Variation d'Énergie Interne pour un Gaz Monoatomique

Contexte : La Thermodynamique ClassiqueBranche de la physique qui étudie les transformations de l'énergie et ses relations avec la chaleur, le travail et la température..

Cet exercice se concentre sur un concept fondamental du premier principe de la thermodynamique : la variation de l'énergie interneL'énergie totale contenue dans un système thermodynamique. Elle correspond à la somme des énergies cinétiques et potentielles de toutes les particules qui le composent. (notée \( \Delta U \)). Nous allons l'appliquer au cas d'un gaz parfait monoatomiqueUn gaz idéal dont les particules sont des atomes uniques (ex: Hélium, Argon). Son énergie interne ne dépend que de sa température., comme l'hélium ou l'argon, qui subit une transformation. Comprendre ce calcul est essentiel pour analyser l'efficacité des moteurs, des réfrigérateurs et de nombreux processus industriels.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la variation d'énergie interne, une fonction d'état, qui ne dépend que des états initial et final du système, indépendamment du chemin suivi par la transformation.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la formule de la variation d'énergie interne pour un gaz parfait monoatomique.
Maîtriser la conversion des unités de température (Celsius en Kelvin).
Comprendre le rôle de la constante des gaz parfaits (R).
Interpréter le signe de \( \Delta U \) en termes de gain ou de perte d'énergie pour le système.

Données de l'étude

On considère un système fermé contenant une certaine quantité de gaz hélium (He), que l'on assimilera à un gaz parfait monoatomique. Ce système subit une transformation qui l'amène d'un état initial A à un état final B.

Schéma de la Transformation Thermodynamique

Visualisation de l'Agitation Thermique

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Quantité de matière	\( n \)	2	mol
Température initiale	\( T_A \)	25	°C
Température finale	\( T_B \)	125	°C
Constante des gaz parfaits	\( R \)	8.314	J·mol⁻¹·K⁻¹

Questions à traiter

Calculez la variation d’énergie interne \( \Delta U \) du gaz hélium lors de cette transformation, en Joules (J).
Sachant que le système a reçu un travail \(W = +1500\) J durant la transformation, quelle est la quantité de chaleur \(Q\) échangée avec le milieu extérieur ?
Si le gaz avait été du diazote (N₂, considéré comme un gaz parfait diatomique) au lieu de l'hélium, quelle aurait été la nouvelle variation d'énergie interne \( \Delta U' \) pour la même transformation (de 25°C à 125°C) ?

Les bases sur l'Énergie Interne

L'énergie interne d'un système est une mesure de l'énergie contenue au niveau microscopique. Pour un gaz parfait, elle est directement liée à l'agitation thermique de ses particules.

1. Premier Principe de la Thermodynamique
Le premier principe stipule que la variation d'énergie interne \( \Delta U \) d'un système au cours d'une transformation est égale à la somme du travail \( W \) et de la chaleur \( Q \) échangés avec le milieu extérieur : \[ \Delta U = W + Q \]

2. Énergie Interne d'un Gaz Parfait
Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température. Sa variation se calcule avec la formule \( \Delta U = n C_v \Delta T \), où \( C_v \) est la capacité thermique molaire à volume constant.

Pour un gaz monoatomique : \( C_v = \frac{3}{2} R \), donc \( \Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T \)
Pour un gaz diatomique : \( C_v = \frac{5}{2} R \), donc \( \Delta U = \frac{5}{2} n R \Delta T \)

Correction : Variation d’Énergie Interne pour un Gaz Monoatomique

Question 1 : Calculer la variation d'énergie interne \( \Delta U \)

Principe

L'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température. Puisque le gaz est chauffé (sa température augmente), son énergie interne doit augmenter. Nous devons quantifier cette augmentation en utilisant la formule spécifique aux gaz monoatomiques.

Mini-Cours

Une fonction d'état, comme l'énergie interne U, a une propriété remarquable : sa variation entre deux états ne dépend pas du type de transformation (isobare, isochore, adiabatique...). Seuls les états de début et de fin (ici, les températures \(T_A\) et \(T_B\)) importent. C'est pourquoi nous n'avons pas besoin de connaître les volumes ou les pressions pour ce calcul.

Remarque Pédagogique

L'approche la plus sûre est toujours de décomposer le problème : 1. Identifier les données et les inconnues. 2. Choisir la bonne formule. 3. Vérifier la cohérence des unités. 4. Appliquer la formule. 5. Analyser le résultat. Cette méthode systématique minimise les risques d'erreur.

