Cycle de Rankine Idéal d'une Centrale à Vapeur
Contexte : La thermodynamique des centrales électriques.
Le cycle de RankineLe cycle thermodynamique idéal qui modélise le fonctionnement des centrales électriques à vapeur. Il convertit la chaleur en travail mécanique. est le modèle fondamental utilisé pour analyser les performances des centrales thermiques à vapeur, qui produisent une grande partie de l'électricité mondiale. Comprendre ce cycle est essentiel pour tout ingénieur ou technicien travaillant dans le domaine de l'énergie. Cet exercice vous guidera à travers le calcul des grandeurs clés d'un cycle de Rankine idéal.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à déterminer les états thermodynamiques d'un fluide (ici, l'eau) à différents points d'un cycle, et à utiliser ces états pour calculer le travail, la chaleur et le rendement, qui sont les indicateurs de performance fondamentaux d'une machine thermique.
Objectifs Pédagogiques
- Identifier les quatre processus d'un cycle de Rankine idéal.
- Utiliser les tables thermodynamiques pour trouver les propriétés de l'eau (enthalpie, entropie).
- Calculer le travail de la pompe et de la turbine.
- Calculer les transferts de chaleur dans la chaudière et le condenseur.
- Déterminer le rendement thermique global du cycle.
Données de l'étude
Schéma du Cycle de Rankine
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \(P_{\text{cond}}\) | Pression à la sortie de la turbine (entrée condenseur) | 10 | kPa |
| \(P_{\text{chaud}}\) | Pression à la sortie de la pompe (entrée chaudière) | 8 | MPa |
| \(T_{\text{max}}\) | Température de la vapeur à l'entrée de la turbine | 480 | °C |
Questions à traiter
- Déterminer l'enthalpieUne mesure de l'énergie totale d'un système thermodynamique. Elle inclut l'énergie interne plus le produit de la pression et du volume. \(h\) (en kJ/kg) à chacun des 4 points du cycle.
- Calculer la chaleur fournie par la chaudière, \(q_{\text{in}}\), par unité de masse (en kJ/kg).
- Calculer le travail produit par la turbine, \(w_{\text{turb}}\), par unité de masse (en kJ/kg).
- Calculer le travail consommé par la pompe, \(w_{\text{pompe}}\), par unité de masse (en kJ/kg).
- Déterminer le travail net du cycle (\(w_{\text{net}}\)) et le rendement thermique (\(\eta_{\text{th}}\)).
Les bases sur le Cycle de Rankine
Le cycle de Rankine idéal est un modèle qui décrit le fonctionnement des machines à vapeur. Il est composé de quatre processus réversibles :
1. Compression isentropiqueUn processus qui se produit à entropie constante. Dans un cycle idéal, les compressions et détentes sont isentropiques. (Pompe, 1 → 2)
L'eau liquide saturée est pompée du condenseur vers la chaudière. La pression augmente à entropie constante.
2. Transfert de chaleur isobareUn processus qui se produit à pression constante. (Chaudière, 2 → 3)
L'eau liquide est chauffée à pression constante pour devenir de la vapeur surchauffée.
3. Détente isentropique (Turbine, 3 → 4)
La vapeur surchauffée se détend dans la turbine, produisant du travail mécanique. La pression et la température chutent à entropie constante.
4. Rejet de chaleur isobare (Condenseur, 4 → 1)
La vapeur humide est condensée en liquide saturé à pression constante, rejetant de la chaleur vers une source froide.
Correction : Cycle de Rankine Idéal d'une Centrale à Vapeur
Question 1 : Détermination des enthalpies aux points du cycle
Principe
La première étape de toute analyse de cycle thermodynamique est de "fixer les états", c'est-à-dire de déterminer les propriétés du fluide (pression, température, enthalpie, entropie, etc.) à chaque point clé. L'enthalpie est particulièrement importante car elle est directement liée aux échanges d'énergie (travail et chaleur).
Mini-Cours
L'enthalpie (H) est une fonction d'état qui représente l'énergie totale d'un système. Pour un fluide comme l'eau, ses valeurs dépendent de la pression et de la température. On utilise des tables thermodynamiques, qui sont le fruit de mesures expérimentales, pour trouver la valeur de l'enthalpie (généralement notée \(h\), en kJ/kg) et d'autres propriétés pour des conditions données.
Remarque Pédagogique
La méthode la plus sûre est de traiter les points dans l'ordre du cycle (1 → 2 → 3 → 4). Pour chaque point, identifiez les deux propriétés indépendantes que vous connaissez (ex: Pression et Titre, ou Pression et Température), puis utilisez-les pour trouver toutes les autres propriétés dans les tables.
Normes
Les propriétés de l'eau et de la vapeur d'eau sont standardisées au niveau international. Les tables les plus utilisées en ingénierie sont basées sur la formulation IAPWS-IF97 (International Association for the Properties of Water and Steam).
