Premier Principe à un Système Ouvert
Contexte : Le Premier Principe en Système OuvertLe premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert exprime la conservation de l'énergie pour un volume de contrôle traversé par un fluide..
Les machines thermiques telles que les turbines, les compresseurs ou les pompes sont au cœur de nombreux processus industriels, notamment la production d'électricité. Comprendre comment l'énergie est transférée et transformée au sein de ces machines est fondamental. Cet exercice se concentre sur l'application du premier principe de la thermodynamique à une turbine à vapeur fonctionnant en régime permanent, un cas d'étude classique et essentiel en ingénierie.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le bilan d'énergie sur un volume de contrôle en régime permanent, en identifiant et quantifiant les différentes formes d'énergie (enthalpie, cinétique, potentielle) et les transferts (travail, chaleur).
Objectifs Pédagogiques
- Maîtriser l'équation du premier principe pour un système ouvert en régime permanent.
- Calculer la variation d'enthalpie, d'énergie cinétique et d'énergie potentielle.
- Déterminer le travail utile (puissance) produit par une machine thermodynamique.
- Évaluer la performance d'une turbine via son efficacité isentropique.
- Lier les propriétés thermodynamiques aux dimensions physiques (sections de passage).
Données de l'étude
Schéma de la Turbine à Vapeur
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Débit massique | \(\dot{m}\) | 10 | kg/s |
| Enthalpie massique d'entrée | \(h_e\) | 3500 | kJ/kg |
| Vitesse d'entrée | \(c_e\) | 50 | m/s |
| Volume massique d'entrée | \(v_e\) | 0.15 | m³/kg |
| Enthalpie massique de sortie (réelle) | \(h_s\) | 2500 | kJ/kg |
| Vitesse de sortie | \(c_s\) | 100 | m/s |
| Volume massique de sortie | \(v_s\) | 2.5 | m³/kg |
| Enthalpie de sortie (isentropique) | \(h_{s,is}\) | 2400 | kJ/kg |
Questions à traiter
- Calculer la variation d'enthalpie massique \( \Delta h \) entre l'entrée et la sortie.
- Calculer la variation d'énergie cinétique massique \( \Delta e_c \) entre l'entrée et la sortie.
- Déterminer la puissance utile \( P_u \) développée par la turbine en kilowatts (kW).
- Calculer l'efficacité isentropique \( \eta_{is} \) de la turbine.
- Calculer les sections (aires) de passage de la vapeur à l'entrée (\(A_e\)) et à la sortie (\(A_s\)) de la turbine, en cm².
Les bases sur le Premier Principe en Système Ouvert
Le premier principe de la thermodynamique, ou principe de conservation de l'énergie, appliqué à un système ouvert (aussi appelé volume de contrôle) en régime permanent, établit un bilan entre l'énergie qui entre et l'énergie qui sort. Il stipule que la variation d'énergie dans le volume de contrôle est nulle.
1. L'Équation Générale
L'équation générale du bilan énergétique pour un système ouvert avec une entrée et une sortie, en régime permanent, s'écrit :
\[ \dot{Q} + \dot{W}_u = \dot{m} \left( (h_s - h_e) + \frac{c_s^2 - c_e^2}{2} + g(z_s - z_e) \right) \]
2. Les Termes de l'Équation
Chaque terme a une signification physique précise :
- \(\dot{Q}\) : Puissance thermique échangée avec l'extérieur (W).
- \(\dot{W}_u\) : Puissance utile (de-shaft) échangée avec l'extérieur (W).
- \(\dot{m}\) : Débit massique du fluide (kg/s).
- \(h\) : Enthalpie massique du fluide (J/kg).
- \(\frac{c^2}{2}\) : Énergie cinétique massique (J/kg).
- \(gz\) : Énergie potentielle de pesanteur massique (J/kg).
Correction : Premier Principe à un Système Ouvert
Question 1 : Calculer la variation d'enthalpie massique \( \Delta h \)
Principe
L'enthalpie massique (\(h\)) représente l'énergie totale transportée par un kilogramme de fluide. Elle inclut son énergie interne et l'énergie de pression. La variation d'enthalpie nous indique la quantité d'énergie cédée ou gagnée par le fluide sous ces formes lors de son passage dans la machine.