Normes

Les principes de la thermodynamique ne sont pas des normes au sens industriel, mais des lois fondamentales de la physique. La convention de signe utilisée ici (positif pour l'énergie reçue par le système) est celle recommandée par l'Union Internationale de Chimie Pure et Appliquée (UICPA).

Formule(s)

Variation d'énergie interne (monoatomique)

\Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T

Conversion Celsius vers Kelvin

T(\text{K}) = T(^\circ\text{C}) + 273.15

Hypothèses

Les hypothèses de l'énoncé sont cruciales pour justifier l'emploi de notre formule.

L'hélium est considéré comme un gaz parfait.
L'hélium est un gaz monoatomique.
Le système est fermé, donc la quantité de matière \( n \) est constante.

Donnée(s)

Listons les valeurs numériques fournies dans l'énoncé.

Quantité de matière, \( n = 2 \text{ mol} \)
Température initiale, \( T_A = 25 ^\circ\text{C} \)
Température finale, \( T_B = 125 ^\circ\text{C} \)
Constante des gaz parfaits, \( R = 8.314 \text{ J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1} \)

Astuces

Pour aller plus vite, on peut noter que la variation de température \( \Delta T \) est la même en degrés Celsius et en Kelvin. Ici, \( \Delta T = 125^\circ\text{C} - 25^\circ\text{C} = 100^\circ\text{C} \), ce qui équivaut bien à \( 100 \text{ K} \). Cela évite de faire deux conversions si seule la variation est nécessaire.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Nous procédons par étapes : calcul de la variation de température, puis application de la formule de \( \Delta U \).

Étape 1 : Calcul de la variation de température \( \Delta T \)

\begin{aligned} \Delta T &= T_B - T_A \\ &= 125^\circ\text{C} - 25^\circ\text{C} \\ &= 100^\circ\text{C} = 100 \text{ K}\end{aligned}

Étape 2 : Application numérique pour \( \Delta U \)

\begin{aligned} \Delta U &= \frac{3}{2} n R \Delta T \\ &= \frac{3}{2} \times 2 \text{ mol} \times 8.314 \frac{\text{J}}{\text{mol·K}} \times 100 \text{ K} \\ &= 3 \times 831.4 \text{ J} \\ &= 2494.2 \text{ J}\end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Le résultat \( \Delta U = +2494.2 \text{ J} \) est positif. Cela confirme notre intuition : le système a gagné de l'énergie. Cette énergie a été stockée sous forme d'une plus grande agitation cinétique de ses atomes, ce qui se manifeste macroscopiquement par une augmentation de sa température.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune en thermodynamique est de ne pas travailler avec les bonnes unités. La température DOIT impérativement être exprimée en Kelvin (K) dans les calculs d'énergie. Une autre erreur fréquente est d'oublier le facteur 3/2 spécifique aux gaz monoatomiques.

Points à retenir

L'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température.
La formule \( \Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T \) est spécifique aux gaz parfaits monoatomiques.
Les calculs thermodynamiques exigent l'utilisation du Kelvin comme unité de température.

Le saviez-vous ?

L'idée que l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de la température a été démontrée expérimentalement par James Prescott Joule dans les années 1840. Son expérience (la détente de Joule-Gay-Lussac) a montré qu'un gaz se détendant dans le vide ne change pas de température, prouvant que les interactions entre molécules (et donc l'énergie potentielle interne) sont négligeables.

FAQ

Résultat Final

La variation d'énergie interne du système est donc de +2494.2 Joules.

\[ \Delta U = +2494.2 \text{ J} \]

A vous de jouer

Et si le système contenait 3 moles de gaz et que la température finale n'était que de 75°C ? Calculez la nouvelle variation d'énergie interne.

Question 2 : Calcul de la chaleur échangée \( Q \)

Principe

Cette question est une application directe du premier principe de la thermodynamique, qui est une loi de conservation de l'énergie. L'énergie totale gagnée par le système (\(\Delta U\)) est la somme des énergies qu'il a reçues sous forme de travail (\(W\)) et de chaleur (\(Q\)).

Mini-Cours

Convention des signes : En thermodynamique, tout ce qui entre dans le système est compté positivement, et tout ce qui en sort est compté négativement.

\(W > 0\) : Le système reçoit du travail (compression).
\(W < 0\) : Le système fournit du travail (détente).
\(Q > 0\) : Le système reçoit de la chaleur (endothermique).
\(Q < 0\) : Le système cède de la chaleur (exothermique).

Remarque Pédagogique

Il est utile de voir le premier principe comme un compte en banque d'énergie. \( \Delta U \) est la variation de votre solde. \(W\) et \(Q\) sont les dépôts (si positifs) ou les retraits (si négatifs). Cette question demande simplement de trouver le montant d'un dépôt (\(Q\)) connaissant la variation totale du solde (\(\Delta U\)) et le montant d'un autre dépôt (\(W\)).

