Application de l’Équation d’État de Van der Waals
Contexte : Le comportement des gaz réelsUn gaz qui ne suit pas parfaitement la loi des gaz parfaits car ses molécules ont un volume non nul et interagissent entre elles..
En thermodynamique, le modèle du gaz parfait est une simplification utile, mais il atteint ses limites lorsque la pression est élevée ou la température basse. Dans ces conditions, le volume propre des molécules et les forces d'attraction intermoléculaires ne peuvent plus être négligés. L'équation de Van der Waals est l'une des premières et des plus célèbres tentatives pour modéliser plus fidèlement le comportement des gaz réels. Cet exercice vise à quantifier l'écart entre ces deux modèles pour du dioxyde de carbone (CO₂) dans des conditions précises.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de manipuler l'équation de Van der Waals, de comprendre la signification physique de ses termes correctifs et d'apprécier quantitativement les limites du modèle du gaz parfait.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer l'équation des gaz parfaits et l'équation de Van der Waals pour calculer la pression d'un gaz.
- Comprendre et interpréter les termes de correction pour le volume et la pression dans l'équation de Van der Waals.
- Calculer et analyser l'écart relatif entre les prédictions des deux modèles.
- Visualiser l'influence de la température et du volume sur le comportement d'un gaz réel.
Données de l'étude
Fiche Technique du Fluide
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Fluide étudié | Dioxyde de Carbone (CO₂) |
| Constante de Van der Waals 'a' | 0.364 J·m³/mol² |
| Constante de Van der Waals 'b' | 4.27 x 10⁻⁵ m³/mol |
Schéma du Système Thermodynamique
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| n | Quantité de matière | 1 | mol |
| V | Volume du récipient | 1 | Litre |
| T | Température absolue | 300 | K |
| R | Constante des gaz parfaits | 8.314 | J/(mol·K) |
Questions à traiter
- Calculer la pression \(P_{\text{ideal}}\) du CO₂ en utilisant l'équation d'état des gaz parfaits.
- Calculer la pression \(P_{\text{VdW}}\) du CO₂ en utilisant l'équation d'état de Van der Waals.
- Calculer l'écart relatif en pourcentage entre les deux pressions calculées.
- Analyser la contribution de chaque terme correctif de l'équation de Van der Waals.
- Discuter qualitativement de l'évolution de cet écart si le volume était 100 fois plus grand.
Les bases sur les Équations d'État
Une équation d'état est une relation mathématique qui lie les variables d'état d'un système thermodynamique, typiquement la pression (P), le volume (V), la température (T) et la quantité de matière (n).
1. L'Équation des Gaz Parfaits
Ce modèle suppose que les molécules de gaz sont des points matériels (volume nul) et qu'elles n'interagissent pas entre elles. C'est une bonne approximation à basse pression et haute température.
\[ P V = n R T \]
2. L'Équation de Van der Waals
Elle améliore le modèle du gaz parfait en introduisant deux termes correctifs : 'a' pour l'attraction intermoléculaire (qui réduit la pression sur les parois) et 'b' pour le volume propre des molécules (le covolumeVolume exclu par les molécules d'un gaz réel, qui n'est donc pas disponible pour le mouvement. Il est représenté par la constante 'b' de Van der Waals., qui réduit le volume disponible).
\[ \left( P + a \frac{n^2}{V^2} \right) (V - nb) = n R T \]
Correction : Application de l’Équation d’État de Van der Waals
Question 1 : Calcul de la pression idéale (\(P_{\text{ideal}}\))
Principe
La première étape consiste à utiliser le modèle le plus simple, celui du gaz parfait, pour obtenir une première estimation de la pression. Cela nous servira de référence pour évaluer l'impact des corrections du modèle de Van der Waals.
Mini-Cours
Le modèle du gaz parfait repose sur la théorie cinétique des gaz. La pression est interprétée comme le résultat macroscopique des innombrables collisions des molécules sur les parois du récipient. La température, quant à elle, est directement proportionnelle à l'énergie cinétique moyenne des molécules.
Remarque Pédagogique
Il est toujours judicieux de commencer une analyse par le modèle le plus simple. Cela permet non seulement d'obtenir un ordre de grandeur rapide, mais aussi de créer une base de comparaison solide pour évaluer la pertinence des modèles plus complexes.
Normes
Cet exercice relève de la thermodynamique fondamentale. Il n'est pas régi par des normes d'ingénierie spécifiques (comme les Eurocodes pour les structures), mais par les lois universelles de la physique et de la chimie.
