Détermination de la Variation d'Énergie Interne pour un Gaz Monoatomique
Comprendre l'Énergie Interne en Thermodynamique
L'énergie interne (\(U\)) d'un système thermodynamique est l'énergie totale contenue dans ce système. Elle correspond à la somme des énergies cinétiques (agitation thermique) et des énergies potentielles (interactions) de toutes les particules qui le composent. Pour un gaz parfait, les interactions entre particules sont négligées, donc son énergie interne ne dépend que de l'énergie cinétique de ses particules, et donc uniquement de sa température. La variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) ne dépend que des états initial et final, c'est une fonction d'état.
Données de l'étude
- Type de transformation : Isochore (volume constant)
- Quantité de matière (\(n\)) : \(3.0 \, \text{mol}\)
- Température initiale (\(T_{\text{1}}\)) : \(300 \, \text{K}\)
- Température finale (\(T_{\text{2}}\)) : \(450 \, \text{K}\)
- Capacité thermique molaire à volume constant pour un gaz parfait monoatomique : \(C_{V,m} = \frac{3}{2}R\)
- Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{\text{-1}} \cdot \text{K}^{\text{-1}}\)
Schéma : Chauffage à Volume Constant
Un gaz est chauffé dans un récipient fermé et rigide.
Questions à traiter
- Rappeler la formule générale de la variation d'énergie interne \(\Delta U\) pour un gaz parfait en fonction de sa capacité thermique molaire à volume constant \(C_{V,m}\).
- Calculer la valeur numérique de \(C_{V,m}\) pour ce gaz monoatomique.
- Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U\) du gaz lors de ce chauffage.
- Calculer la quantité de chaleur (\(Q\)) et le travail des forces de pression (\(W\)) échangés au cours de ce processus. Vérifier que le premier principe de la thermodynamique est respecté.
Correction : Détermination de la Variation d'Énergie Interne pour un Gaz Monoatomique
Question 1 : Formule de la Variation d'Énergie Interne
Principe :
Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température. Sa variation \(\Delta U\) pour une transformation entre une température \(T_{\text{1}}\) et \(T_{\text{2}}\) est toujours donnée par la même relation, quel que soit le chemin suivi (isobare, isochore, isotherme, etc.). Cette relation fait intervenir la quantité de matière \(n\) et la capacité thermique molaire à volume constant \(C_{V,m}\).
Formule(s) utilisée(s) :
Question 2 : Calcul de la Capacité Thermique Molaire \(C_{V,m}\)
Principe :
La théorie cinétique des gaz montre que pour un gaz parfait monoatomique (dont les particules sont assimilées à des points matériels), l'énergie interne est uniquement due à l'énergie cinétique de translation selon les trois directions de l'espace. Cela conduit à une capacité thermique molaire à volume constant égale à \(\frac{3}{2}R\).
Calcul :
Question 3 : Calcul de la Variation d'Énergie Interne \(\Delta U\)
Principe :
Maintenant que tous les termes sont connus, on peut appliquer la formule de la question 1 pour calculer la variation d'énergie interne totale pour les 3,0 moles de gaz.
Calcul :
Le résultat peut être exprimé en kilojoules (kJ) : \(\Delta U \approx 5.61 \, \text{kJ}\). Le signe positif indique que l'énergie interne du système a augmenté, ce qui est cohérent avec un chauffage.
Question 4 : Chaleur, Travail et Premier Principe
Principe :
Le premier principe de la thermodynamique stipule que \(\Delta U = Q + W\). Il faut calculer le travail \(W\) et la chaleur \(Q\) séparément et vérifier que leur somme est bien égale au \(\Delta U\) calculé précédemment. Le travail des forces de pression est nul si le volume ne change pas. La chaleur échangée à volume constant est directement liée à \(C_{V,m}\).
Calcul du Travail (\(W\)) :
Le travail des forces de pression est donné par \(W = -\int P_{\text{ext}} dV\). La transformation étant isochore, la variation de volume \(dV\) est nulle à chaque instant.
Le système n'échange aucun travail avec l'extérieur car ses frontières ne se déplacent pas.
Calcul de la Chaleur (\(Q\)) :
Par définition, pour un processus à volume constant, la chaleur échangée est \(Q_V = n \, C_{V,m} \, \Delta T\).
Vérification du Premier Principe :
On vérifie bien que \(\Delta U = W + Q\). Le principe est respecté.
Quiz Rapide : Testez vos connaissances
1. Pour un gaz parfait diatomique (comme N₂ ou O₂), la valeur de \(C_{V,m}\) serait :
2. Si le même gaz avait subi la même élévation de température à pression constante (processus isobare), la variation d'énergie interne \(\Delta U\) aurait été...
3. Dans le cas d'un chauffage isobare (pression constante) de T₁ à T₂, le travail \(W\) serait...
Glossaire
- Énergie Interne (\(U\))
- Somme de toutes les énergies microscopiques (cinétiques et potentielles) des particules d'un système. C'est une fonction d'état : sa variation ne dépend que des états initial et final.
- Transformation Isochore
- Processus thermodynamique qui se déroule à volume constant (\(\Delta V = 0\)). Durant un tel processus, le travail des forces de pression est nul.
- Capacité Thermique Molaire à Volume Constant (\(C_{V,m}\))
- Quantité de chaleur à fournir à une mole d'une substance pour élever sa température d'un Kelvin, tout en maintenant le volume constant. \(C_{V,m} = (\frac{\partial U}{\partial T})_V / n\).
- Gaz Parfait Monoatomique
- Gaz parfait dont les particules sont des atomes uniques (ex: He, Ne, Ar). Leur énergie interne est uniquement due à l'énergie de translation, ce qui fixe leur \(C_{V,m}\) à \(\frac{3}{2}R\).
- Premier Principe de la Thermodynamique
- Principe de conservation de l'énergie appliqué à la thermodynamique. La variation d'énergie interne d'un système (\(\Delta U\)) est égale à la somme du travail (\(W\)) et de la chaleur (\(Q\)) échangés avec l'extérieur : \(\Delta U = W + Q\).
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