Application de la Distribution de Maxwell-Boltzmann aux Vitesses Moléculaires
Comprendre la Distribution des Vitesses Moléculaires
Dans un gaz, les molécules se déplacent constamment et de manière chaotique, entrant en collision les unes avec les autres. Leurs vitesses individuelles varient énormément. La distribution de Maxwell-Boltzmann est une fonction de probabilité qui décrit la répartition des vitesses des particules dans un gaz à l'équilibre thermique. Plutôt que de connaître la vitesse de chaque particule, cette distribution nous donne la probabilité de trouver une particule avec une vitesse dans une certaine plage. De cette distribution, on peut déduire des grandeurs caractéristiques comme la vitesse la plus probable, la vitesse moyenne et la vitesse quadratique moyenne, qui sont essentielles pour comprendre des phénomènes comme la pression et la diffusion.
Données de l'étude
- Gaz : Diazote (N₂), considéré comme un gaz idéal.
- Température (\(T\)) : \(298 \, \text{K}\) (environ 25 °C)
- Masse molaire du diazote (\(M\)) : \(28.02 \, \text{g/mol}\)
- Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{\text{-1}} \cdot \text{K}^{\text{-1}}\)
- Constante de Boltzmann (\(k_B\)) : \(1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\)
- Nombre d'Avogadro (\(N_A\)) : \(6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{\text{-1}}\)
Distribution des Vitesses de Maxwell-Boltzmann
Questions à traiter
- Convertir la masse molaire \(M\) du diazote en kg/mol, l'unité du SI.
- Calculer la vitesse la plus probable (\(v_p\)) des molécules de N₂.
- Calculer la vitesse moyenne (\(\langle v \rangle\)) des molécules de N₂.
- Calculer la vitesse quadratique moyenne (\(v_{rms}\)) des molécules de N₂.
- Classer ces trois vitesses par ordre croissant et commenter.
Correction : Application de la Distribution de Maxwell-Boltzmann
Question 1 : Conversion de la Masse Molaire
Principe :
Les calculs en physique nécessitent l'utilisation des unités du Système International (SI) pour garantir la cohérence. La masse molaire, généralement donnée en g/mol, doit être convertie en kg/mol.
Calcul :
Question 2 : Vitesse la Plus Probable (\(v_p\))
Principe :
La vitesse la plus probable est la vitesse correspondant au maximum de la fonction de distribution de Maxwell-Boltzmann. C'est la vitesse que l'on a le plus de chances de mesurer pour une molécule prise au hasard.
Formule(s) utilisée(s) :
Où \(m\) est la masse d'une seule molécule. Nous utiliserons la formule avec \(R\) et la masse molaire \(M\).
Calcul :
Question 3 : Vitesse Moyenne (\(\langle v \rangle\))
Principe :
La vitesse moyenne est la moyenne arithmétique des vitesses de toutes les molécules du gaz. Elle est légèrement supérieure à la vitesse la plus probable en raison de la "queue" de la distribution du côté des hautes vitesses.
Formule(s) utilisée(s) :
Calcul :
Question 4 : Vitesse Quadratique Moyenne (\(v_{rms}\))
Principe :
La vitesse quadratique moyenne (root-mean-square speed) est la racine carrée de la moyenne des carrés des vitesses. Cette grandeur est particulièrement importante car l'énergie cinétique moyenne d'une particule est directement proportionnelle au carré de cette vitesse (\(\langle E_c \rangle = \frac{1}{2}m v_{rms}^2\)).
Formule(s) utilisée(s) :
Calcul :
Question 5 : Classement et Commentaire
Classement :
En classant les valeurs obtenues :
Ce qui correspond à :
Commentaire :
Ce classement est une propriété générale de la distribution de Maxwell-Boltzmann. La distribution n'est pas symétrique. Elle possède une longue "traînée" du côté des hautes vitesses, ce qui signifie qu'un petit nombre de molécules se déplaçant très rapidement "tirent" la moyenne (\(\langle v \rangle\)) et surtout la moyenne quadratique (\(v_{rms}\)) vers des valeurs plus élevées que le pic de la distribution (\(v_p\)).
Quiz Rapide : Testez vos connaissances
1. Si on augmente la température du gaz, comment évoluent ces trois vitesses ?
2. Si on compare les molécules de N₂ (M=28 g/mol) à celles d'H₂ (M=2 g/mol) à la même température, les molécules d'hydrogène auront des vitesses caractéristiques...
Note: La vitesse est inversement proportionnelle à la racine carrée de la masse molaire.
Glossaire
- Distribution de Maxwell-Boltzmann
- Fonction mathématique qui décrit la distribution des vitesses des particules dans un gaz en équilibre thermique. Elle montre que les particules n'ont pas toutes la même vitesse.
- Vitesse la plus probable (\(v_p\))
- Vitesse correspondant au sommet de la courbe de distribution. C'est la vitesse possédée par le plus grand nombre de molécules dans le gaz.
- Vitesse moyenne (\(\langle v \rangle\))
- Moyenne arithmétique des modules des vitesses de toutes les particules.
- Vitesse quadratique moyenne (\(v_{rms}\))
- Racine carrée de la moyenne des carrés des vitesses. Elle est directement liée à l'énergie cinétique moyenne du gaz et donc à sa température.
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