Formule(s)
Équation d'état des gaz parfaits
Hypothèses
Pour ce calcul, on suppose que le CO₂ se comporte comme un gaz parfait, c'est-à-dire :
- Le volume des molécules de CO₂ est négligeable par rapport au volume du récipient.
- Les forces d'attraction ou de répulsion entre les molécules de CO₂ sont inexistantes.
Donnée(s)
Nous reprenons les données de l'énoncé en faisant attention à leur conversion en unités du Système International (SI).
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité SI |
|---|---|---|---|
| Quantité de matière | n | 1 | mol |
| Volume | V | 1 L | \(1 \times 10^{-3} \text{ m}^3\) |
| Température | T | 300 | K |
| Constante des gaz parfaits | R | 8.314 | J/(mol·K) |
Astuces
Avant de vous lancer dans le calcul, estimez l'ordre de grandeur. On a environ \(8 \times 300 = 2400\) au numérateur, divisé par \(10^{-3}\). Le résultat doit être de l'ordre de \(2,400,000\) Pa, soit 24 bar. Cette simple vérification mentale peut vous sauver d'une erreur de conversion.
Schéma (Avant les calculs)
Modèle du Gaz Parfait
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Pression Idéale
Réflexions
Le résultat est en Pascals (Pa), l'unité SI de pression. Pour une meilleure intuition physique, on le convertit souvent en bars (1 bar = \(10^5\) Pa). Une pression de près de 25 bar est considérable et suggère que les hypothèses du gaz parfait pourraient ne pas être valides.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune ici est l'unité du volume. La constante R est donnée en unités du Système International (Joule, mol, Kelvin), ce qui implique que le volume doit être en mètres cubes (m³) et non en litres (L) pour que le calcul soit homogène. 1 L = \(10^{-3}\) m³.
Points à retenir
- La formule de la loi des gaz parfaits est \(PV=nRT\).
- La cohérence des unités (tout en SI) est absolument cruciale pour un calcul correct.
- Le résultat obtenu est une idéalisation qui sert de point de référence.
Le saviez-vous ?
La constante R est appelée 'constante des gaz parfaits', mais elle est en réalité plus fondamentale. C'est une constante de conversion entre l'énergie et la température à l'échelle molaire. Elle est le produit de deux autres constantes fondamentales : la constante de Boltzmann (\(k_B\)) et le nombre d'Avogadro (\(N_A\)).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez la pression idéale si la température était de 350 K. (Réponse attendue en Pa)
Question 2 : Calcul de la pression de Van der Waals (\(P_{\text{VdW}}\))
Principe
Nous allons maintenant affiner notre calcul en utilisant l'équation de Van der Waals. Cette équation modifie la pression et le volume "idéaux" pour tenir compte de la réalité physique des molécules. Nous devons isoler le terme de pression P dans l'équation.
Mini-Cours
La constante 'b' (covolume) est proportionnelle au volume d'une seule molécule. La constante 'a' est liée à l'intensité du potentiel d'interaction entre deux molécules (comme le potentiel de Lennard-Jones). Un 'a' élevé signifie de fortes attractions, ce qui facilite la liquéfaction du gaz.
Remarque Pédagogique
Décomposez toujours le calcul de Van der Waals en deux parties : le terme de pression cinétique corrigé par le covolume, et le terme de pression interne. Cela évite les erreurs de calcul et aide grandement à l'interprétation physique du résultat final.
Normes
Comme pour la question 1, ce calcul est basé sur les lois fondamentales de la thermodynamique et non sur des normes d'ingénierie.
Formule(s)
Équation d'état de Van der Waals
Hypothèses
On ne considère plus le gaz comme parfait. On suppose maintenant que le comportement du CO₂ est bien décrit par le modèle de Van der Waals, c'est-à-dire :
- Les molécules ont un volume propre non nul, modélisé par le covolume 'b'.
- Il existe des forces d'attraction à distance entre les molécules, modélisées par la pression interne 'a'.
Donnée(s)
On utilise les mêmes données que précédemment, en y ajoutant les constantes 'a' et 'b' du CO₂, qui sont des propriétés intrinsèques du fluide.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité SI |
|---|---|---|---|
| Constante d'attraction | a | 0.364 | J·m³/mol² |
| Covolume | b | 4.27 x 10⁻⁵ | m³/mol |
Astuces
Notez que le terme 'a' est soustrait. Une erreur de signe est fréquente. Pensez-y de cette façon : l'attraction entre les molécules 'aide' les parois à contenir le gaz, donc la pression externe nécessaire pour maintenir le volume est plus faible.