Mini-Cours
L'enthalpie \(h\) est une fonction d'état définie par \(h = u + Pv\), où \(u\) est l'énergie interne, \(P\) la pression et \(v\) le volume massique. Dans les systèmes ouverts, elle est particulièrement utile car elle regroupe l'énergie interne du fluide et le travail de transvasement (\(Pv\)) nécessaire pour faire entrer et sortir le fluide du volume de contrôle.
Remarque Pédagogique
Pour une machine motrice comme une turbine, on s'attend à ce que le fluide cède de l'énergie. La variation d'enthalpie doit donc être négative. C'est un excellent moyen de vérifier rapidement la cohérence de votre résultat.
Normes
Les valeurs d'enthalpie pour des fluides comme la vapeur d'eau ne sont pas calculées directement mais sont lues dans des tables thermodynamiques standardisées (par exemple, les tables de la vapeur IAPWS-IF97), qui constituent la "norme" pour les ingénieurs thermiciens.
Formule(s)
Hypothèses
Aucune hypothèse simplificatrice n'est nécessaire pour ce calcul, il s'agit d'une application directe de la définition.
Donnée(s)
- Enthalpie d'entrée, \(h_e = 3500 \text{ kJ/kg}\)
- Enthalpie de sortie, \(h_s = 2500 \text{ kJ/kg}\)
Astuces
Pour éviter les erreurs de signe, pensez toujours "final moins initial". Ici, c'est "sortie moins entrée".
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la chute d'enthalpie
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Quantification de la chute d'enthalpie
Réflexions
Le signe négatif confirme que le fluide a perdu 1000 kJ d'énergie pour chaque kilogramme qui a traversé la turbine. C'est cette énergie qui sera majoritairement convertie en travail mécanique sur l'arbre de la machine.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'inverser les termes (\(h_e - h_s\)), ce qui donnerait un résultat positif, physiquement incohérent pour une turbine.
Points à retenir
- La variation d'une propriété est toujours l'état final moins l'état initial.
- Pour une turbine, \(\Delta h\) est négatif.
- Pour un compresseur, \(\Delta h\) est positif.
Le saviez-vous ?
Le terme "enthalpie" a été créé au début du 20ème siècle par le physicien néerlandais Heike Kamerlingh Onnes. Il vient du grec "enthalpein", qui signifie "mettre de la chaleur dans".
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la turbine était moins performante et que l'enthalpie de sortie était de 2650 kJ/kg, quelle serait la nouvelle variation d'enthalpie ?
Question 2 : Calculer la variation d'énergie cinétique massique \( \Delta e_c \)
Principe
L'énergie cinétique est l'énergie liée à la vitesse du fluide. Sa variation indique si le fluide a été accéléré (\(\Delta e_c > 0\)) ou ralenti (\(\Delta e_c < 0\)) en traversant la machine. Cette variation contribue également au bilan énergétique global.
Mini-Cours
En thermodynamique des fluides, l'énergie cinétique est exprimée par unité de masse, d'où le terme \(e_c = c^2/2\). Elle fait partie des trois formes d'énergie (avec l'enthalpie et l'énergie potentielle) qui sont transportées par la matière lorsqu'elle franchit les frontières d'un système ouvert.
Remarque Pédagogique
Dans les machines thermiques comme les turbines ou les compresseurs, la variation d'énergie cinétique est souvent très faible par rapport à la variation d'enthalpie. C'est une hypothèse de simplification courante, mais il faut toujours la vérifier en calculant sa valeur, comme nous le faisons ici.
Normes
Il n'y a pas de norme spécifique ici, mais une convention universelle en physique : l'utilisation des unités du Système International (mètres, secondes, joules) est impérative pour que la formule soit correcte.
Formule(s)
Hypothèses
Aucune hypothèse n'est requise, c'est un calcul direct.
Donnée(s)
- Vitesse d'entrée, \(c_e = 50 \text{ m/s}\)
- Vitesse de sortie, \(c_s = 100 \text{ m/s}\)
Astuces
Pour convertir des J/kg en kJ/kg, il suffit de diviser par 1000. C'est une étape simple mais souvent oubliée, source de nombreuses erreurs. Pensez-y systématiquement lorsque vous mélangez des termes mécaniques (comme l'énergie cinétique) et thermiques (comme l'enthalpie).