Normes

Comme pour la question 1, nous suivons la convention de signe de l'UICPA pour le travail et la chaleur.

Formule(s)

Premier principe de la thermodynamique

\Delta U = W + Q

Formule isolée pour la chaleur

Q = \Delta U - W

Hypothèses

La seule hypothèse nécessaire est que le système est fermé, ce qui garantit que l'énergie n'est échangée que sous forme de travail et de chaleur.

Donnée(s)

On utilise le résultat de la question 1 et la nouvelle donnée de l'énoncé.

Variation d'énergie interne, \( \Delta U = +2494.2 \text{ J} \) (calculé en Q1)
Travail reçu par le système, \( W = +1500 \text{ J} \)

Astuces

Avant de faire le calcul, isolez toujours l'inconnue (\(Q\)) dans l'équation. Cela permet d'éviter les erreurs de signe lors de l'application numérique. \(Q = \Delta U - W\).

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

On applique simplement la formule en soustrayant le travail de la variation d'énergie interne.

\begin{aligned} Q &= \Delta U - W \\ &= 2494.2 \text{ J} - (+1500 \text{ J}) \\ &= 994.2 \text{ J}\end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Le résultat \( Q = +994.2 \text{ J} \) est positif. Cela signifie que le système a non seulement reçu de l'énergie sous forme de travail (par exemple, quelqu'un a comprimé le gaz), mais aussi sous forme de chaleur (par exemple, le récipient a été chauffé). L'augmentation de température est donc due à ces deux apports d'énergie.

Points de vigilance

Attention aux signes ! Si le système avait fourni un travail, \(W\) aurait été négatif. Le calcul aurait alors été \( Q = 2494.2 - (-W_{\text{fourni}}) \), ce qui aurait donné une valeur de Q beaucoup plus grande.

Points à retenir

Le premier principe \( \Delta U = W + Q \) est la pierre angulaire de la thermodynamique.
La chaleur et le travail sont deux manières différentes de transférer de l'énergie.
La convention de signe est cruciale pour une application correcte.

Le saviez-vous ?

Le premier principe est souvent attribué à plusieurs scientifiques, dont Rudolf Clausius et Julius von Mayer. Cependant, c'est Hermann von Helmholtz qui l'a formulé de la manière la plus claire en 1847, en postulant la conservation générale de l'énergie.

FAQ

Résultat Final

La quantité de chaleur échangée avec le milieu extérieur est de +994.2 Joules.

\[ Q = +994.2 \text{ J} \]

A vous de jouer

Si, pour la même transformation, le système avait cédé 500 J de chaleur au milieu extérieur (\(Q = -500\) J), quel travail \(W\) aurait-il fallu lui fournir ?

Question 3 : Cas d'un gaz diatomique (Diazote N₂)

Principe

Un gaz diatomique possède plus de "façons" de stocker de l'énergie qu'un gaz monoatomique. En plus de l'énergie de translation (déplacement), ses molécules peuvent tourner sur elles-mêmes (énergie de rotation). Pour une même augmentation de température, il faut donc fournir plus d'énergie à un gaz diatomique. Cela se traduit par un coefficient différent dans la formule de \( \Delta U \).

Mini-Cours

Théorème de l'équipartition de l'énergie : À l'équilibre thermique, l'énergie est répartie également entre tous les degrés de liberté accessibles. Chaque degré de liberté (translation ou rotation) contribue pour \( \frac{1}{2}kT \) à l'énergie d'une molécule.

Monoatomique : 3 degrés de translation (x, y, z) \(\Rightarrow\) Énergie = \( \frac{3}{2}kT \).
Diatomique : 3 de translation + 2 de rotation \(\Rightarrow\) Énergie = \( \frac{5}{2}kT \).

En multipliant par le nombre d'Avogadro \(N_A\) et le nombre de moles \(n\), on retrouve les formules avec \(R\) (\(R = N_A k\)).

Remarque Pédagogique

Cette question illustre que les propriétés macroscopiques (comme la quantité d'énergie nécessaire pour chauffer un gaz) dépendent directement de la structure microscopique des molécules. La thermodynamique et la chimie quantique sont intimement liées !

Normes

Le modèle du gaz parfait diatomique avec 5 degrés de liberté est une approximation standard en thermodynamique classique, valable pour des températures usuelles. À très haute température, les modes de vibration peuvent aussi s'activer, changeant la valeur de \(C_v\).