Schéma (Avant les calculs)
Modèle du Gaz de Van der Waals
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du terme de pression cinétique corrigé
Étape 2 : Calcul du terme de pression interne
Étape 3 : Calcul final de la pression de Van der Waals
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Pressions Calculées
Réflexions
La pression calculée avec le modèle de Van der Waals (22.42 bar) est inférieure à celle du gaz parfait (24.94 bar). Cela indique que, dans ces conditions, l'effet des forces d'attraction (terme 'a'), qui réduit la pression, est plus important que l'effet du volume moléculaire (terme 'b'), qui tend à l'augmenter.
Points de vigilance
Assurez-vous que toutes les unités sont en SI avant d'injecter les valeurs dans la formule, y compris les constantes 'a' et 'b'. Une erreur sur la conversion du volume en m³ est la source d'erreur la plus fréquente.
Points à retenir
- La forme réarrangée de l'équation de VdW est \(P = \frac{nRT}{V-nb} - a\frac{n^2}{V^2}\).
- Le terme 'b' (covolume) augmente la pression par rapport au cas idéal.
- Le terme 'a' (attraction) diminue la pression par rapport au cas idéal.
Le saviez-vous ?
Johannes Diderik van der Waals a reçu le prix Nobel de physique en 1910 pour ses travaux sur l'équation d'état des gaz et des liquides. Son modèle, bien que simple, a été le premier à prédire qualitativement la transition de phase liquide-gaz et l'existence d'un point critique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Que devient la pression VdW si on utilise de l'Hélium (a=0.00346, b=2.37e-5) dans les mêmes conditions ? (Réponse en Pa)
Question 3 : Calcul de l'écart relatif
Principe
L'écart relatif permet de quantifier la différence entre les deux modèles par rapport à une valeur de référence. Il exprime l'erreur du modèle simple (gaz parfait) par rapport au modèle plus réaliste (Van der Waals).
Mini-Cours
L'écart relatif est un outil statistique normalisé qui permet de comparer la déviation d'une mesure ou d'un calcul par rapport à une valeur de référence, indépendamment de l'ordre de grandeur des valeurs elles-mêmes. Il est toujours exprimé en pourcentage pour une lecture facile.
Remarque Pédagogique
Le choix de la valeur au dénominateur (la référence) est important. En physique, on compare souvent à la valeur la plus précise (ici VdW) pour quantifier l'erreur du modèle simple. Cela donne une mesure de l'amélioration apportée par le modèle plus complexe.
Normes
Il n'y a pas de 'norme' pour un écart acceptable ; cela dépend entièrement du contexte. En ingénierie de précision, un écart de 1% peut être inacceptable, alors qu'en estimations préliminaires, 10-15% peut être toléré.
Formule(s)
Formule de l'écart relatif
Hypothèses
Ce calcul ne repose sur aucune hypothèse physique, c'est une pure application mathématique des résultats obtenus aux questions précédentes.
Donnée(s)
Les données d'entrée sont les deux pressions calculées précédemment : \(P_{\text{ideal}} = 2,494,200\) Pa et \(P_{\text{VdW}} = 2,241,557\) Pa.
Astuces
Pour éviter les erreurs de calcul sur votre calculatrice, calculez d'abord la différence absolue au numérateur, puis divisez par la référence, et enfin, multipliez par 100. Effectuer toutes les opérations en une seule fois peut parfois conduire à des erreurs de parenthèses.
Schéma (Avant les calculs)
Concept de l'Écart Relatif
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Résultat
Réflexions
Un écart de plus de 11% est significatif. Cela confirme que pour le CO₂ dans ces conditions (pression relativement élevée et température ambiante), le modèle du gaz parfait n'est pas une approximation précise et conduit à une surestimation notable de la pression.
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser le numérateur et le dénominateur. L'écart est relatif à la valeur de référence, qui doit être au dénominateur. Assurez-vous également de bien utiliser la valeur absolue comme l'indique la formule.
Points à retenir
- La formule de l'écart relatif est un outil essentiel pour comparer des modèles ou des mesures.
- Un écart > 10% est généralement considéré comme significatif, justifiant l'utilisation d'un modèle plus sophistiqué.
Le saviez-vous ?