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la variation de vitesse
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul en J/kg
Étape 2 : Conversion en kJ/kg
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de l'accélération du fluide
Réflexions
Le résultat est positif, ce qui signifie que le fluide a été accéléré. Une partie de l'énergie de la vapeur a été utilisée pour augmenter sa propre vitesse, et n'a donc pas été convertie en travail utile. Cependant, en comparant 3.75 kJ/kg à la chute d'enthalpie de 1000 kJ/kg, on voit que cet effet est très mineur (moins de 0.4%).
Points de vigilance
L'erreur d'unité est le piège n°1. Ne jamais additionner des kJ/kg avec des J/kg. Convertissez toujours tout dans la même unité (généralement le kJ/kg) avant de faire la somme.
Points à retenir
- La formule de l'énergie cinétique massique est \(c^2/2\).
- Le résultat est en J/kg si la vitesse est en m/s.
- Il faut diviser par 1000 pour obtenir des kJ/kg.
Le saviez-vous ?
Dans les tuyères (comme à l'échappement d'un moteur de fusée), le but principal est de convertir un maximum d'enthalpie en énergie cinétique pour créer de la poussée. La variation d'énergie cinétique y est donc le terme dominant, contrairement à notre turbine.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la vitesse de sortie n'était que de 20 m/s (le fluide serait donc freiné), quelle serait la nouvelle \(\Delta e_c\) en kJ/kg ?
Question 3 : Déterminer la puissance utile \( P_u \) de la turbine
Principe
La puissance utile est le but final de la machine. Elle est obtenue en appliquant le premier principe pour un système ouvert, qui est une loi de conservation de l'énergie. On fait le bilan de toute l'énergie qui entre et qui sort du système, et la différence correspond aux échanges de travail et de chaleur avec l'extérieur.
Mini-Cours
L'équation \( \dot{Q} + \dot{W}_u = \dot{m} (\Delta h + \Delta e_c + \Delta e_p) \) est l'une des plus importantes de la thermodynamique appliquée. Elle montre que la puissance (\(\dot{W}_u\)) et la chaleur (\(\dot{Q}\)) échangées sont égales au flux d'énergie transporté par la matière (\(\dot{m} \times \Delta E\)).
Remarque Pédagogique
Structurez toujours votre raisonnement : 1) Posez l'équation générale. 2) Simplifiez-la avec les hypothèses. 3) Isolez le terme que vous cherchez. 4) Faites l'application numérique. Cette méthode rigoureuse vous évitera de nombreuses erreurs.
Formule(s)
L'équation simplifiée pour notre cas est :
Hypothèses
- Régime permanent.
- Turbine adiabatique : \(\dot{Q} = 0\).
- Variation d'énergie potentielle négligeable : \(\Delta e_p \approx 0\).
Donnée(s)
- Débit massique, \(\dot{m} = 10 \text{ kg/s}\)
- Variation d'enthalpie, \(\Delta h = -1000 \text{ kJ/kg}\)
- Variation d'énergie cinétique, \(\Delta e_c = 3,75 \text{ kJ/kg}\)
Astuces
Vérifiez que toutes vos grandeurs massiques (\(\Delta h, \Delta e_c\)) sont bien dans la même unité (kJ/kg) avant de les sommer.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan de Puissance sur la Turbine
Calcul(s)
On procède à l'application numérique.
Le signe négatif indique que la puissance est fournie par le système.
Schéma (Après les calculs)
Bilan de Puissance Quantifié
Réflexions
La puissance développée par la turbine est la valeur absolue du travail utile, soit 9962.5 kW ou près de 10 Mégawatts. C'est la puissance électrique d'environ 10 000 foyers. Cela montre les ordres de grandeur importants des machines industrielles.
Points de vigilance
Attention à la convention de signe. En thermodynamique, le travail fourni par un système est négatif. La puissance "développée" ou "produite" est une grandeur positive, c'est la valeur absolue du travail utile.