Formule(s)
Formule du travail de la pompe
Formules du titre de vapeur et de l'enthalpie du mélange
Hypothèses
- Le cycle est idéal : toutes les transformations sont réversibles.
- La pompe et la turbine sont isentropiques (adiabatiques et réversibles).
- Les transferts de chaleur dans la chaudière et le condenseur sont isobares.
- Les variations d'énergie cinétique et potentielle sont négligées.
Donnée(s)
- État 1 : Liquide saturé à \(P_1 = 10 \text{ kPa}\)
- État 3 : Vapeur à \(P_3 = 8 \text{ MPa}\) et \(T_3 = 480 \text{ °C}\)
Astuces
Pour le travail de la pompe, l'approximation \(w_p \approx v_1(P_2 - P_1)\) est très précise pour les liquides et évite d'avoir à chercher dans les tables de liquide comprimé, qui sont moins courantes.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Cycle de Rankine
Calcul(s)
Enthalpie au point 1 (sortie condenseur)
Volume massique au point 1
Enthalpie au point 2 (sortie pompe)
Propriétés au point 3 (sortie chaudière)
Titre de vapeur au point 4 (sortie turbine)
Enthalpie au point 4
Schéma (Après les calculs)
Diagramme Température-Entropie (T-s) du Cycle
Réflexions
On observe que le fluide est bien liquide au début du cycle (point 1), puis liquide comprimé (point 2), vapeur très énergétique (surchauffée) avant la turbine (point 3), et enfin un mélange de vapeur et de liquide à la sortie (point 4). Le titre de 80% au point 4 indique que la vapeur est encore majoritaire mais a commencé à se condenser.
Points de vigilance
Attention aux unités de pression ! Les calculs doivent être faits avec des unités cohérentes. Ici, nous avons converti les MPa en kPa pour le calcul du travail de la pompe. Une erreur fréquente est d'oublier cette conversion.
Points à retenir
- Point 1 : Toujours liquide saturé à la pression du condenseur.
- Point 2 : On trouve \(h_2\) en ajoutant le travail de la pompe à \(h_1\).
- Point 3 : Point défini par la pression et la température maximales.
- Point 4 : On trouve son état grâce à \(s_4=s_3\) et \(P_4\).
Le saviez-vous ?
William Rankine, l'ingénieur et physicien écossais qui a donné son nom au cycle, était un polymathe du 19ème siècle. En plus de ses travaux en thermodynamique, il a contribué à la mécanique des sols, à l'ingénierie navale et était même un botaniste et musicien amateur !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la température à l'entrée de la turbine était de 500°C (\(h_3 \approx 3411.4 \text{ kJ/kg}\)), quelle serait la nouvelle valeur de \(h_4\)? (Considérez \(s_3 \approx 6.7266 \text{ kJ/kgK}\)).
Question 2 : Chaleur fournie par la chaudière (\(q_{\text{in}}\))
Principe
La chaleur fournie au cycle, \(q_{\text{in}}\), correspond à l'énergie thermique apportée au fluide dans la chaudière. C'est "l'investissement" énergétique du cycle, provenant de la combustion de charbon, de gaz, ou d'une réaction nucléaire.
Mini-Cours
Le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert en régime permanent s'écrit \(\Delta H = Q + W\). Dans une chaudière, qui est un échangeur de chaleur, il n'y a pas de travail mécanique échangé (\(W=0\)). Le transfert de chaleur \(Q\) est donc simplement égal à la variation d'enthalpie \(\Delta H = H_{\text{sortie}} - H_{\text{entrée}}\).
Remarque Pédagogique
Pensez à la chaudière comme le "moteur" thermique du cycle. C'est là que l'énergie d'un combustible est convertie en énergie interne et en énergie de pression dans le fluide de travail, le préparant à se détendre dans la turbine.
Normes
La conception et l'exploitation des chaudières sous pression sont régies par des codes stricts, comme le code ASME (American Society of Mechanical Engineers) Boiler and Pressure Vessel Code, pour garantir la sécurité.
Formule(s)
Formule de la chaleur fournie
Hypothèses
On suppose que le transfert de chaleur se fait à pression constante (\(P_2 = P_3\)) et qu'il n'y a pas de pertes de chaleur vers l'extérieur. Toutes les hypothèses de la Question 1 s'appliquent.
Donnée(s)
- Enthalpie à l'entrée de la chaudière, \(h_2 = 199.88 \text{ kJ/kg}\)
- Enthalpie à la sortie de la chaudière, \(h_3 = 3349.5 \text{ kJ/kg}\)
Astuces
Visualisez cette étape sur le diagramme T-s : \(q_{\text{in}}\) correspond à l'aire sous la courbe 2-3. C'est une grande surface, ce qui confirme que c'est un apport d'énergie majeur.