En métrologie (la science de la mesure), on distingue l'erreur relative (par rapport à une valeur 'vraie' connue) et l'écart relatif (entre deux mesures ou modèles). Ici, comme nous n'avons pas de valeur expérimentale 'vraie', nous calculons bien un écart relatif entre deux modèles théoriques.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait l'écart relatif si \(P_{\text{ideal}}\) était de 26 bar et \(P_{\text{VdW}}\) de 25 bar ? (Réponse en %)
Question 4 : Analyse des termes correctifs
Principe
Cette question est conceptuelle. Il s'agit d'analyser l'impact de chaque correction apportée par Van der Waals par rapport au modèle idéal. On a déjà calculé leur valeur numérique à la question 2, il faut maintenant leur donner un sens physique.
Mini-Cours
Le terme $nb$ est le covolume : il représente le volume inaccessible aux molécules car il est déjà occupé par les autres molécules. Le soustraire de V ($V-nb$) augmente la pression car le volume "ressenti" par les molécules est plus petit. Le terme $a(n/V)^2$ est la pression interne : il représente la réduction de pression sur les parois due aux forces d'attraction entre les molécules au sein du gaz.
Remarque Pédagogique
Cette analyse qualitative est aussi importante que le calcul. Elle transforme des chiffres en compréhension physique. C'est la marque d'un bon ingénieur ou scientifique : ne pas seulement calculer, mais aussi interpréter.
Normes
Non applicable. Cette section est une analyse physique des termes d'une équation.
Formule(s)
Contribution du covolume
Contribution de l'attraction
Hypothèses
Non applicable pour cette analyse.
Donnée(s)
Les données sont les valeurs intermédiaires calculées à la question 2.
Astuces
Pensez en termes de 'compétition' : les effets de répulsion (via 'b') augmentent la pression, tandis que les effets d'attraction (via 'a') la diminuent. La question est de savoir lequel de ces deux effets l'emporte dans les conditions données.
Schéma (Avant les calculs)
Origine de la Pression Interne
Calcul(s)
Reprenons les valeurs de la question 2 :
- Correction de volume (terme 'b') : Le dénominateur est passé de \(V\) à \(V-nb\), soit de \(10^{-3}\) à \(0.0009573\) m³. Cette réduction du volume "disponible" a fait passer la pression de 2,494,200 Pa à 2,605,557 Pa. L'effet du covolume a donc été d'augmenter la pression de 111,357 Pa.
- Correction de pression (terme 'a') : Le terme \(a(n/V)^2\) a une valeur de 364,000 Pa. Il est soustrait de la pression cinétique, représentant la diminution de force des impacts sur les parois due à l'attraction mutuelle des molécules.
Schéma (Après les calculs)
Compétition des Effets Attractifs et Répulsifs
Réflexions
La correction due à l'attraction intermoléculaire (364,000 Pa) est plus de trois fois supérieure à l'augmentation de pression due au volume propre des molécules (111,357 Pa). C'est pourquoi la pression finale de Van der Waals est inférieure à la pression idéale. L'attraction est l'effet dominant dans ces conditions.
Points de vigilance
Ne confondez pas la pression cinétique corrigée (Terme 1 du calcul de Q2) avec la pression finale. C'est une étape intermédiaire qui n'a de sens que dans le cadre du calcul. Ne l'interprétez pas comme une pression physique mesurable.
Points à retenir
- Le covolume 'b' modélise la répulsion à courte portée et augmente la pression.
- L'attraction 'a' modélise l'attraction à longue portée et diminue la pression.
- Dans les conditions de l'exercice, pour le CO₂, l'effet de l'attraction est dominant.
Le saviez-vous ?
Le point où les effets d'attraction et de répulsion se compensent sur une large plage de pression est appelé la température de Boyle. Au-dessus de cette température, un gaz réel se comporte de manière plus 'idéale' car l'énergie cinétique des molécules l'emporte sur l'énergie potentielle d'attraction.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Cette question étant une analyse, l'exercice 'À vous de jouer' est plus pertinent sur des questions de calcul. L'important ici est de retenir la méthode d'interprétation.
Question 5 : Cas d'un grand volume
Principe
Cette question teste la compréhension des limites du modèle. On doit analyser comment les termes correctifs de Van der Waals se comportent lorsque le volume devient très grand, ce qui correspond physiquement à une faible pression ou une faible densité.
Mini-Cours
Ce concept est lié à la notion de 'limite thermodynamique'. Les modèles simplifiés comme celui du gaz parfait sont souvent des 'lois limites', c'est-à-dire qu'elles deviennent exactes lorsque certaines variables (comme la densité \(n/V\)) tendent vers zéro.