Formule(s)

Variation d'énergie interne (diatomique)

\Delta U' = \frac{5}{2} n R \Delta T

Hypothèses

On change une hypothèse clé par rapport à la question 1.

Le diazote est considéré comme un gaz parfait.
Le diazote est un gaz diatomique.

Donnée(s)

Les conditions de la transformation sont les mêmes que pour la question 1.

Quantité de matière, \( n = 2 \text{ mol} \)
Variation de température, \( \Delta T = 100 \text{ K} \) (calculé en Q1)
Constante des gaz parfaits, \( R = 8.314 \text{ J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1} \)

Astuces

Puisque \( \Delta U' = \frac{5}{2} n R \Delta T \) et \( \Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T \), on peut calculer directement \( \Delta U' \) à partir du résultat de la question 1 : \( \Delta U' = \Delta U \times \frac{5}{3} \). C'est un excellent moyen de vérifier son calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

On applique la nouvelle formule avec les mêmes données.

\begin{aligned} \Delta U' &= \frac{5}{2} n R \Delta T \\ &= \frac{5}{2} \times 2 \text{ mol} \times 8.314 \frac{\text{J}}{\text{mol·K}} \times 100 \text{ K} \\ &= 5 \times 831.4 \text{ J} \\ &= 4157 \text{ J}\end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

On constate que \( \Delta U' (+4157 \text{ J}) > \Delta U (+2494.2 \text{ J}) \). Il a fallu fournir plus d'énergie au diazote qu'à l'hélium pour obtenir la même augmentation de température de 100 K. Cette énergie supplémentaire a été stockée dans les modes de rotation des molécules de N₂, qui n'existent pas pour les atomes d'hélium.

Points de vigilance

Ne pas confondre les coefficients ! \(3/2\) est pour les gaz monoatomiques, \(5/2\) pour les diatomiques. Utiliser le mauvais coefficient est une erreur très fréquente en examen.

Points à retenir

La structure moléculaire (mono- vs diatomique) a un impact direct sur la capacité d'un gaz à stocker de l'énergie.
Les degrés de liberté supplémentaires (rotation) augmentent la capacité thermique \(C_v\) et donc la variation d'énergie interne pour un même \( \Delta T \).

Le saviez-vous ?

À des températures encore plus élevées (généralement plus de 1000 K), un troisième type de mouvement peut être activé dans les molécules diatomiques : la vibration. L'atome se comporte alors comme un ressort. Cela ajoute deux degrés de liberté supplémentaires, et le coefficient passe de 5/2 à 7/2 !

FAQ

Résultat Final

La variation d'énergie interne pour le diazote serait de +4157 Joules.

\[ \Delta U' = +4157 \text{ J} \]

A vous de jouer

En utilisant l'astuce \( \Delta U' = \Delta U \times \frac{5}{3} \), vérifiez le résultat obtenu pour \( \Delta U' \). Le résultat est-il cohérent ? (\(2494.2 \times 5/3 \approx 4157\))

Outil Interactif : Simulateur d'Énergie Interne

Utilisez cet outil pour explorer comment la quantité de matière et la variation de température influencent la variation d'énergie interne d'un gaz monoatomique.

Paramètres d'Entrée

Quantité de matière (n) 2 mol

Variation de Température (\( \Delta T \)) 100 K

Résultats Clés

Variation d'Énergie Interne (\( \Delta U \)) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la variation d'énergie interne \( \Delta U \) d'un système est négative, cela signifie que :

Le système a gagné de l'énergie.
Le système a perdu de l'énergie.
La température du système a obligatoirement augmenté.

2. Pour un gaz parfait, de quel(s) paramètre(s) l'énergie interne dépend-elle exclusivement ?

La pression et le volume.
Le volume uniquement.
La température uniquement.

3. Pour une même augmentation de température, quel type de gaz stockera le plus d'énergie interne ?

Un gaz parfait monoatomique.
Un gaz parfait diatomique.
Les deux stockeront la même quantité d'énergie.

Énergie Interne (U): Représente la somme de toutes les énergies microscopiques (cinétique et potentielle) d'un système. Pour un gaz parfait, elle se résume à l'énergie cinétique de translation et de rotation de ses particules et ne dépend donc que de la température.
Gaz Parfait Monoatomique / Diatomique: Un modèle de gaz idéal où les particules (atomes ou molécules) n'interagissent pas à distance. Les gaz monoatomiques (He, Ar) n'ont que de l'énergie de translation. Les gaz diatomiques (N₂, O₂) ont en plus de l'énergie de rotation.
Joule (J): L'unité standard de l'énergie dans le Système International. Elle mesure le travail, la chaleur et l'énergie.