Schéma (Avant les calculs)
Focalisation sur la Chaudière
Calcul(s)
Calcul de la chaleur fournie
Réflexions
Cette valeur représente la quantité de chaleur qu'il faut fournir pour chaque kilogramme d'eau qui circule dans la centrale. C'est un chiffre crucial pour dimensionner la source de chaleur (brûleurs, réacteur nucléaire) et calculer la consommation de combustible.
Points de vigilance
Assurez-vous d'utiliser les bonnes enthalpies. Une erreur courante est d'inverser \(h_2\) et \(h_3\), ce qui donnerait une chaleur négative, ce qui est physiquement impossible pour une chaudière.
Points à retenir
La chaleur fournie dans une chaudière de cycle de Rankine est toujours égale à \(h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}}\), soit \(h_3 - h_2\).
Le saviez-vous ?
Dans les chaudières modernes, l'eau passe par plusieurs sections : l'économiseur (préchauffage de l'eau liquide), le vaporiseur (changement de phase) et le surchauffeur (augmentation de la température de la vapeur). Notre calcul de \(q_{\text{in}}\) englobe l'énergie fournie dans ces trois sections.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'enthalpie à l'entrée de la chaudière était de 210 kJ/kg (par exemple, à cause d'un préchauffage moins efficace), quelle serait la nouvelle chaleur requise \(q_{\text{in}}\) pour atteindre le même état final \(h_3\)?
Question 3 : Travail produit par la turbine (\(w_{\text{turb}}\))
Principe
Le travail de la turbine, \(w_{\text{turb}}\), est le "gain" mécanique du cycle. Il est produit par la détente de la vapeur à haute énergie qui fait tourner les aubes de la turbine, entraînant un alternateur pour produire de l'électricité.
Mini-Cours
Similaire à la chaudière, on applique le premier principe à la turbine (\(\Delta H = Q + W\)). Pour une turbine idéale, le processus est adiabatique (\(Q=0\)). Le travail \(W\) est donc égal à la variation d'enthalpie \(\Delta H = H_{\text{sortie}} - H_{\text{entrée}}\). Comme le travail est produit *par* le système, il est positif par convention : \(w_{\text{turb}} = -W = -(h_4 - h_3) = h_3 - h_4\).
Remarque Pédagogique
La turbine est le cœur de la production d'énergie dans une centrale. Maximiser le travail qu'elle produit est l'un des objectifs principaux de l'optimisation du cycle.
Formule(s)
Formule du travail de la turbine
Hypothèses
On suppose que la turbine est parfaitement isolée (adiabatique) et sans friction (réversible), donc isentropique. Les hypothèses de la Question 1 s'appliquent.
Donnée(s)
- Enthalpie à l'entrée de la turbine, \(h_3 = 3349.5 \text{ kJ/kg}\)
- Enthalpie à la sortie de la turbine, \(h_4 = 2110.6 \text{ kJ/kg}\)
Schéma (Avant les calculs)
Focalisation sur la Turbine
Calcul(s)
Calcul du travail de la turbine
Réflexions
Cette valeur représente l'énergie mécanique maximale que l'on peut extraire de chaque kilogramme de vapeur. Dans une turbine réelle, des irréversibilités (frictions, etc.) font que le travail réel sera légèrement inférieur.
Points de vigilance
Ne pas confondre le travail de la turbine (\(h_3 - h_4\)) avec la chaleur du condenseur (\(h_4 - h_1\)). Les deux impliquent le point 4, mais représentent des transferts d'énergie de nature différente.
Points à retenir
Le travail de la turbine dans un cycle de Rankine est toujours égal à \(h_{\text{entrée}} - h_{\text{sortie}}\), soit \(h_3 - h_4\).
Le saviez-vous ?
Les plus grandes turbines à vapeur peuvent avoir des aubes de plus d'un mètre de long à leur extrémité. La vitesse de la pointe de ces aubes peut dépasser la vitesse du son !
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant les données de la section "A vous de jouer" de la question 1 (\(h_3=3411.4\) et \(h_4=2154.5\)), quel serait le nouveau travail de la turbine ?
Question 4 : Travail consommé par la pompe (\(w_{\text{pompe}}\))
Principe
Le travail de la pompe, \(w_{\text{pompe}}\), est une "dépense" énergétique nécessaire au fonctionnement du cycle. Il faut fournir de l'énergie à la pompe pour faire passer l'eau de la basse pression du condenseur à la haute pression de la chaudière.
Mini-Cours
Le raisonnement est le même que pour la turbine. Pour une pompe idéale, \(Q=0\), donc \(W = \Delta H = h_2 - h_1\). Comme le travail est fourni *au* système, il est négatif (\(W < 0\)). Par convention, on parle du travail consommé \(w_{\text{pompe}}\) comme une valeur positive, donc \(w_{\text{pompe}} = W_{\text{requis}} = -W = h_2 - h_1\).