Points à retenir
- La puissance est le produit du débit massique par la variation d'énergie massique totale.
- Unités : \([\text{kg/s}] \times [\text{kJ/kg}] = [\text{kJ/s}] = [\text{kW}]\).
- Travail fourni par le système : \(P_u < 0\).
Le saviez-vous ?
Les plus grandes turbines à vapeur du monde, utilisées dans les centrales nucléaires, peuvent dépasser une puissance de 1700 MW sur un seul arbre, soit 170 fois la puissance de la turbine de notre exercice !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le débit massique était de 12 kg/s, quelle serait la nouvelle puissance développée en kW (toutes autres choses étant égales) ?
Question 4 : Calculer l'efficacité isentropique \( \eta_{is} \) de la turbine
Principe
L'efficacité isentropique est un indicateur de performance. Elle compare la turbine réelle à une turbine parfaite (idéale) qui fonctionnerait de manière réversible et adiabatique (isentropique). Elle quantifie la part du potentiel énergétique maximal qui est effectivement convertie en travail.
Mini-Cours
Un processus isentropique est un processus à entropie constante. Dans la réalité, des phénomènes comme la friction du fluide sur les parois ou les turbulences créent de l'entropie. Cette "production d'entropie" est une mesure des irréversibilités, qui dégradent la performance et réduisent le travail produit.
Remarque Pédagogique
L'efficacité est toujours un rapport de type "ce que j'obtiens réellement" sur "ce que j'obtiendrais au mieux dans des conditions idéales". Pour une turbine, "obtenir" c'est produire du travail. L'efficacité est donc \(\eta = W_{\text{réel}} / W_{\text{idéal}}\).
Formule(s)
En négligeant l'énergie cinétique, le travail massique est égal à la chute d'enthalpie. La formule devient :
Donnée(s)
- \(h_e = 3500 \text{ kJ/kg}\)
- \(h_s = 2500 \text{ kJ/kg}\) (sortie réelle)
- \(h_{s,is} = 2400 \text{ kJ/kg}\) (sortie idéale/isentropique)
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme Enthalpie-Entropie (h-s)
Calcul(s)
On calcule le rapport des chutes d'enthalpie.
Schéma (Après les calculs)
Position des points sur le diagramme h-s
Réflexions
Une efficacité de 90.9% est excellente. La différence entre la chute d'enthalpie idéale (1100 kJ/kg) et réelle (1000 kJ/kg) représente une "perte" de 100 kJ/kg due aux irréversibilités. Cette énergie n'est pas détruite, elle reste dans le fluide sous forme de chaleur, ce qui explique pourquoi l'enthalpie de sortie réelle est plus élevée que l'idéale.
Points de vigilance
Ne pas inverser le numérateur et le dénominateur. L'efficacité d'une machine passive (turbine) est toujours inférieure à 1 (ou 100%). Si vous trouvez une valeur supérieure à 1, votre formule est probablement inversée.
Points à retenir
- \(\eta_{is} = \text{Réel} / \text{Idéal}\).
- Le processus idéal pour une turbine est isentropique (adiabatique réversible).
- Les irréversibilités réduisent le travail produit et augmentent l'enthalpie de sortie.
Le saviez-vous ?
Le concept d'entropie et le second principe de la thermodynamique, qui sont à la base de la notion d'irréversibilité et d'efficacité, ont été développés par des pionniers comme Sadi Carnot et Rudolf Clausius au 19ème siècle.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si, à cause de l'usure, l'enthalpie de sortie réelle montait à 2550 kJ/kg, quelle serait la nouvelle efficacité isentropique en % ?
Question 5 : Calculer les sections de passage \(A_e\) et \(A_s\)
Principe
Le principe de conservation de la masse, appliqué à un système en régime permanent, stipule que le débit massique qui entre est égal au débit massique qui sort. Ce débit est lié aux propriétés locales du fluide (vitesse, volume massique) et à la géométrie de la machine (section de passage).
Mini-Cours
L'équation de continuité \(\dot{m} = \rho A c\) est fondamentale en mécanique des fluides. Comme la masse volumique \(\rho\) est l'inverse du volume massique \(v\), on peut l'écrire \(\dot{m} = Ac/v\). Elle permet de relier la thermodynamique (qui nous donne \(v\)) à la géométrie (\(A\)) et à la cinématique (\(c\)).