Remarque Pédagogique
Savoir identifier les conditions limites où une équation complexe se simplifie est une compétence clé en physique et en ingénierie. C'est un excellent moyen de vérifier la cohérence d'un modèle : il doit redonner le résultat du modèle simple dans les conditions où ce dernier est supposé être juste.
Normes
Non applicable.
Formule(s)
Équation d'état de Van der Waals
Hypothèses
L'hypothèse principale est que le volume V est suffisamment grand pour que \(V \gg nb\) et que le terme en \(1/V^2\) soit négligeable.
Donnée(s)
Non applicable pour cette analyse qualitative.
Astuces
Utilisez l'analyse asymptotique. Que se passe-t-il quand un terme devient très grand ou très petit ? Si V est très grand, \(1/V\) est très petit, et \(1/V^2\) est encore plus petit.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison de Densité
Calcul(s)
Regardons chaque terme lorsque \(V \to \infty\) :
- Pour le terme de covolume : Si V est très grand, le terme \(nb\) devient négligeable devant V. Ainsi, \(V - nb \approx V\). Le premier terme de l'équation devient donc \(\frac{nRT}{V}\), ce qui est exactement le terme de pression de la loi des gaz parfaits.
- Pour le terme de pression interne : Le terme \(a \frac{n^2}{V^2}\) contient \(V^2\) au dénominateur. Lorsque \(V \to \infty\), ce terme tend très rapidement vers zéro.
Schéma (Après les calculs)
Convergence vers le Modèle Idéal
Réflexions
Lorsque le volume est très grand, les molécules sont très éloignées les unes des autres. Par conséquent, leur volume propre devient insignifiant par rapport à l'espace total, et les forces d'attraction deviennent extrêmement faibles en raison de la distance. Les deux hypothèses du gaz parfait redeviennent valides. L'équation de Van der Waals converge donc naturellement vers l'équation des gaz parfaits à très faible densité.
Points de vigilance
Ne concluez pas que l'équation de Van der Waals est 'inutile'. Sa force est précisément de décrire le comportement des gaz LORSQU'ILS NE SONT PAS parfaits. Cette analyse de limite ne fait que confirmer la cohérence du modèle.
Points à retenir
- À faible densité (grand volume), tous les gaz réels tendent vers le comportement du gaz parfait.
- L'équation de VdW est cohérente car elle converge vers la loi des gaz parfaits dans ces conditions limites.
Le saviez-vous ?
Le diagramme d'Amagat représente le produit PV en fonction de P. Pour un gaz parfait, c'est une droite horizontale. Pour un gaz réel, les courbes montrent des déviations et illustrent bien la convergence vers l'idéalité à basse pression (lorsque P tend vers 0).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant le simulateur ci-dessous, mettez le volume au maximum (5L) et la température au maximum (600K). Quel est l'écart relatif ? Cela confirme-t-il l'analyse ?
Outil Interactif : Simulateur Pression CO₂
Utilisez les curseurs pour faire varier le volume et la température d'une mole de CO₂ et observez en temps réel l'impact sur les pressions calculées par les deux modèles et leur écart.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans l'équation de Van der Waals, que représente physiquement la constante 'b' ?
2. Dans quelles conditions le modèle du gaz parfait est-il la meilleure approximation ?
3. Le terme correctif \(a(n/V)^2\) est soustrait car il représente...
4. D'après les résultats de l'exercice (pour V=1L, T=300K), quel est l'effet dominant qui explique l'écart à l'idéalité ?
5. Si la pression d'un gaz réel est SUPÉRIEURE à la pression idéale, cela signifie que...
- Équation d'État
- Relation mathématique entre les variables d'état (pression, volume, température, quantité de matière) décrivant l'état d'un système thermodynamique à l'équilibre.
- Gaz Parfait
- Modèle théorique d'un gaz où les particules sont considérées comme des points sans volume et sans interaction entre elles. Décrit par l'équation PV = nRT.
- Gaz Réel
- Un gaz dont le comportement dévie de celui du gaz parfait, principalement parce que ses molécules ont un volume fini et exercent des forces les unes sur les autres.
- Covolume (b)
- Constante de Van der Waals représentant le volume exclu par mole de molécules. Il corrige le volume total du récipient pour obtenir le volume réellement disponible pour le mouvement des molécules.
- Pression Interne (terme en 'a')
- Terme correctif de Van der Waals (\(a(n/V)^2\)) qui tient compte de la réduction de la pression exercée par le gaz sur les parois, due aux forces d'attraction entre les molécules.
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