N\)) aura une entropie nulle. C'est l'état d'ordre parfait. Attendez-vous donc à trouver \(S=0\) pour ces deux cas avant même de commencer le calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Transformation par la formule de Boltzmann

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'entropie pour n=0

\begin{aligned} S/k_{\text{B}} &= \ln(\Omega(4,0)) \\ &= \ln(1) \\ &= 0 \end{aligned}

Calcul de l'entropie pour n=1

\begin{aligned} S/k_{\text{B}} &= \ln(\Omega(4,1)) \\ &= \ln(4) \\ &\approx 1.386 \end{aligned}

Calcul de l'entropie pour n=2

\begin{aligned} S/k_{\text{B}} &= \ln(\Omega(4,2)) \\ &= \ln(6) \\ &\approx 1.792 \end{aligned}

Calcul de l'entropie pour n=3

\begin{aligned} S/k_{\text{B}} &= \ln(\Omega(4,3)) \\ &= \ln(4) \\ &\approx 1.386 \end{aligned}

Calcul de l'entropie pour n=4

\begin{aligned} S/k_{\text{B}} &= \ln(\Omega(4,4)) \\ &= \ln(1) \\ &= 0 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le graphique à barres ci-dessous représente l'entropie calculée pour chaque macroétat. On observe clairement que la forme de la distribution est la même que celle de \(\Omega\), avec un maximum au centre.

Entropie en fonction de la répartition (\(N=4\))

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les valeurs d'entropie quantifient le désordre. Un état parfaitement ordonné (\(n=0\) ou \(n=4\)) a une entropie nulle. Plus on se rapproche d'une distribution uniforme des particules entre les deux niveaux (\(n=2\)), plus le désordre et donc l'entropie augmentent. Le macroétat \(n=2\) est celui pour lequel notre incertitude sur la configuration microscopique est la plus grande, car c'est celui qui a le plus de possibilités de réalisation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser le logarithme népérien (\(\ln\)) et non le logarithme décimal (\(\log_{10}\)). L'utilisation de \(\ln\) est fondamentale en physique statistique. De plus, n'oubliez pas que le résultat \(S/k_{\text{B}}\) est sans dimension ; ne lui attribuez pas d'unité par erreur.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le calcul de l'entropie via la formule de Boltzmann est une procédure directe une fois que le nombre de microétats \(\Omega\) est connu. Retenez que l'entropie est une fonction croissante de \(\Omega\). Maximiser l'un revient à maximiser l'autre.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La connexion profonde entre l'entropie thermodynamique et la théorie de l'information, développée par Claude Shannon en 1948, est l'une des idées les plus puissantes de la science moderne. L'entropie de Shannon mesure l'incertitude ou la quantité d'information dans un message. La formule de Boltzmann est un cas particulier de l'entropie de Shannon pour une distribution de probabilité uniforme, confirmant que l'entropie thermodynamique mesure notre "manque d'information" sur l'état microscopique d'un système.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les valeurs de l'entropie (en unités de \(k_{\text{B}}\)) sont 0, 1.386, 1.792, 1.386, et 0 pour les macroétats \(n=0, 1, 2, 3, 4\) respectivement.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En utilisant le résultat de l'exercice précédent (\(N=5, n=2\)), quelle est l'entropie \(S/k_{\text{B}}\) de ce macroétat ? (Rappel: \(\Omega(5,2)=10\))

Question 5 : Interprétation du maximum d'entropie

Réflexions

En observant les résultats des questions 2 et 4, on constate que le nombre de microétats \(\Omega\) et l'entropie \(S\) sont tous deux maximaux pour \(n=2\). Cette valeur de \(n\) correspond à une répartition égale des particules entre les deux niveaux d'énergie (2 en bas, 2 en haut).
Le postulat fondamental nous dit que tous les microétats sont équiprobables. Par conséquent, le macroétat le plus probable est celui qui peut être réalisé du plus grand nombre de manières différentes, c'est-à-dire celui qui a le plus grand \(\Omega\). Le maximum d'entropie correspond donc à l'état d'équilibre macroscopique le plus probable du système, qui est aussi le plus "désordonné".

Points à retenir

L'état d'équilibre d'un système isolé correspond au macroétat de plus grande entropie, car c'est celui qui possède le plus grand nombre de configurations microscopiques associées.

Résultat Final

L'entropie est maximale pour \(n = N/2 = 2\). Cela correspond à l'état macroscopique le plus désordonné et donc le plus probable, où les particules sont réparties le plus uniformément possible entre les niveaux d'énergie accessibles.

Outil Interactif : Simulateur d'Entropie

Utilisez le curseur ci-dessous pour faire varier le nombre total de particules \(N\) dans le système. Le graphique montre comment l'entropie (en unités de \(k_{\text{B}}\)) évolue en fonction du nombre \(n\) de particules dans l'état excité. Observez pour quelle répartition l'entropie est toujours maximale.

Paramètres d'Entrée

Nombre total de particules (\(N\)) 10 particules

Résultats Clés

Entropie Maximale (\(S_{\text{max}}/k_{\text{B}}\)) -

Configuration (\(n\) pour \(S_{\text{max}}\)) -

Glossaire

Entropie Statistique: Mesure du désordre d'un système, liée au nombre de configurations microscopiques (\(\Omega\)) correspondant à un même état macroscopique, via la formule de Boltzmann \(S = k_{\text{B}} \ln \Omega\).
Microétat: Une configuration spécifique et détaillée de toutes les particules d'un système (par exemple, l'état énergétique de chaque particule).
Macroétat: Un état du système décrit par des grandeurs macroscopiques mesurables (pression, volume, température, énergie totale). Un même macroétat peut correspondre à un très grand nombre de microétats.

Entropie Statistique d’un Système Simple

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique du Système

Modèle du système à deux niveaux

Questions à traiter

Les bases sur l'Entropie Statistique

Correction : Entropie Statistique d’un Système Simple

Question 1 : Expression du nombre de microétats \(\Omega(N, n)\)

Principe

Formule(s)

Résultat Final

Question 2 : Calcul de \(\Omega(4, n)\)

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces(Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Dénombrement des microétats pour N=4, n=2

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Distribution des Microétats (N=4)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Question 3 : Expression de l'entropie \(S(N, n)\)

Principe

Formule(s)

Astuces

Résultat Final

Question 4 : Calcul de l'entropie \(S/k_{\text{B}}\) pour \(N=4\)

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces(Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Transformation par la formule de Boltzmann

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Entropie en fonction de la répartition (\(N=4\))

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Question 5 : Interprétation du maximum d'entropie

Réflexions

Points à retenir

Résultat Final

Outil Interactif : Simulateur d'Entropie

Paramètres d'Entrée

Résultats Clés

Quiz Final : Testez vos connaissances

Glossaire

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