Remarque Pédagogique
Cette question fait le lien entre les calculs thermodynamiques abstraits et le monde réel de l'ingénieur : le dimensionnement physique d'une machine. Les résultats que vous obtiendrez ne sont pas juste des chiffres, ils représentent la taille réelle des tuyauteries d'entrée et de sortie de la turbine.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que la vitesse et le volume massique sont uniformes sur toute la section de passage considérée, ce qui est une simplification standard pour ce type de calcul.
Donnée(s)
- \(\dot{m} = 10 \text{ kg/s}\)
- Entrée : \(v_e = 0.15 \text{ m³/kg}\), \(c_e = 50 \text{ m/s}\)
- Sortie : \(v_s = 2.5 \text{ m³/kg}\), \(c_s = 100 \text{ m/s}\)
Astuces
Pour convertir des m² en cm², multipliez par 10 000 (\(100 \times 100\)). Une erreur commune est de multiplier par 100 seulement.
Schéma (Avant les calculs)
Principe de la conservation du débit massique
Calcul(s)
Section d'entrée (\(A_e\))
Section de sortie (\(A_s\))
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des sections d'entrée et de sortie
Réflexions
La section de sortie est plus de 8 fois plus grande que la section d'entrée ! Cela est dû à l'énorme augmentation du volume massique de la vapeur (\(\times 16.7\)) lorsqu'elle se détend. Même si la vitesse double, cela ne compense pas l'augmentation de volume, imposant une section de passage beaucoup plus large à la sortie.
Points de vigilance
Assurez-vous que toutes vos unités sont dans le Système International (kg, m, s) avant d'appliquer la formule. Le résultat pour l'aire sera alors en m².
Points à retenir
- L'équation de continuité relie débit, géométrie et propriétés du fluide.
- La détente de la vapeur provoque une forte augmentation de son volume massique.
- Les sections de passage d'une turbine augmentent de l'entrée vers la sortie.
Le saviez-vous ?
Les dernières ailettes (les pales) d'une grande turbine basse pression peuvent mesurer plus d'un mètre de long et leur extrémité se déplace à une vitesse supersonique pour accommoder l'immense volume de vapeur détendue avant qu'elle ne parte au condenseur.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si on voulait réduire la vitesse de sortie à 80 m/s (pour limiter l'érosion), quelle devrait être la nouvelle section de sortie \(A_s\) en cm² ?
Outil Interactif : Simulateur de Puissance de Turbine
Explorez comment le débit massique et l'enthalpie de sortie influencent la puissance générée par la turbine, en gardant les autres paramètres constants.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans un système ouvert en régime permanent, quel terme représente l'énergie associée au fluide lui-même et à son écoulement ?
2. Une turbine est une machine qui...
3. Une efficacité isentropique de 85% signifie que...
4. Pourquoi la section de sortie d'une turbine à vapeur est-elle plus grande que l'entrée ?
5. L'unité 'kJ/s' est équivalente à :
Glossaire
- Efficacité Isentropique (\(\eta_{is}\))
- Rapport entre le travail réel produit par une machine (turbine) ou consommé (compresseur) et le travail qui serait produit/consommé dans un processus isentropique (adiabatique réversible) idéal, entre les mêmes pressions d'entrée et de sortie.
- Enthalpie (h)
- Une grandeur thermodynamique qui représente l'énergie totale d'un système. Elle inclut l'énergie interne du système plus le produit de sa pression et de son volume. Pour un fluide en écoulement, elle représente l'énergie transportée par le fluide.
- Régime permanent
- Un état de fonctionnement où les propriétés du système (température, pression, débit, etc.) en tout point ne varient pas avec le temps.
- Système Ouvert (ou Volume de Contrôle)
- Une région de l'espace définie pour l'analyse thermodynamique, qui peut échanger de la matière et de l'énergie (chaleur, travail) avec son environnement.
- Volume Massique (v)
- Le volume occupé par une unité de masse d'une substance. C'est l'inverse de la masse volumique (\(v = 1/\rho\)). Son unité est le m³/kg.
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