Formule(s)
Formule du travail de la pompe
Donnée(s)
- Enthalpie à l'entrée de la pompe, \(h_1 = 191.81 \text{ kJ/kg}\)
- Enthalpie à la sortie de la pompe, \(h_2 = 199.88 \text{ kJ/kg}\)
Schéma (Avant les calculs)
Focalisation sur la Pompe
Calcul(s)
Calcul du travail de la pompe
Réflexions
Notez que le travail consommé par la pompe (8.07 kJ/kg) est très faible par rapport au travail produit par la turbine (1238.9 kJ/kg). C'est l'une des raisons pour lesquelles le cycle à vapeur est si efficace : il coûte peu d'énergie de pomper un liquide par rapport à l'énergie que l'on peut extraire de la détente de sa vapeur.
Points à retenir
Le travail de la pompe dans un cycle de Rankine est toujours égal à \(h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}}\), soit \(h_2 - h_1\).
Résultat Final
Question 5 : Travail net et rendement thermique
Principe
Le travail net (\(w_{\text{net}}\)) est le bilan énergétique mécanique du cycle : c'est le travail utile, égal au travail produit par la turbine moins le travail consommé par la pompe. Le rendement thermique (\(\eta_{\text{th}}\)) est le critère de performance ultime du cycle : il mesure l'efficacité avec laquelle la chaleur fournie est convertie en travail net.
Mini-Cours
Le rendement thermique d'un moteur thermique est toujours défini comme le rapport entre le bénéfice (ce que l'on veut produire, ici le travail net) et le coût (ce que l'on doit fournir, ici la chaleur). En raison du second principe de la thermodynamique, ce rendement est toujours inférieur à 100%.
Formule(s)
Formule du travail net
Formule du rendement thermique
Donnée(s)
- Chaleur fournie, \(q_{\text{in}} = 3149.62 \text{ kJ/kg}\)
- Travail de la turbine, \(w_{\text{turb}} = 1238.9 \text{ kJ/kg}\)
- Travail de la pompe, \(w_{\text{pompe}} = 8.07 \text{ kJ/kg}\)
Schéma (Avant les calculs)
Bilan Énergétique du Cycle
Calcul(s)
Calcul du travail net
Calcul du rendement thermique
Réflexions
Un rendement de 39.1% signifie que pour 100 Joules de chaleur provenant du combustible, la centrale produit 39.1 Joules d'électricité. Les 60.9 Joules restants sont inévitablement perdus, principalement au niveau du condenseur. C'est un ordre de grandeur typique pour une centrale thermique classique.
Points de vigilance
Ne jamais oublier de soustraire le travail de la pompe pour calculer le travail net. Omettre ce terme, même s'il est petit, est une erreur conceptuelle. De plus, ne jamais diviser le travail de la turbine par la chaleur pour le rendement ; c'est le travail *net* qui compte.
Le saviez-vous ?
Les centrales les plus modernes, dites "supercritiques", fonctionnent à des pressions et températures si élevées (au-delà du point critique de l'eau, 22.1 MPa) que la distinction entre liquide et vapeur disparaît. Cela permet d'atteindre des rendements dépassant les 45%.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le travail de la pompe était négligé, quelle serait l'erreur (en %) sur le calcul du rendement thermique ? L'erreur est la différence entre le rendement calculé avec \(w_{\text{pompe}}\) et sans.
Outil Interactif : Influence des paramètres sur le rendement
Utilisez les curseurs pour voir comment la pression de la chaudière et la température de surchauffe influencent le rendement thermique du cycle. La pression du condenseur est fixée à 10 kPa.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quel est l'objectif principal de la chaudière dans un cycle de Rankine ?
2. Dans un cycle de Rankine idéal, quel processus a lieu dans la turbine ?
3. Comment l'augmentation de la pression de la chaudière (à température maximale constante) affecte-t-elle généralement le rendement du cycle ?
4. À quoi sert le condenseur ?
5. Le travail consommé par la pompe est généralement...
- Cycle de Rankine
- Le cycle thermodynamique idéal qui modélise le fonctionnement des centrales électriques à vapeur. Il convertit la chaleur en travail mécanique.
- Enthalpie (h)
- Une mesure de l'énergie totale d'un système thermodynamique (énergie interne + produit pression-volume). Ses variations correspondent aux échanges d'énergie dans les composants du cycle.
- Entropie (s)
- Une mesure du désordre d'un système. Dans un processus idéal et réversible sans échange de chaleur, l'entropie reste constante (processus isentropique).
- Titre de vapeur (x)
- La fraction massique de vapeur dans un mélange liquide-vapeur. x=0 pour un liquide saturé, x=1 pour une vapeur saturée.
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